Время необходимое для оформления договора является случайной величиной

Обновлено: 28.05.2024

5.53. Предполагается, что рост призывников в Южный военный округ будет иметь нормальное распределение с параметрами а = 173 и σ = 6 см. Найти долю летнего обмундирования 3-го (170–176) и 4- роста (176–182), которую следует приготовить к началу осеннего призыва.

5.54. Вес поступивших в продажу плодов манго соответствует нормальному закону распределения с параметром а, равным 0,54 кг. Посчитали, что 5% имеют массу, меньшую 0,5 кг. Каков процент плодов, масса которых: а) менее 0,47 кг; от 0,5 до 0,55 кг, более 0,55 кг?

5.55. Длина карасей, обитающих в водоеме, имеет нормальное распределение с параметром а, равным 25 см. Вероятность того, что длина карася будет от 10 до 15 см равна 0,09. Найти вероятность того, что длина пойманного карася попадет в интервал: а) (35; 40); б) (30, 35).
Задачи на законы распределения случайных величин
6.1. Задан закон распределения дискретной случайной величины X:

m_i	0	1	2	3
р_i	0,064	0,288	0,432	0,216

Найти: а) математическое ожидание МХ; б) дисперсию DХ; в) среднеквадратическое отклонение σ_х.

6.2. Случайная величина Х задана законом распределения:

m_i	10	15	25
р_i	10/28	p	3/28

Найти: а) значение вероятности для второй случайной величины; б) математическое ожидание МХ; в) дисперсию DХ.

6.3. Задан закон распределения дискретной случайной величины Х:

m_i	20	21	22	23
р_i	0,1	0,3	0,2	p

Найти: а) значение вероятности для четвертой случайной величины; б) математическое ожидание МХ; в) дисперсию DХ. [а) 0,4 б) 21,90 в) 1,90]

6.4. Задан закон распределения дискретных случайных величин Х и Y:

m_i	110	120	130	140	150
р i _x	0,15	0,20	0,35	0,1	0,2
р i _y	0,1	0,15	0,3	0,05	0,4

Сравнить а) математические ожидания МХ и МY и б) стандартные отклонения _x и _y.

6.5. Случайная величина Х задана законом распределения:

m_i	0	3	x
р_i	0,2	0,4	p

Найти третье значение случайной величины и его вероятность, если известно, что ее математическое ожидание равно 4.

6.6. Распределение дискретной случайной величины X содержит неизвестные значения х₁ и х₂ (х₁

m_i	х₁	х₂
р_i	0,4	0,6

Известны числовые характеристики случайной величины: MX = 3,6; DX = 0,24. Требуется определить значения х₁ и х₂.

6.7. Случайная величина X с вероятностью 1/5 принимает значения 7; 9; 10; 11 и 13; а случайная величина Y также с вероятностью 1/5 принимает значения 22; 24; 25; 26; 28. Найти DX и DY , проверить, выполняется ли равенство DY = DX.

6.8. Производится последовательность независимых испытаний 5 приборов на надежность. Каждый следующий прибор испытывается только в том случае, если предыдущий – надежный. Построить ряд распределения случайного числа испытаний, если вероятность каждого из них равна 0,9. Найти математическое ожидание, дисперсию.

6.9. На некотором участке дороги 60% водителей соблюдают предусмотренный скоростной режим. Составить закон распределения числа водителей соблюдающих установленные ограничения по скорости, из пяти проехавших. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

6.10. Стрелок производит три выстрела по мишени. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,4. За каждое попадание стрелку засчитывается 10 очков. Построить закон распределения числа выбитых очков. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

6.11. В некотором цехе брак составляет 10 % всех изделий. Составить закон распределения числа бракованных изделий из трех наудачу взятых, найти математическое ожидание, дисперсию и стандартное отклонение этой случайной величины.

6.12. Производится забрасывание мяча в корзину. Вероятность попадания при одном броске – 0,3. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию и стандартное отклонение случайного числа заброшенных мячей при трех бросках.

6.13. В приемное время врача-стоматолога посещает в среднем 6 человек в час. Составить таблицу вероятностей для числа пациентов 0, 1, 2, 3, посетивших психиатра в течение часа в предположении, что количество посетивших стоматолога больных имеет пуассоновское распределение и найти их математическое ожидание.

6.14. В среднем левши составляют 1% всего населения. Сколько в среднем нужно опросить людей, чтобы набрать десятерых левшей в предположении, что количество левшей имеет пуассоновское распределение?

6.15. Из-за сбоя в оборудовании оказалось, что в партии 2% автомобилей имеют скрытый дефект. Определить, сколько автомобилей должен в среднем осмотреть представитель службы качества, чтобы найти один автомобиль с дефектом, если количество дефектных автомобилей в партии имеет пуассоновское распределение.

6.17. Среднее число клиентов, приходящих утром в банк в 10-минутный интервал, равно 1. Прибытие клиентов происходит случайно и независимо друг от друга, а их количество подчиняется распределению Пуассона. Составьте ряд распределения для числа клиентов от 1 до 8, прибывающих утром в течение 10 мин. Найдите математическое ожидание, дисперсию случайной величины и стандартное отклонение.

6.18. Из 20 лотерейных билетов выигрышными являются 4. Наудачу извлекаются 4 билета. Составьте ряд распределения числа выигрышных билетов среди отобранных, найдите их математическое ожидание и дисперсию. Определите вероятность того, что среди отобранных 4 билетов окажется: не меньше трех выигрышных билетов, не больше одного выигрышного билета.

6.20. Нефтяная компания получила финансирование для проведения 10 разработок залежей нефти. Вероятность успешной разработки 0,01. Нефтяные разработки осуществляются независимо друг от друга. Найти математическое ожидание и дисперсию числа успешных разработок.

6.21. Распределение дискретной случайной величины Х задано формулой Р(Х = k) = c/2 к , k = 0,1,2,… Найти c, Р(Х ≤ 3).

6.22. Вероятность того, что студент сдаст семестровые экзамены по алгебре, математическому анализу, физике равны соответственно 0,6; 0,7; 0,9. Составить закон распределения Х – числа семестровых экзаменов, которые сдаст студент.

6.23. Студент купил 4 билета новогодней лотереи. Вероятность выигрыша по одному билету равна 0,6. Составить закон распределения числа выигрышей, найти математическое ожидание и дисперсию.

6.24. Непрерывная случайная величина Х задана дифференциальной функцией распределения р(x):

Найти: а) значение параметра с; б) интегральную функцию распределения F(x); в) математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

6.25. Непрерывная случайная величина Х задана дифференциальной функцией распределения р(x):

Найти: а) значение параметра с; б) интегральную функцию распределения F(x); в) математическое ожидание и дисперсию случайной величины.
6.26. Непрерывная случайная величина Х задана интегральной функцией распределения F(x):

Найти: а) значение параметра с; б) дифференциальную функцию распределения р(x); в) математическое ожидание и дисперсию случайной величины; г) вероятность того, что случайная величина Х попадет в интервал

6.27. Непрерывная случайная величина Х задана интегральной функцией распределения F(x):

а)1/8; б) в) 2; 16/3; г) 1/4

6.28. Непрерывная случайная величина Х задана интегральной функцией распределения F(x):

6.29. Непрерывная случайная величина Х задана интегральной функцией распределения F(x):

6.30. Время, необходимое для оформления договора, является случайной величиной, распределённой по показательному закону со средним значением 10/3. Найти вероятность того, что оформление договора займёт менее 7 ч.

6.31. Среднее время ожидания трамвая равно 3,5 мин. Известно, что время ожидания имеет равномерный закон распределения. Минимальное время ожидания равно 0. Найти вероятность того, что пассажир будет ожидать трамвай от двух до пяти минут.

6.32. Случайная величина X распределена по экспоненциальному закону и имеет среднее значение, равное 1/2. Определить вероятности PX > 1>, PX −1>, PX = 3> и дисперсию этой случайной величины.

Оно основано на том, что законы распределения каждой из составляющих сумму случайных величин нам неизвестны и более того, даже перечислить эти величины мы не в состоянии ( ), а поведение суммы оказывается можно предвидеть.

Решение вопроса, при каких значениях n рекомендуется использовать нормальное приближение, зависит от требуемой точности вычисления вероятностей.

Сделаем три замечания о центральной предельной теореме, важные для практики:

Замечание 1. Если предельный вид распределения суммы случайных слагаемых при определенных условиях всегда нормален и не зависит от вида распределения самих слагаемых, то скорость сходимости распределения суммы к нормальному закону существенно зависит от типа распределения исходных компонент. Так, например, при суммировании равномерно распределенных случайных величин уже при 6-10 слагаемых можно добиться достаточной близости к нормальному закону, в то же время как для достижения той же близости при суммировании слагаемых, имеющих распределенный Хи-квадрат, понадобится более 100 слагаемых.

Замечание 2. Центральной предельной теоремой не рекомендуется пользоваться для аппроксимации вероятностей на “хвостах” распределения, т. е. при оценке вероятностей больших отклонений анализируемой суммы случайных величин от своего среднего значения. Это приводит к большим относительным ошибкам аппроксимации. Так, например, пусть (n) – нормированный среднедушевой доход в семье (соответственно – заработная плата работающих членов семьи и другие составляющие семейного дохода) и пусть нас интересует доля q семей с очень высоким доходом, а именно с доходом, не меньшим некоторого достаточного высокого уровня (руб.). Исследования показали, что точное значение этой доли q= 0,03, в то время как соответствующая нормальная аппроксимация дала результат =0,003. Разность q – мала (как и следует из центральной предельной теоремы), однако относительная погрешность составляет величину 1000%.

Замечание 3. Центральная предельная теорема позволяет проследить асимптотические связи, существующие между различными модельными законами распределения, с одной стороны, и нормальным законом – с другой (рис. 5.2).

Опираясь на центральную предельную теорему, можно объяснить, в частности, следующие полезные для статистической практики выводы:

1. Биномиально распределенная случайная величина X с параметрами n, p асимптотически (при ) нормальна с параметрами M(X) = np и D(X)= np(1 – p) = npq. Данный результат известен как теорема Муавра–Лапласа (доказана впервые Муавром в 1733 г., когда еще не была известна центральная предельная теорема).

2. Распределение –пуассоновской случайной величины X( ) асимптотически (при ) нормально с параметрами M(X) = D(X) = .

3. Другие распределения и их связи с нормальным распределением приведены на схеме (рис. 5.2).

Рис. 5.2. Схема зависимостей между некоторыми распределениями;

а * – функциональное преобразование

Рассмотрим некоторые примеры практического использования центральной предельной теоремы:

1. Ошибки измерения. Случайная ошибка измерения образуется под воздействием достаточно большого числа факторов, каждый из которых вызывает как бы часть (слагаемое) суммарной ошибки. Если при этом какой-то фактор оказывает преобладающее воздействие, то и распределение суммарной ошибки будет в основном формироваться его распределением. Однако если все факторы оказываются примерно равноценными, то при достаточно большом их числе можно ожидать почти нормального распределения суммарной ошибки измерения.

2.Рассеивание при стрельбе. Известно, что при стрельбе происходит отклонение от цели точки попадания снаряда. Причиной такого отклонения является суммарное воздействие на снаряд множества факторов, например, ветра, колебания ствола орудия, неоднообразия формы и поверхности снаряда и др. В предположении относительной равноценности воздействия этих факторов и достаточно большого их числа можно ожидать почти нормального распределения суммарного отклонения.

3.Массовое производство. Пусть имеет место устойчивый технологический процесс, с помощью которого производятся некоторые изделия. Будем рассматривать в качестве случайной величины X – отклонение изготовленного изделия от стандарта, на который настроен процесс. Существует большое количество факторов, оказывающих влияние на процесс (изменение температуры, качество заготовок и т. д.). Совокупное же их действие дает уже заметный результат: изготовленные изделия имеют различные отклонения от стандарта. Из центральной предельной теоремы следует, что случайная величина X будет иметь распределение, близкое к нормальному распределению.

4. Выборочные наблюдения. Закон больших чисел и центральная предельная теорема являются теоретической основой выборочного метода, широко применяемого в статистике. Суть его состоит в том, что по сравнительно небольшой случайной выборке судят о всей совокупности исследуемых объектов (ее называют генеральной совокупностью). Выборочным аналогом вероятности при большом числе наблюдений является относительная частота. Выборочное среднее арифметическое n одинаково распределенных случайных величин в случае повторной выборки удовлетворяет условиям центральной предельной теоремы и поэтому может рассматриваться как асимптотически нормально распределенная случайная величина.

Пример5.1. На распределительную базу поступило 100 одинаковых ящиков с радиолампами. M(X) числа радиоламп в каждом ящике, которые пришли в негодность за время транспортировки, равно 3, стандартное отклонение (X) = 2. Определить границы, в которых с вероятностью не менее 0,8 будет заключено общее число радиоламп, пришедших в негодность за время транспортировки.

Решение. Пусть Y = – число радиоламп, пришедших в негодность за время транспортировки. Тогда

M(Y) = = 100×3 =300, D(Y) = = 400.

Воспользуемся теоремой Муавра–Лапласа

P(½ ½ 2 ; среднее квадратическое отклонение равно 1 г. Найти: а) вероятность события = ; б) величину, которую с вероятностью 0,99 не превысят потери на 1 га. Считать, что Х (потери зерна) есть нормально распределенная случайная величина.

11. Для некоторого автопарка среднее число автобусов, отправляемых в ремонт после месяца эксплуатации на городских линиях, равно 5. Оценить вероятность события A = : а) если информация о дисперсии отсутствует; б) если дисперсия равна 4.

12. Дисперсия каждой из 80000 независимых случайных величин не превышает 12. Какой должна быть верхняя граница абсолютной величины отклонения среднеарифметической этих случайных величин от среднеарифметической их математических ожиданий, чтобы вероятность такого отклонения превышала 0,94?

13. В страховой компании застраховано 10000 автолюбителей. Вероятность поломки любого автомобиля в результате аварии равна 0,006. Каждый владелец застрахованного автомобиля платит в год 12 долл. страховых и в случае поломки автомобиля в результате аварии получает от компании 1000 долл. Найти вероятность: а) события A = ; б) события = m долл.>, если m = 40000; 60000; 80000.

14. Случайная величина Х распределена по следующему закону

Х	2,2	2,7	3,0	3,3	3,5	3,7	3,9
Р(Х = х_i)	0,05	0,08	0,2	0,15	0,1	0,12	0,1	0,15	0,05

Пользуясь неравенством Маркова, оценить вероятность того, что случайная величина Х примет значение, не превосходящее 3,5.

15. Среднее число вызовов на АТС за 1 минуту равно . Найти вероятности следующих событий: ; .

16. Произведено 600 независимых испытаний: в 250 из них вероятность появления события А была равна 0,5, в 160 – 0,7 и в 190 – 0,4. Оценить снизу вероятность того, что отклонение частоты от средней вероятности не превысит по абсолютной величине 0,04.

17. Сколько нужно произвести измерений, чтобы с вероятностью, равной 0,9973, можно было утверждать: погрешность средней арифметической результатов этих измерений не превысит 0,01, если измерение характеризуется средним квадратическим отклонением, равным 0,03?

18. Длина изготавливаемых деталей является случайной величиной, среднее значение которой 35 мм. Среднее квадратическое отклонение этой величины равно 0,15. Оцените вероятность того, что отклонение длины изготовленной детали от ее среднего значения по абсолютной величине превзойдет 0,3.

19. Рабочий изготавливает штучные изделия. Время изготовления – случайная величина, распределенная по показательному закону. Найти вероятность того, что на изготовление 100 изделий рабочему понадобится от 5 до 6 часов, если среднее время, необходимое для изготовления каждого изделия, равно 3 мин и не зависит от времени изготовления других изделий.

Литература

1. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 2001.

2. Гурский Е. И. Сборник задач по теории вероятностей и математической статистике. – Мн.: Высшая школа, 1984.

3. Колемаев В. А., Староверов О. В. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Наука, 1993.

4. Новротская Н. Л. Сборник задач по теории вероятностей. – Мн.: Институт управления и предпринимательства, 2005.

5. Новротская Н. Л., Петрович М. Л. Теория вероятностей. Ч. 1, 2. – Мн.: Институт управления и предпринимательства, 1997.

6. Тутубалин В. Н. Теория вероятностей. – М.: МГУ, 1972.

7. Четыркин Е. М., Калихман И. Л. Вероятность и статистика. – М.: Финансы и статистика, 1982.

Читайте также: