Какие требования надо предъявить к функции чтобы для нее можно было найти производную
Обновлено: 08.05.2024
2. Приложение производной
- если f '(x)>0 в каждой точке интервала (a, b), то функция f(x) возрастает на этом интервале.
- если f '(x) Критические точки функции – внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует.
- если производная при переходе через точку x0 меняет свой знак с плюса на минус, то x0 – точка максимума.
- если производная при переходе через точку x0 меняет свой знак с минуса на плюс, то x0 – точка минимума.
3. Первообразная функции
Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на интервале (a, b), если для любого выполняется равенство F '(x)=f(x).
Если F(x) – первообразная для f(x) на промежутке (a, b), то любая первообразная может быть записана в виде F(x)+C, где C – некоторое действительное число.
Для вычисления первообразной рекомендуем пользоваться приведенной выше таблицей производных и приведенными ниже правилами.
Пример 1. Найти производную функции .
.
Ответ: .
Пример 2. Найти , если .
.
Ответ:
Пример 3. Чему равен тангенс угла наклона касательной к графику функции у = х 2 + 2, в точке хо = – 1.
Тангенс угла наклона касательной к графику функции есть значение производной данной функции в точке хо.
.
Пример 4. Найдите значение 3tg 2 t , если t – наименьший положительный корень уравнения .
.
Очевидно, что наименьшее положительное решение полученного уравнения . Тогда .
Пример 5. Укажите промежутки возрастания и убывания функции .
На области определения найдём критические точки функции :
Ответ: на интервале (0; 1) функция убывает; на интервале возрастает.
.
f '(x)=3x 2 , следовательно, .
Ответ: .
Пример 8. Найдите какую-либо первообразную функции .
Представим функцию в виде . Первообразная данной функции будет . Т.к. нужно найти какую-либо первообразную, то пусть это будет . Чтобы проверить правильность найденной первообразной, нужно от взять производную: .
Ответ: .
Пример 9. Для функции найдите первообразную, график которой проходит через точку .
Так как график первообразной проходит через точку , то координаты этой точки являются корнями уравнения. Получаем: .
Задания для самостоятельного решения
Базовый уровень
6) Вычислить производную функции .
9) Вычислите , если f(x)=(2x-1)cosx.
12) Найдите значение производной функции в точке х0 = 0,5.
13) Найдите f '(4), если .
14) Найдите значение производной функции f(x)=3tgx+2ctgx при .
15) Найдите значение производной функции f(x)=2sinx при .
16) Найдите значение производной функции f(x)=1-3cosx при .
17) Определите промежутки возрастания и убывания функции .
20) Найдите точки экстремума функции у = – х 3 – 3х 2 + 24х – 4 на промежутке .
22) Написать уравнение касательной к параболе у = х 2 – 6х + 5 в точке пересечения её с осью ординат.
23) Найдите максимум функции .
24) Найдите экстремальные значения функции .
26) Найдите тангенс угла наклона касательной, проведённой к графику функции в его точке с абсциссой х0 = – 2.
28) Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции y=7x-5sinx в точке с абсциссой .
29) .
31) .
35) .
36) .
37) .
38) .
39) .
40) .
41) .
Повышенный уровень
42) Найдите значение , если .
43) Найдите значение , если f(x)=sin 4 x-cos 4 x.
44) Найдите значение , если f(x)=cos 2 3x .
45) Найдите значение , если f(x)=sin4xcos4x.
46) Найдите значение , если .
47) Найдите значение , если .
48) Найдите значение , если f(x)=(1+sinx) 2 .
49) При каком значении параметра а функция имеет минимум в точке x0=1?
50) Решите уравнение f '(x)=0, если .
52) При каких значениях а функция убывает на всей числовой прямой?
54) Найти значение выражения tg2t, где t – наибольший отрицательный корень уравнения f '(x)=0, .
55) Найдите значение первообразной функции , график которой проходит через данную точку .
56) Найдите значение первообразной функции , график которой проходит через данную точку .
57) Найдите значение первообразной функции при , график которой проходит через данную точку .
58) Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями .
59) Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями .
60) Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями .
Ответы
1) 2е х + 6х; 2) sinx+x•cosx ; 3) – 6х + 5; 4) 18х + sinx; 5) e x -7x 6 ; 6) ; 7) 4; 8) 25; 9) – 2; 10) – 10; 11) 8; 12) – 8; 13) 6; 14) 2; 15) 0; 16) 4; 17) убывает ; возрастает ; 18) min f(-1)=f(1)=4, max f(0)=9; 19) min y(-1)=-7, max y(5)=101; 20) – 4; 21) 62; 22) у = 5 – 6х; 23) max f(1)=10; 24) max f(0)=0; min f(2)=3; 25) max f(0)=2, ; 26) 1; 27) y = – 11x + 12; 28) ; 29) 3tgx+C; 30) 7cox+C; 31) -4ctgx+C; 32) 1,2sinx+C; 33) -7sinx+C; 34) -cosx-sinx+C; 35) -2cosx-tgx+C; 36) 2tgx+ctgx+C; 37) ; 38) ; 39) 1; 40) ; 41) ; 42) – 0,5; 43) 1; 44) 0; 45) – 2; 46) 4; 47) – 1; 48) ; 49) при а = 1; 50) – 1, 3; 51) – 3; 52) ; 53) (1; 1); 54) – 1; 55) 1; 56) ; 57) 3; 58) ; 59) 3; 60) 5.
Читайте также: