Какие требования надо предъявить к функции чтобы для нее можно было найти производную

Обновлено: 08.05.2024






2. Приложение производной

  • если f '(x)>0 в каждой точке интервала (a, b), то функция f(x) возрастает на этом интервале.
  • если f '(x) Критические точки функции – внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует.
  • если производная при переходе через точку x0 меняет свой знак с плюса на минус, то x0 – точка максимума.
  • если производная при переходе через точку x0 меняет свой знак с минуса на плюс, то x0 – точка минимума.

3. Первообразная функции


Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на интервале (a, b), если для любого выполняется равенство F '(x)=f(x).

Если F(x) – первообразная для f(x) на промежутке (a, b), то любая первообразная может быть записана в виде F(x)+C, где C – некоторое действительное число.

Для вычисления первообразной рекомендуем пользоваться приведенной выше таблицей производных и приведенными ниже правилами.



Пример 1. Найти производную функции .


.


Ответ: .

Пример 2. Найти , если .


.


Ответ:

Пример 3. Чему равен тангенс угла наклона касательной к графику функции у = х 2 + 2, в точке хо = – 1.

Тангенс угла наклона касательной к графику функции есть значение производной данной функции в точке хо.


.


Пример 4. Найдите значение 3tg 2 t , если t – наименьший положительный корень уравнения .


.

Очевидно, что наименьшее положительное решение полученного уравнения . Тогда .


Пример 5. Укажите промежутки возрастания и убывания функции .


На области определения найдём критические точки функции :




Ответ: на интервале (0; 1) функция убывает; на интервале возрастает.




.


f '(x)=3x 2 , следовательно, .



Ответ: .


Пример 8. Найдите какую-либо первообразную функции .

Представим функцию в виде . Первообразная данной функции будет . Т.к. нужно найти какую-либо первообразную, то пусть это будет . Чтобы проверить правильность найденной первообразной, нужно от взять производную: .


Ответ: .

Пример 9. Для функции найдите первообразную, график которой проходит через точку .

Так как график первообразной проходит через точку , то координаты этой точки являются корнями уравнения. Получаем: .

Задания для самостоятельного решения

Базовый уровень


6) Вычислить производную функции .


9) Вычислите , если f(x)=(2x-1)cosx.


12) Найдите значение производной функции в точке х0 = 0,5.


13) Найдите f '(4), если .


14) Найдите значение производной функции f(x)=3tgx+2ctgx при .


15) Найдите значение производной функции f(x)=2sinx при .


16) Найдите значение производной функции f(x)=1-3cosx при .


17) Определите промежутки возрастания и убывания функции .


20) Найдите точки экстремума функции у = – х 3 – 3х 2 + 24х – 4 на промежутке .

22) Написать уравнение касательной к параболе у = х 2 – 6х + 5 в точке пересечения её с осью ординат.


23) Найдите максимум функции .


24) Найдите экстремальные значения функции .


26) Найдите тангенс угла наклона касательной, проведённой к графику функции в его точке с абсциссой х0 = – 2.


28) Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции y=7x-5sinx в точке с абсциссой .


29) .


31) .


35) .


36) .


37) .


38) .


39) .


40) .


41) .

Повышенный уровень

42) Найдите значение , если .


43) Найдите значение , если f(x)=sin 4 x-cos 4 x.


44) Найдите значение , если f(x)=cos 2 3x .


45) Найдите значение , если f(x)=sin4xcos4x.

46) Найдите значение , если .

47) Найдите значение , если .


48) Найдите значение , если f(x)=(1+sinx) 2 .


49) При каком значении параметра а функция имеет минимум в точке x0=1?


50) Решите уравнение f '(x)=0, если .


52) При каких значениях а функция убывает на всей числовой прямой?


54) Найти значение выражения tg2t, где t – наибольший отрицательный корень уравнения f '(x)=0, .

55) Найдите значение первообразной функции , график которой проходит через данную точку .

56) Найдите значение первообразной функции , график которой проходит через данную точку .

57) Найдите значение первообразной функции при , график которой проходит через данную точку .


58) Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями .


59) Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями .


60) Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями .

Ответы

1) 2е х + 6х; 2) sinx+x•cosx ; 3) – 6х + 5; 4) 18х + sinx; 5) e x -7x 6 ; 6) ; 7) 4; 8) 25; 9) – 2; 10) – 10; 11) 8; 12) – 8; 13) 6; 14) 2; 15) 0; 16) 4; 17) убывает ; возрастает ; 18) min f(-1)=f(1)=4, max f(0)=9; 19) min y(-1)=-7, max y(5)=101; 20) – 4; 21) 62; 22) у = 5 – 6х; 23) max f(1)=10; 24) max f(0)=0; min f(2)=3; 25) max f(0)=2, ; 26) 1; 27) y = – 11x + 12; 28) ; 29) 3tgx+C; 30) 7cox+C; 31) -4ctgx+C; 32) 1,2sinx+C; 33) -7sinx+C; 34) -cosx-sinx+C; 35) -2cosx-tgx+C; 36) 2tgx+ctgx+C; 37) ; 38) ; 39) 1; 40) ; 41) ; 42) – 0,5; 43) 1; 44) 0; 45) – 2; 46) 4; 47) – 1; 48) ; 49) при а = 1; 50) – 1, 3; 51) – 3; 52) ; 53) (1; 1); 54) – 1; 55) 1; 56) ; 57) 3; 58) ; 59) 3; 60) 5.

Читайте также: