В чем сущность линеаризации дифференциального уравнения элементов и как ее практически осуществлять
Обновлено: 18.05.2024
- Линеаризация (от лат. linearis — линейный) — один из методов приближённого представления замкнутых нелинейных систем, при котором исследование нелинейной системы заменяется анализом линейной системы, в некотором смысле эквивалентной исходной. Методы линеаризации имеют ограниченный характер, т. е. эквивалентность исходной нелинейной системы и её линейного приближения сохраняется лишь для ограниченных пространственных или временных масштабов системы, либо для определенных процессов, причём, если система переходит с одного режима работы на другой, следует изменить и её линеаризированную модель. Применяя линеаризацию, можно выяснить многие качественные и особенно количественные свойства нелинейной системы.
Метод логарифмирования — применяется к степенным функциям;
Метод обратного преобразования — для дробных функций;
Связанные понятия
Многоме́рное норма́льное распределе́ние (или многоме́рное га́уссовское распределе́ние) в теории вероятностей — это обобщение одномерного нормального распределения. Случайный вектор, имеющий многомерное нормальное распределение, называется гауссовским вектором.
Корректно поставленная задача в математике — прикладная задача, математическое решение которой существует, единственно и устойчиво. Происходит от определения, данного Жаком Адамаром, согласно которому математические модели физических явлений должны иметь следующие свойства.
В теории дифференциальных уравнений, начальные и граничные условия — дополнение к основному дифференциальному уравнению (обыкновенному или в частных производных), задающее его поведение в начальный момент времени или на границе рассматриваемой области соответственно.
Метод итерации — численный метод решения математических задач, приближённый метод решения системы линейных алгебраических уравнений. Суть такого метода заключается в нахождении по приближённому значению величины следующего приближения (являющегося более точным).
Корреляционная функция — функция времени и пространственных координат, которая задает корреляцию в системах со случайными процессами.
Предги́льбертово простра́нство — линейное пространство с определённым на нём скалярным произведением.
Ковариацио́нная ма́трица (или ма́трица ковариа́ций) в теории вероятностей — это матрица, составленная из попарных ковариаций элементов одного или двух случайных векторов.
Численное решение уравнений и их систем состоит в приближённом определении корней уравнения или системы уравнений и применяется в случаях, когда точный метод решения неизвестен или трудоёмок.
Винеровский процесс в теории случайных процессов — это математическая модель броуновского движения или случайного блуждания с непрерывным временем.
Параболические уравнения — класс дифференциальных уравнений в частных производных. Один из видов уравнений, описывающих нестационарные процессы.
Гауссовский процесс назван так в честь Карла Фридриха Гаусса, поскольку в его основе лежит понятие гауссовского распределения (нормального распределения). Гауссовский процесс может рассматриваться как бесконечномерное обобщение многомерных нормальных распределений. Эти процессы применяются в статистическом моделировании; в частности используются свойства нормальности. Например, если случайный процесс моделируется как гауссовский, то распределения различных производных величин, такие как среднее значение.
В математике особой точкой векторного поля называется точка, в которой векторное поле равно нулю. Особая точка векторного поля является положением равновесия или точкой покоя динамической системы, определяемой данным векторным полем: фазовая траектория с началом в особой точке состоит в точности из этой особой точки, а соответствующая ей интегральная кривая представляет собой прямую, параллельную оси времени.
Непреры́вное равноме́рное распределе́ние — в теории вероятностей — распределение случайной вещественной величины, принимающей значения, принадлежащие интервалу , характеризующееся тем, что плотность вероятности на этом интервале постоянна.
Интегра́л Пуассо́на — общее название математических формул, выражающих решение краевой задачи или начальной задачи для уравнений с частными производными некоторых типов.
Условное математическое ожидание в теории вероятностей — это среднее значение случайной величины относительно условного распределения.
Асимптотическое разложение функции f(x) — формальный функциональный ряд, такой, что сумма произвольного конечного числа членов этого ряда приближает (аппроксимирует) функцию f(x) в окрестности некоторой (возможно, бесконечно удалённой) её предельной точки. Понятие асимптотического разложения функции и асимптотического ряда были введены Анри Пуанкаре при разрешении задач небесной механики. Отдельные случаи асимптотического разложения были открыты и применялись ещё в XVIII в. Асимптотические разложения.
Аппроксима́ция (от лат. proxima — ближайшая) или приближе́ние — научный метод, состоящий в замене одних объектов другими, в каком-то смысле близкими к исходным, но более простыми.
Ме́тод моме́нтов — метод оценки неизвестных параметров распределений в математической статистике и эконометрике, основанный на предполагаемых свойствах моментов (Пирсон, 1894 г.). Идея метода заключается в замене истинных соотношений выборочными аналогами.
Лине́йная систе́ма — любая система, для которой отклик системы на сумму воздействий равен сумме откликов на каждое воздействие. В математической модели линейной системы это означает, что оператор преобразования "вход-выход" линеен. Иногда линейное свойство системы называют принципом суперпозиции.
Спектр оператора — множество чисел, характеризующее линейный оператор. Применяется в линейной алгебре, функциональном анализе и квантовой механике.
Предобуславливание (также предобусловливание) — процесс преобразования условий задачи для её более корректного численного решения. Предобуславливание обычно связано с уменьшением числа обусловленности задачи. Предобуславливаемая задача обычно затем решается итерационным методом.
О дискретном эквиваленте преобразования Лапласа см. Z-преобразование.В математике дискретный оператор Лапласа — аналог непрерывного оператора Лапласа, определяемого как отношения на графе или дискретной сетке. В случае конечномерного графа (имеющего конечное число вершин и рёбер) дискретный оператор Лапласа имеет более общее название: матрица Лапласа.
Альтернати́ва Фредго́льма — совокупность теорем Фредгольма о разрешимости интегрального уравнения Фредгольма второго рода.
Скорость сходимости является основной характеристикой численных методов решения уравнений и оптимизации.
Метод конечных разностей — численный метод решения дифференциальных уравнений, основанный на замене производных разностными схемами. Является сеточным методом.
Проклятие размерности (ПР) — термин, используемый в отношении ряда свойств многомерных пространств и комбинаторных задач. В первую очередь это касается экспоненциального роста необходимых экспериментальных данных в зависимости от размерности пространства при решении задач вероятностно-статистического распознавания образов, машинного обучения, классификации и дискриминантного анализа. Также это касается экспоненциального роста числа вариантов в комбинаторных задачах в зависимости от размера исходных.
Производя́щая фу́нкция моме́нтов — способ задания вероятностных распределений. Используется чаще всего для вычисления моментов.
Весовая функция — математическая конструкция, используемая при проведении суммирования, интегрирования или усреднения с целью придания некоторым элементам большего веса в результирующем значении по сравнению с другими элементами. Задача часто возникает в статистике и математическом анализе, тесно связана с теорией меры. Весовые функции могут быть использованы как для дискретных, так и для непрерывных величин.
Параметрическое представление — используемая в математическом анализе разновидность представления переменных, когда их зависимость выражается через дополнительную величину — параметр.
Мультииндекс (или мульти-индекс) — обобщение понятия целочисленного индекса до векторного индекса, которое нашло применение в различных областях математики, связанных с функциями многих переменных. Использование мультииндекса помогает упростить (записать более кратко) математические формулы.
Определённый интеграл — аддитивный монотонный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых есть интегрируемая функция или функционал, а вторая — область в множестве задания этой функции (функционала).
Сферические функции представляют собой угловую часть семейства ортогональных решений уравнения Лапласа, записанную в сферических координатах. Они широко используются для изучения физических.
Математические основы квантовой механики — принятый в квантовой механике способ математического моделирования квантовомеханических явлений, позволяющий вычислять численные значения наблюдаемых в квантовой механике величин. Были созданы Луи де-Бройлем (открытие волн материи), В. Гейзенбергом (создание матричной механики, открытие принципа неопределённости), Э. Шрёдингером (уравнение Шрёдингера), Н. Бором (формулировка принципа дополнительности). Завершил создание математических основ квантовой механики.
Фу́нкция распределе́ния в теории вероятностей — функция, характеризующая распределение случайной величины или случайного вектора; вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее или равное х, где х — произвольное действительное число. При соблюдении известных условий (см. ниже) полностью определяет случайную величину.
Разностная схема — это конечная система алгебраических уравнений, поставленная в соответствие какой-либо дифференциальной задаче, содержащей дифференциальное уравнение и дополнительные условия (например краевые условия и/или начальное распределение). Таким образом, разностные схемы применяются для сведения дифференциальной задачи, имеющей континуальный характер, к конечной системе уравнений, численное решение которых принципиально возможно на вычислительных машинах. Алгебраические уравнения, поставленные.
Коэффициенты Клебша — Гордана находят применение при описании взаимодействия квантовомеханических моментов импульса. Они представляют собой коэффициенты разложения собственных функций суммарного момента импульса по базису собственных функций суммируемых моментов импульса. Коэффициенты Клебша — Гордана применяются при вычислении спин-орбитального взаимодействия, а также в формализме изоспина.
Стационарность или постоянство — свойство процесса не менять свои характеристики со временем. Понятие используется в нескольких разделах науки.
Система уравнений — это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких (или одной) переменных.
В квантовой механике импульс, как и все другие наблюдаемые физические величины, определяется как оператор, который действует на волновую функцию.
Детерминант Слэтера или слэтеровский детерминант — антисимметричная относительно перестановки частиц волновая функция многочастичной квантовомеханической системы, построенная из одночастичных функций.
Статистическим ансамблем физической системы называется набор всевозможных состояний данной системы, отвечающих определённым критериям. Примерами статистического ансамбля являются.
Дискретное преобразование Фурье (в англоязычной литературе DFT, Discrete Fourier Transform) — это одно из преобразований Фурье, широко применяемых в алгоритмах цифровой обработки сигналов (его модификации применяются в сжатии звука в MP3, сжатии изображений в JPEG и др.), а также в других областях, связанных с анализом частот в дискретном (к примеру, оцифрованном аналоговом) сигнале. Дискретное преобразование Фурье требует в качестве входа дискретную функцию. Такие функции часто создаются путём дискретизации.
Метод неопределённых коэффициентов ― метод, используемый в математике для нахождения искомой функции в виде точной или приближённой линейной комбинации конечного или бесконечного набора базовых функций.
Градиентные методы — численные методы решения с помощью градиента задач, сводящихся к нахождению экстремумов функции.
Винеровское оценивание — задача нахождения импульсной характеристики линейной стационарной системы, дающей на выходе оптимальную в смысле минимума математического ожидания средней квадратической ошибки оценку значений полезного сигнала, поступающего на вход в аддитивной смеси с шумом.
Задача Дирихле — вид задач, появляющийся при решении дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка. Названа в честь Иоганна Дирихле.
В установившемся состоянии зависимость выходной величины элемента системы от входной задается статической характеристикой элемента. Как правило, статические характеристики элементов нелинейны. Статические характеристики могут быть получены из дифференциальных уравнений элементов системы.
Пусть дифференциальное уравнение, описывающее поведение элемента, имеет вид
(1)
Тогда статическая характеристика этого элемента задается уравнением в неявной форме
(2)
то есть для ее получения в уравнении (1) следует положить x=const и g=const.
Если динамика элемента описывается линейным дифференциальным уравнением, то этот элемент называется линейным, если дифференциальное уравнение нелинейно, то элемент называется нелинейным. Из-за нелинейности статических характеристик уравнения элементов системы в большинстве случаев являются нелинейными.
Для упрощения анализа, когда это возможно, приближенно заменяют нелинейные дифференциальные уравнения такими линейными уравнениями, решения которых с достаточной степенью точности совпадают с решениями нелинейных уравнений. Этот процесс замены нелинейного дифференциального уравнения линейным называется линеаризацией. Обычно линеаризация нелинейного уравнения производится относительно некоторого установившегося состояния элемента системы.
Если дифференциальное уравнение элемента нелинейно из-за нелинейности его статической характеристики, то линеаризация уравнения сводится к замене нелинейной характеристики элемента x=ф(g) некоторой линейной функцией x=ag+b. Аналитически эта замена производится с помощью разложения в ряд Тейлора функции x=y(g) в окрестности точки, соответствующей установившемуся состоянию и отбрасывания всех членов, содержащих отклонение Dg входной величины элемента в степени выше первой. Геометрически это означает замену кривой x=ф(g) касательной, проведенной к кривой в точке (х0, g0), соответствующей установившемуся состоянию работы элемента (рис. 3).
В других случаях линеаризация производится путем проведения секущей, мало отклоняющейся от функции x=ф(g) в требуемом диапазоне изменения входной величины элемента.
Назовем нелинейные статические характеристики, линеаризуемые в требуемом диапазоне изменения входной величины указанным выше способом, несущественно нелинейными характеристиками. Наряду с линеаризуемыми характеристиками имеются такие характеристики, которые не поддаются такой линеаризации. К ним относятся, например, характеристики, не разлагаемые в ряд Тейлора в окрестности точки установившегося состояния. Такие характеристики будем называть существенно нелинейными.
Рассмотрим подробнее процесс линеаризации нелинейного уравнения элемента с помощью ряда Тейлора. Пусть поведение элемента описывается нелинейным дифференциальным уравнением (1). Тогда установившееся состояние элемента характеризуется уравнением (2). Пусть g0 и х0 — значения установившегося состояния. Тогда координаты g и х можно записать в виде х=х0+Dx, g=g0+Dg, где Dg и Dx — отклонения координат g и x от установившегося состояния. Уравнение (1) в отклонениях имеет вид
Разложим левую часть этого уравнения в ряд Тейлора относительно точки (0, 0, х0, g0):
В левой части этого равенства не выписаны члены, содержащие отклонения Dg и Dx и их производные в степени выше первой. Частные производные в левой части этого уравнения представляют собой некоторые числа, величины которых зависят от вида функции F(x", x', x, g) и значений координат g0 и х0.
Считая отклонения Dg, Dх от установившегося состояния, а также их производные по времени малыми и полагая, что функция F(x", x', x, g) достаточно гладкая по всем аргументам в окрестности точки, соответствующей установившемуся состоянию, отбросим в этом уравнении все члены, которые содержат отклонения Dg и Dх, а также их производные в степени выше первой. Полученное уравнение
является линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами
Очевидно, что необходимым условием линеаризации является возможность разложения в ряд Тейлора функции F(x", x', x, g) в окрестности точки, соответствующей установившемуся состоянию. Линеаризованное уравнение приближенно заменяет нелинейное уравнение (1) лишь в некоторой малой окрестности точки (0, 0, х0, g0). Величина этой окрестности зависит от гладкости функции F(x", x', x, g) в этой точке, т. е. от величин производных порядка выше первого этой функции в точке (0, 0, х0, g0). Как правило, с помощью линеаризованного уравнения можно исследовать поведение элемента системы лишь при малых отклонениях входной и выходной координаты от установившегося состояния. Очевидно, что необходимым условием линеаризации является возможность разложения в ряд Тейлора функции F(x", x', x, g) в окрестности точки, соответствующей установившемуся состоянию. Линеаризованное уравнение приближенно заменяет нелинейное уравнение (1) лишь в некоторой малой окрестности точки (0, 0, х0, g0). Величина этой окрестности зависит от гладкости функции F(x", x', x, g) в этой точке, т. е. от величин производных порядка выше первого этой функции в точке (0, 0, х0, g0). Как правило, с помощью линеаризованного уравнения можно исследовать поведение элемента системы лишь при малых отклонениях входной и выходной координаты от установившегося состояния.
Линеаризацией называется замена реальных нелинейных уравнений близкими к ним линейными уравнениями. Линеаризация исходных нелинейных зависимостей основана на методе малых отклонений, сущность которого заключена в том, что динамические свойства звеньев и систем исследуется не во всем диапазоне изменения переменных, а вблизи их некоторых значений, соответствующих характерным режимам работы (например: установившемся режимам). Основой линеаризации является выдвинутое И.А. Вышнеградским предположение, что в течение всего процесса регулирования имеют место лишь достаточно малые отклонения всех измеряющихся параметров от их установившихся значений.
Линеаризация возможна, если:
§ отклонение переменных малы;
§ линеаризуемая функция аналитична, т.е. имеет конечные производные всех порядков в окрестности точки линеаризации.
Пусть задано нелинейное дифференциальное уравнение звена САУ: . (35)
Уравнение для установившегося режима :
. (36)
Исходное нелинейное уравнение в отклонениях имеет вид:
. (37)
Разложив левую часть уравнения в ряд Тейлора в окрестности точки установившегося режима , получим:
, (38)
где - частные производные в точки установившегося режима;
- члены высшего порядка малости, состоящий из произведения отклонений, степеней отклонений с коэффициентами в виде смешанных частных производных и производных второго и высших порядков от F по соответствующим аргументам.
Отбросив нелинейный остаток , получим линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, которые являются результатом линеаризации исходного дифференциального уравнения.
При стандартной форме записи уравнений в ТАУ принято оставлять в левой части выходную величину и её производные, входная величина, её производные и другие величины (возмущения) переносятся в правую часть уравнения:
, (39)
где .
Погрешность линеаризации оценивается величиной относительной погрешности:
, (40)
где - исходная нелинейная функция;
- уравнение линеаризованной характеристики.
Рисунок 5. Линеаризация нелинейной характеристики методом касательной (а) и методом секущей (б)
Пример 2.1. В окрестности точки установившегося режима аналитически линеаризовать нелинейное уравнение .
Решение. Разложим уравнение в ряд Тейлора в окрестности точки установившегося режима:
, (41)
где .
В точке установившегося режима:
;
;
.
. (42)
Ограничившись линейными членами разложения получим:
. (43)
Математическое моделирование многих процессов в биологии, химии, экономике, физике и других науках невозможно без решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Подобные уравнения чаще всего содержат нелинейную зависимость от неизвестной функции и ее производных различных порядков (n>1), что сильно затрудняет их исследование и решение.
Задача проверки линеаризуемости нелинейных ОДУ состоит в выяснении: существует ли обратимое преобразование искомой функции и ее аргумента к новым переменным, причем такого, что преобразованное уравнение становится линейным. Найти решение линейного уравнения несравненно проще. Если такое преобразование существует и если его удастся найти, то решение полученного линейного уравнения можно преобразовать в решение уравнения исходного. Много десятилетий задача по проверке линеаризуемости обыкновенных дифференциальных уравнений выше четвертого порядка оставалась нерешенной.
Алгоритмическое решение задачи проверки линеаризуемости, а в случае положительного результата проверки, и построения линеаризующего преобразования с программной реализацией на языке Maple было впервые получено директором научного центра вычислительных методов в прикладной математике РУДН Владимиром Гердтом и его коллегами.
История вопроса
В конце XIX века знаменитый норвежский математик Софус Ли разработал наиболее общий математический подход к исследованию и решению дифференциальных уравнений с помощью их группового (симметрийного) анализа. Он основан на математическом аппарате, в основе которого лежит введенное им понятие групп Ли. Одной из фундаментальных задач, поставленных С. Ли, была разработка теста линеаризуемости нелинейных общих дифференциальных уравнений точечными обратимыми преобразованиями. Положительный результат теста значительно облегчает построение аналитического решения. Сам Софус Ли установил общую форму уравнений второго порядка (n = 2), допускающих линеаризацию. В XXI веке при ведущем вкладе российской математической школы результаты С. Ли по нахождению общей формы линеаризуемых уравнений были обобщены на уравнения порядка n = 3 и 4. Однако полная задача линеаризации, включая нахождение линеаризующего преобразования даже для уравнений порядка 2-4, оставалась алгоритмически нерешенной.
Подробнее о новом решении рассказал доктор физико-математических наук, сотрудник РУДН Владимир Гердт.
Вы предлагаете два принципиально новых алгоритма линеаризуемости нелинейных ОДУ. Как они работают?
Да, оба алгоритма — принципиально новые. До нашей работы вообще не было разработано алгоритмов, которые для достаточно широкого круга нелинейных ОДУ отвечают на вопрос о линеаризуемости таких уравнений обратимыми точечными преобразованиями, то есть преобразованиями зависимой и независимой переменных.
Алгоритмы взаимосвязаны между собой? Их нужно применять последовательно?
Алгоритмы различны по своей математической природе. Первый — основан на групповом анализе исходного уравнения и является вычислительно быстрым. Он отвечает только на вопрос, существует ли линеаризующее преобразование. Однако алгоритм не позволяет находить такое преобразование, даже если оно существует.
Второй алгоритм более затратен по требуемым вычислениям, но при этом не только отвечает на указанный вопрос, но и строит уравнения на линеаризующее преобразование.
На практике лучше всего сначала применить первый алгоритм, и, если он покажет существование линеаризующего преобразования, применить второй алгоритм, чтобы его найти.
Как мы можем обозначить область практического применения результатов исследования? Где они могут быть использованы?
Эти алгоритмы могут быть использованы в любых научных и технических задачах, где возникает необходимость решения нелинейного ОДУ, в левой части которого стоит старшая производная (второго порядка и выше), а в правой — рациональное выражение (отношение многочленов) по младшим производным от неизвестной функции, включая саму эту функцию.
Ваша работа 2017 года получила награды высокого уровня: приз лучшей работы на крупнейшем мировом форуме по символьным и алгебраическим вычислениям (Кайзерслаутерн, Германия) и приз ISSAC Distinguished Paper Award by ACM SIGSAM. Поделитесь, пожалуйста, секретом успеха. Дело в новаторском подходе?
Наша работа произвела сильное впечатление на международное сообщество, поскольку впервые решенная нами задача была поставлена еще в 1883 году выдающимся математиком новежцем Софусом Ли. Конечно же, подход был новаторским, а второй из алгоритмов, который не только проверяет существование линеаризующего преобразования, но и строит его, основан на новом и полностью алгоритмическом методе дифференциальной декомпозиции Томаса. Это наиболее универсальный алгебраический метод исследования и решения систем полиномиально-нелинейных систем дифференциальных уравнений в частных производных. А именно такая система дифференциальных уравнений определяет линеаризующее преобразование.
Публикую первую часть второй главы лекций по теории автоматического управления.
В данной статье рассматриваются:
2.1. Получение уравнений динамики системы. Статическая характеристика. Уравнение динамики САУ (САР) в отклонениях
2.2. Линеаризация уравнений динамики САУ (САР)
2.3. Классический способ решения уравнений динамики
Данные лекции только готовятся к публикации в виде книги, а поскольку здесь есть специалисты по ТАУ, студенты и просто интересующиеся предметом, то любая критика приветствуется.
2.1. Получение уравнений динамики системы. Статическая характеристика. Уравнение динамики САУ (САР) в отклонениях
При составлении уравнений, описывающих нестационарные процессы в САУ (САР) и которые в дальнейшем будем называть уравнениями динамики, система “разбивается” на отдельные элементы (звенья), для каждого из которых не существует проблем в записи соответствующего уравнения динамики.
При составлении уравнений динамики используются фундаментальные законы сохранения из разделов “Механики”, “Физики”, “Химии” и др.
Например, при описании перемещения узла какого-то механизма силового привода используются законы сохранения: момента, энергии, импульса и др… В теплофизических (теплогидравлических) системах используются фундаментальные законы сохранения: массы (уравнение неразрывности), импульса (уравнение движения), энергии (уравнение энергии) и др
Уравнения сохранения в общем случае содержат постоянные и нестационарные члены, причем при отбрасывании нестационарных членов получают так называемые уравнения статики, которые соответствуют уравнениям равновесного состояния САУ (звена). Вычитанием из полных уравнений сохранения стационарных уравнений получают нестационарные уравнения САУ в отклонениях (от стационара).
где: — стационарные значения входного и выходного воздействий;
— отклонения от станционара, соотвесвенно.
Согласно 2-му закону Ньютона, ускорение тела пропорционально сумме сил, действующих на тело:
где, m — масса тела, Fj — все силы воздействующие на тело (поршень демпфера)
Подставляя в уравнение (2.1.1) все силы согласно рис. 2.2, имеем:
где — сила тяжести; — сила сопротивления пружины, — сила вязконо трения (пропорциональна скорости поршеня)
Размерности сил и коэффициентов, входящих в уравнение (2.1.2):
Предполагая, что при t ≤ 0 поршень демпфера находился в равновесии, то есть
перейдем к отклонениям от стационарного состояния:
Пусть при t>0 . Тогда, подставляя эти соотношения в уравнение (2.1.2), получаем:
если , то уравнение принимает вид:
Соотношение (2.1.4) – уравнение звена (демпфера) в равновесном (стационарном) состоянии, а соотношение (2.1.5) – статическая характеристика звена – демпфера (см. рисунок 2.1.3).
Вычитая из уравнения (2.1.3) уравнение (2.1.4), получаем уравнение динамики демпфера в отклонениях:
тогда, разделив на k, имеем:
Уравнение (2.1.6) — это уравнение динамики в канонической форме, т.е. коэффициент при Δy(t) равен 1.0!
Таким образом, получаем, что:
— коэффициент перед первой производной имеет размерность [c] т.е. смысл некоторой постоянной времени;
— коэффициент перед второй производной: [];
— коэффициент в правой части (): [].
Тогда уравнение (2.1.6) можно записать в операторной форме:
где: — оператор диффренцирования;
-линейный дифференциальный оператор;
— линейный дифференциальный оператор, вырожденный в константу, равную .
Анализ уравнения (2.1.6.а) показывает, что такое уравнение имеет размерные переменные, а также размерными являются все коэффициенты уравнения. Это не всегда удобно. Кроме того, если реальная САР (САУ) состоит из многих звеньев, выходными воздействиями которых являются различные физические переменные (скорость, температура, нейтронный поток, тепловой поток и т.д.), то значения коэффициентов могут различаться на большое число порядков, что ставит серьезные математические проблемы при численном решении уравнений динамики на компьютере (поскольку числа в компьютере всегда представляются с какой-то точностью). Одним из наилучших способов избежать численных трудностей является принцип нормализации, т.е. переход к безразмерным отклонениям, которые получены нормированием отклонения на стационарное значение соответствующей переменной.
Введем новые нормированные (безразмерные) переменные:
Подставляя эти соотношения в уравнение (2.1.2), имеем:
Поддчеркнутые члены выражения в сумме дают 0 (см. 2.1.4) Перенося в левую часть члены, содержащие , и, разделив на , получаем:
где: — коэффициент усиления, причем безразмерный.
Проверим размерность коэффициента
На рис. 2.1.4 представлены статические характеристики для механического демпфера:
Процедура нормировки отклонений позволяет привести уравнения динамики к виду:
где дифференциальные операторы.
Если дифференциальные операторы — линейные, а статическая характеристика САУ (звена) – тоже линейна, то выражение (2.1.8) соответствует линейному обыкновенному дифференциальному уравнению (ОДУ).
А если – нелинейные дифференциальные операторы, или , то уравнение динамики — нелинейное. Под нелинейными действиями понимаются все математические действия, кроме сложения (+) и вычитания (-).
2.2. Линеаризация уравнений динамики САУ (САР)
Практически все реальные системы автоматического управления (САУ) являются нелинейными, причем нелинейность САУ может определяться различными причинами:
- Нелинейностью статической характеристики.
- Нелинейностью динамических членов в уравнениях динамики.
- Наличием в САУ принципиально нелинейных звеньев.
Если в замкнутой САУ (САР) нет принципиально нелинейных звеньев, то в большинстве случаев уравнения динамики звеньев, входящих в систему, могут быть линеаризованы. Линеаризация основана на том, что в процессе регулирования (т.е. САУ с обратной связью) все регулируемые величины мало отклоняются от их программных значений (иначе система регулирования или управления не выполняла бы своей задачи).
Например, если рассмотреть управление мощностью энергетического ядерного реактора, то главная задача САР — поддержание мощности на заданном (номинальном) уровне мощности. Существующие возмущения (внутренние и внешние) “отрабатываются” САР и поэтому параметры ядерного реактора незначительно отличаются от стационарных. На рис. 2.2.1 представлена временная зависимость мощности ядерного реактора, где нормированные отклонения мощности ΔN /N0 Рис. 2.2.1 – Пример изменения мощности реактора
Рассмотрим некоторое звено (или САР в целом), описание динамики которого можно представить в переменных “вход-выход”:
Предположим, что динамика данного звена описывается обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка:
Перенесем в левую часть уравнения и запишем уравнение в виде%
где -– функция регулируемой переменной и ее производных, а также управляющего (входного) воздействия и его производных, причем F – обычно нелинейная функция.
Будем считать, что при t ≤ 0 САУ (звено) находилось в равновесии (в стационарном состоянии). Тогда уравнение (2.2.2) вырождается в уравнение статической характеристики:
Разложим левую часть уравнения (2.2.2) в ряд Тейлора в малой окрестности точки равновесного состояния .
C учетом вышеприведенного разложение принимает вид:
Предполагая, что отклонения выходных и входных воздействий незначительны, (т.е.:), оставим в разложении только члены первого порядка малости (линейные). Поскольку , получаем:
Подставляя соотношение (2.2.4) в уравнение (2.2.2), и перенося множители при у и u в разные части получаем уравнения:
Коэффициенты — постоянные коэффициенты, поэтому уравнения 2.2.5 — линейное дифференциальное с постоянными коэффициентами.
В дальнейшем нами будет часто использоваться операторная форма записи уравнений динамики:
где – оператор дифференцирования;
— линейный дифференциальный оператор степени n;
— линейный дифференциальный оператор степени m, причем обычно порядок оператора выше порядка оператора :
Уравнения (2.2.5) и (2.2.6) — уравнения динамики системы (звена) в отклонениях.
Если исходное уравнение (2.2.1) — дифференциальное уравнение в физических переменных (температура, скорость, поток и т.д.), то размерность коэффициентов может быть произвольной (любой).
Переход к нормализованным отклонениям позволяет “упорядочить” размерность коэффициентов. В самом деле, разделив уравнение (2.2.5) на начальные условия (значения в нулевой момент времени) и выполнив некоторые преобразования, получаем:
Приведение уравнения динамики САУ (звена) к нормализованному виду позволяет “унифицировать” размерность коэффициентов уравнений: ==>
Если вынести в правой части (2.2.7) коэффициент за общую скобку и разделить все уравнение на , то уравнение принимает вид:
или в операторном виде:
Линеаризация уравнений динамики и нормализация переменных позволяют привести уравнения динамики САУ (звена) к виду, наиболее удобному для использования классических методов анализа, т.е. к нулевым начальным условиям.
Пример
Нелинейность полного уравнения динамики проявляется в следующем:
• во-первых, в нелинейности статической характеристики:
• во-вторых, слагаемое в левой части — чисто нелинейное, так как действие умножения является нелинейным.
Выполним процесс линеаризации исходного уравнения, динамики без разложения я ряд Тейлора, основываясь на том, что в окрестности состояния (x0, y0) нормированные отклонения управляющего воздействия и регулируемой величины намного меньше 1.
Преобразования выполним в следующей последовательности:
- Перейдем к безразмерным переменным (нормализованным);
- Выполним линеаризацию, отбросив нелинейные члены 2-го и выше порядков малости.
Перейдем к новым безразмерным переменным:
Подставляя значения x(t) и y(t) в исходное уравнение:
Удаляем полученного уравнения уравнения стационара: , а так же пренебрегая слагаемыми второго прядка малости: , получаем следующее уравнение:
Вводим новые обозначения:
Если в правой части вынести за общую скобку и разделить все уравнение на , то уравнение (линеаризованное) принимает вид:
Процедура нормализации позволяет более просто линеаризовать уравнение динамики, так как не требуется выполнять разложение в ряд Тейлора (хотя это и не сложно).
2.3. Классический способ решения уравнений динамики
Классический метод решения уравнений динамики САУ (САР) применим только для линейных или линеаризованных систем.
Рассмотрим некоторую САУ (звено), динамика которой описывается линейным дифференциальным уравнением вида:
Переходя к полной символике, имеем:
Выражение (2.3.2) — обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ), точнее неоднородное ОДУ, так как правая часть ≠ 0.
Известно входное воздействие x(t), коэффициенты уравнения и начальные условия (т.е. значения переменных и производных при t = 0).
Требуется найти y(t) при известных начальных условиях.
где: — решение однородного дифференциального уравнения y_(t) $inline$ - частное решение. $inline$
Будем называть решение однородного дифференциального уравнения , собственным решением, так как его решение не зависит от входного воздействия, а полностью определяется собственными динамическими свойствами САУ (звена).
Вторую составляющую решения (2.3.3) будем называть , вынужденным, так как эта часть решения определяется внешним воздействием , поэтому САУ (САР или звено) “вынуждена отрабатывать” это воздействие:
Напомним этапы решения:
1) Если имеется уравнение вида , то сначала решаем однородное дифференциальное уравнение:
2) Записываем характеристическое уравнение:
3) Решая уравнение (2.3.5), которое является типичным степенным уравнением, каким-либо способом (в том числе и с помощью стандартных подпрограмм на компьютере) находим корни характеристического уравнения
4) Тогда собственное решение записывается в виде:
если среди нет повторяющихся корней (кратность корней равна 1).
Если уравнение (2.3.5) имеет два совпадающих корня, то собственное решение имеет вид:
Если уравнение (2.3.5) имеет k совпадающих корней (кратность корней равна k), то собственное решение имеет вид:
5) Вынужденную часть решения можно найти различными способами, но наиболее распространены следующие способы:
а) По виду правой части.
б) Методом вариации постоянных.
в) Другие методы…
Если вид правой части дифференциального уравнения – относительно несложная функция времени, то предпочтительным является способ а): подбор решения. .
6) Суммируя полученные составляющие (собственную и вынужденную), имеем:
7) Используя начальные условия (t = 0), находим значения постоянных интегрирования . Обычно получается система алгебраических уравнений. Решая систему, находим значения постоянных интегрирования
Пример
Найти аналитическое выражение переходного процесса на выходе звена, если
Решение. Запишем однородное ОДУ:
Характеристическое уравнение имеет вид: ; Решая, имеем: тогда:
где — неизвестные (пока) постоянные интегрирования.
По виду временной функции в правой части запишем как:
Подставляя в исходное уравнение, имеем:
Используя 1-е начальное условие (при t = 0), получаем: , а из 2-го начального условия имеем:
Решая систему уравнений относительно и , имеем:
Тогда окончательно:
Что бы проверить результ, выполним моделирование процесса в SimInTech, для этого преобразуем исходное уравнение к виду:
Создадим модель SimInTech, содержащую исходное динамическое уравнение и полученное аналитическое решение, и выведем результаты на один график (см. рис. 2.3.1).
Рис. 2.3.1 – структурная схема для проверки решения
Читайте также: