Сколько равновесий в прототипной игре семейный спор

Обновлено: 30.06.2024

Антагонистические игры, которые рассматривались в предыдущих главах книги, описывают конфликты частного вида, которые не всегда адекватны разным ситуациям или вообще не могут считаться приемлемыми.

В частности, антагонистические игры не затрагивают конфликты с числом игроков больше двух. Более того, даже в конфликтах с двумя игроками интересы сторон не всегда противоположны. Во многих конфликтах одна из ситуаций может оказаться предпочтительнее другой для обоих игроков.

Бескоалиционные игры являются играми более общей природы. Бескоалиционность понимается в том смысле, что группам игроков (“коалициям”) не приписывается ни каких-либо интересов, за исключением тех, которые вытекают из интересов отдельных игроков. Целью каждого игрока в такой игре является только получение по возможности наибольшего индивидуального выигрыша.

Определение 1. Бескоалиционной игрой называется игра N игроков (N2), каждый из которых имеет множество стратегий , с функцией выигрыша Н i ( x ), , где x  – ситуация, задаваемая на множество  декартового произведения стратегий  і .

Определение 2. Бескоалиционная игра называется игрой с постоянной суммой, если существует такое постоянное С, что , для всех ситуаций x .

Класс антагонистических игр является классом игр двух лиц с нулевой суммой.

Определение 3. Конечная бескоалиционная игра двух игроков с ненулевой суммой называется биматричной игрой.

Как и в случае антагонистических игр необходимо выработать принципы оптимального поведения игроков в бескоалиционных играх и найти решения (оптимальные стратегии каждого из игроков).

Для класса антагонистических игр принципом оптимальности является принцип максимина. В общих бескоалиционных играх возможны ситуации одновременного увеличения выигрышей всех игроков или хотя бы их одновременного выигрыша, поэтому в этих играх необходимо ввести формализованное описание таких понятий, как выгодность, устойчивость и справедливость того или иного решения игры.

Определение 4. Ситуация х в игре называется приемлемой для игрока і , если для любой его стратегии

т.е. при применении і-м игроком в данной ситуации всех других стратегий, его выигрыш не может увеличиться.

Определение 5. Ситуация в игре, приемлемая для всех игроков, называется ситуацией равновесия по Нэшу (равновесной ситуацией).

Иными словами, ситуация х называется равновесной, если для любого игрока іN выполняется условие (5.1).

Из определения видно, что ни один из игроков не заинтересован в отклонении от своей стратегии, образующих в совокупности ситуацию равновесия.

В случае антагонистической игры приемлемые стратегии игроков совпадают с их оптимальными стратегиями. Для неантагонистических игр понятие оптимальной стратегии может вообще не иметь смысла: в таких играх оптимальными оказываются не стратегии отдельных игроков, а их сочетания для всех игроков сразу. В бескоалиционных играх как оптимальные следует квалифицировать не действия того или иного игрока, а совокупность действий всех игроков.

Поэтому в бескоалиционной игре решение игры – это чаще, нахождение ситуаций равновесия.

Пример 1. Игра “Семейный спор”

Одна из наиболее распространенных интерпретаций игры следующая. Муж (первый игрок) и жена (второй игрок) могут выбрать одно из двух вечерних развлечений: футбольный матч или балет. Естественно предположить, что муж предпочтет футбол, а жена – балет. Однако для обоих гораздо важнее идти вместе, чем смотреть предпочитаемое зрелище в одиночестве. В данной 2х2 биматричной игре функции выигрышей Н 1 и Н 2 соответственного первого и второго игроков можно представить в виде

где стратегии игрока 1: А 1 – выбираю футбол; А 2 – иду на балет; игрока 2: В 1 – иду на футбол, В 2 – на балет.

Очевидно, что для первого игрока предпочтительнее ситуация (А 1 , В 1 ), а для второго (А 2 , В 2 ), и эти ситуации являются равновесными. Однако в данном примере как будет показано ниже, есть еще и третья ситуация равновесия, состоящая в выборе игроками смешанных стратегий: ; с ценой игры для обоих игроков .

Однако выигрыши каждого из игроков в этой ситуации равновесия меньше, чем в двух первых ситуациях равновесия, где они равны 2 или 1, в зависимости от ситуации и игрока.

Хотя стратегии (А 1 ,В 1 ) и (А 2 ,В 2 ) являются оптимальными, поскольку дают максимальные выигрыши, однако приносят игрокам не одинаковые выигрыши, поэтому не являются справедливыми.

Отметим также, что если в матричной игре ни одному из игроков не выгодно информировать противника о своей стратегии, то в данной биматричной игре это свойство не выполняется.

Действительно, если игроки не общаются до игры и оба обладают твердыми характерами, т.е. первый игрок выбирает стратегию А 1 , а второй – В 2 , то в результате они оба проигрывают. Аналогичная ситуация получиться и в том случае, когда каждый из игроков имеет мягкий характер и решает уступить. Так сочетание устойчивости со справедливостью вступает в противоречие с сочетанием устойчивости и выгодности.

Лучшим для игроков в рассматриваемой игре является договорный вариант (А 1 ,В 1 ) или (А 2 ,В 2 ), причем справедливым решением будет их выбор одного из этих вариантов путем бросания монеты. Выпадение герба будет означать, например, что семейство идет на матч по футболу, а решки – на балет. Заметим, что в антагонистической игре в отличие от биматричной нет смысла вести переговоры до игры и уславливаться о совместном плане действий. В рассматриваемой игре, ясно, что если игроки договорились бы играть оба, скажем первую чистую стратегию, причем игрок 1 за получение большего выигрыша, чем игрок 2, заплатил бы ему 1/2, то решение было бы выгодным и справедливым для обоих игроков. Однако в рамках бескоалиционных игр такого рода дележи не предусматриваются.

5.2. Ситуации, оптимальные по Парето

Как уже отмечалось, формальное понятие оптимальности призвано отражать различные варианты содержательных представлений об устойчивости, выгодности и справедливости. Можно считать, что устойчивость ситуации проявляется в ее равновесности.

Другой вариант устойчивости ситуации в большей степени, чем равновесность, отражающей черты ее выгодности, состоит в ее оптимальности по Парето 1 .

Определение 6. Ситуация х 0 в бескоалиционной игре называется оптимальной по Парето, если не существует ситуации х , для которой имеет место векторное неравенство

Иными словами, в оптимальной по Парето ситуации игроки не могут совместными усилиями увеличить выигрыш кого-либо из них, не уменьшив при этом выигрыш кого-либо другого.

Подчеркнем различие ситуации равновесия от ситуации, оптимальной по Парето: в первой ни один игрок, действуя в одиночку, не может увеличить свой собственный выигрыш; во второй, – все игроки, действуя совместно, не могут (даже нестрого) увеличить выигрыш каждого.

Вопросы об оптимальных по Парето ситуациях решаются в принципе проще, чем аналогичные вопросы о ситуациях равновесия (оптимальных по Нэшу).

Проиллюстрируем графический метод определения ситуаций оптимальных по Парето. На рис. 5.1 изображено множество возможных стратегий х 1 , х 2 двух игроков. Каждой точке х  соответствует точка на множестве Н значений функций выигрышей Н 1 ( х ) и Н 2 ( х ) (рис. 5.2).

На рис. 5.2 дуга АСВ соответствует множеству ситуаций оптимальных по Парето, так как никакими совместными усилиями игроков, нельзя увеличить выигрыш одного из них, не уменьшив при этом выигрыш другого.

Определение 7. Игра называется аффинно эквивалентной игре G , если число игроков , стратегии одной игры , (отсюда следует, что игры и имеют одно и то же множество ситуаций), а функции выигрыша

Различие между двумя аффинно эквивалентными играми по существу состоит в различии начальных капиталов игроков и в соотношениях единиц измерения выигрышей, определяемых соответственно величинами C i и k i .

Для однородно аффинно эквивалентных игр k i =k , iN.

Очевидно, что для антагонистических игр понятия аффинной эквивалентности и однородной аффинной эквивалентности совпадают.

Теорема 1. Всякая бескоалиционная игра с постоянной суммой аффинно эквивалентна некоторой игре с нулевой суммой.

Теорема 2. Аффинно эквивалентные игры имеют одни и те же оптимальные по Парето ситуации.

Рассмотрим пример для нахождения ситуации оптимальной по Парето.

Пример 2. Игра “Дилемма заключенного”

Каждый из двух игроков располагает двумя стратегиями: А 2 и В 2 – стратегии агрессивного поведения, а А 1 и В 1 – миролюбивое поведение. Предположим, что “мир” (оба игрока миролюбивы) лучше для обоих игроков, чем “война”. Случай, когда один игрок агрессивный, а другой миролюбивый, выгоднее агрессору. Пусть матрицы выигрышей игроков 1 и 2 в данной биматричной игре имеют вид

Для обоих игроков агрессивные стратегии А 2 и В 2 доминируют мирные стратегии А 1 и В 1 . Таким образом, единственное равновесие в доминирующих стратегиях имеет вид (А 2 ,В 2 ), т.е. постулируется, что результатом некооперативного поведения является война. В то же время исход (А 1 ,В 1 ) (мир) дает больший выигрыш для обоих игроков. Таким образом, некооперативное эгоистическое поведение вступает в противоречие с коллективными интересами. Коллективные интересы диктуют выбор мирных стратегий. В то же время, если игроки не обмениваются информацией, война является наиболее вероятным исходом.

В данном случае ситуация (А 1 , В 1 ) является оптимальной по Парето. Однако эта ситуация неустойчива, что ведет к возможности нарушения игроками установленного соглашения. Действительно, если первый игрок нарушит соглашение, а второй не нарушит, то выигрыш первого игрока увеличится до трех, а второго упадет до нуля и, наоборот. Причем, каждый игрок, не нарушающий соглашение, теряет больше при нарушении соглашения вторым игроком, нежели в том случае, когда они оба нарушают соглашение.

Как видим, в отличие от примера 1 (игра “семейный спор”), где кооперация игроков была им выгодна, в этом примере кооперация не выгодна для игроков.

5.3. Состояние равновесия по Нэшу

Определение 8. Стратегии , в игре N лиц с ненулевой суммой называются оптимальными по Нэшу (решением по Нэшу или точкой равновесия по Нэшу), если для каждого

т.е. каждый игрок в ситуации х* получает свой наибольший выигрыш (в той мере, в какой это от него самого зависит).

В рассмотренной игре “семейный спор” ситуации (А 1 ,В 1 ) и (А 2 ,В 2 ) являются решением по Нэшу, а в игре “дилемма заключенного” таковой является ситуация (А 2 ,В 2 ).

В случае антагонистической игры равновесные стратегии игроков совпадают с их оптимальными стратегиями. Для неантагонистических игр понятие оптимальной стратегии игрока нередко вообще не имеет смысла: в таких играх оптимальными оказываются не стратегии отдельных игроков, а их сочетания (ситуации) и притом для всех игроков сразу. Поэтому в общих бескоалиционных играх оптимальными следует понимать совокупность действия всех игроков (ситуацию в игре), которая и является решением игры.

Как и в играх двух лиц с нулевой суммой, игра N лиц с ненулевой суммой может не иметь решение по Нэшу в чистых стратегиях. Приведенное выше определение 7 решения по Нэшу в чистых стратегиях легко обобщается на случай смешанных стратегий путем подстановки смешанных стратегий , представляющих собой вероятностное распределение на множестве чистых стратегий.

Таким образом мы приходим к вероятностному распределению Х на множестве всех ситуаций. Другими словами, ситуация игры в смешанных стратегиях реализует различные ситуации в чистых стратегиях с некоторыми вероятностями. Значение функции выигрыша каждого из игроков оказывается случайной величиной. В качестве значения функции выигрыша принимается математическое ожидание этой случайной величины.

Дж. Нэшем было доказано существование ситуации равновесия для любой конечной бескоалиционной игры.

Теорема Нэша. В каждой бескоалиционной игре существует хотя бы одна ситуация равновесия в классе смешанных стратегий.

Если, кроме того, функции Н i (х) выпуклые вверх, то решение по Нэшу достигается в классе чистых стратегий.

Заметим, что принципиальная важность теоремы Нэша ограничивается существованием ситуации равновесия. Непосредственно применять ее для нахождения таких ситуаций не удается.

Дж. Нэшем была доказана также следующая теорема.

Теорема 2. Конечная бескоалиционная игра имеет симметричные ситуации равновесия, в которых игроки, равноправно входящие в игру согласно ее условиям, фактически оказываются в одинаковом положении.

Ее применение позволяет избежать отдельных ошибок при решении конечных бескоалиционных игр.

Одним из простых классов бескоалиционных игр ход решения которых поддается элементарному описанию являются биматричные игры, представляющие собой бескоалиционную игру двух игроков с ненулевой суммой.

5.4. Описание биматричных игр

Пусть в биматричной игре игрок 1 имеет m чистых А і , , а игрок 2 имеет n чистых стратегий В j , и в каждой ситуации (A i , B j ) игрок 1 получает выигрыш a ij , а игрок 2 – выигрыш b ij . Значение обеих функций выигрыша игроков естественно представить в виде пары матриц

Поэтому такие игры и называются биматричными. Используют также запись платежных матриц А и В в следующем виде:

Как во многих научных дисциплинах, так и реалиях современного мира может использоваться популярная теория игр, зародившаяся еще в XVIII веке, на заре развития экономической теории. С ее помощью можно выбрать оптимальную стратегию поведения в конфликте разного рода, которая приведет к выигрышу.

Что такое теория игр?

С развитием экономики в конце XVIII века стало зарождаться учение о стратегиях поведения в той или иной ситуации и возможных исходах в зависимости от выбора. Современная теория игр – это один из разделов прикладной математики, занимающийся исследованием операций. В ней с помощью математических методов изучаются оптимальные модели поведения в играх.

Под игрой принято понимать процесс, в котором участвуют две и более сторон. Игроки ведут борьбу за реализацию своих интересов. Каждый из них имеет цель и план. Пересекающиеся стратегии участников образуют игровую ситуацию, в которой все получают определенный выигрыш. Суть теории игр состоит в том, что всегда важно учитывать:

Применение теории игр

В традиционных логических соревнованиях, таких как покер, шахматы, хоккей, футбол и многие другие.
Ученые всерьез заинтересовались военные, которые используют методику для прогнозирования исхода как реальных сражений, так и более тонких игр, например, гонки вооружений.
Теории игр применяется в психологии, политологии и социологии для объяснения поведения индивидов в типичных или особых ситуациях.
В начале XX века Рональд Фишер использовал теоретико-игровую концепцию в описании поведения животных, тем самым открыв применение учения в биологии.
Система широко используется в кибернетике, особенно при создании искусственного интеллекта.
В антропологии и медицине методика применяется, например, при поиске подходящего донора и реципиента некоторых органов.

Теория игр для детей

В XXI веке метод теории игр с успехом применяется и в педагогике для детей самого разного возраста. С его помощью можно:

Научить малышей анализировать поставленные задачи и продумывать действия, необходимые для их выполнения.
С помощью теории ребенок может самостоятельно корректировать свои действия на разных этапах выполнения задач, находить ошибки и исправлять их.
Искусство стратегического мышления будет полезно для более прочного усвоения знаний всех преподаваемых научных дисциплин.
С помощью теории, формирующей алгоритмическое мышление, юный человек легче адаптируется в обществе к реалиям современной жизни, достигает лучших успехов в трудовой и профессиональной деятельности в будущем.

Стратегии в теории игр

Основой поведения в теории игр является стратегия. Это полный набор действий каждого игрока, определяющий его поведения в любой момент игры и при любом возможном стечении обстоятельств. Стратегическое мышление условно подразделяется на:

Чистые стратегии, которые дают полную определенность того, как персонаж будет продолжать игру при любом исходе.
Смешанные стратегии, являющиеся указанием вероятности применения любой чистой стратегии.

Еще одна классификация стратегий представляет собой разделение по способности игроков объединяться:

Кооперативные, когда участники могут вступать в альянсы.
Некооперативный, при которых каждый участник играет в одиночку сам за себя.

Среди основных, широко изучаемых и используемых стратегий, можно выделить:

дилемму заключенного;
доминирующую стратегию;
битву полов;
равновесие Нэша;
игру в орлянку;
око за око;
сильные умеют прощать;
всепрощение
справедливый дележ.

Дилемма заключенного

Отлично иллюстрирует теорию игр так называемая дилемма заключенного. Она является фундаментальной проблемой в теории, ведь рациональные игроки не всегда сотрудничают даже в интересах друг друга. Ее суть сформулировали ученые Мерил Флойд и Мелвин Дрешер в 1950 г, а название придумал математик Альберт Такер. Ее суть состоит в том, что:

Доминирующая стратегия

Если же используется доминирующая стратегия в играх, то это означает, что определенные действия одного из участников дают больший выигрыш, чем другие при любых или конкретных действиях его оппонентов. Различают несколько разновидностей доминирования:

Строгое доминирование, при котором выбранная стратегия А дает больший выигрыш чем В вне зависимости от действий оппонентов.
Слабое доминирование, при которых стратегия А дает больший выигрыш чем В при определенных условиях, а при всех остальных – выигрыш одинаков с оппонентами.

Битва полов

Семейная пара договаривается сходить куда-либо вместе.
Муж хочет на бокс, а жена – на концерт, которые идут в одно и то же время.
Общаться и договариваться они не могут, поэтому должны рационально принять решение поодиночке.
Если муж ведет жену на бокс, то получит два очка, а если пойдет на концерт с супругой – одно.
Выгода жены противоположная – за концерт с мужем она удостоится 2 очков, а за бокс – 1.
Если супруги по отдельности пойдут на желаемые мероприятия, то не получат очков, ведь все же хотели провести время вместе.

Равновесие Нэша

Эта теория перевернула представление о конкуренции по Адаму Смиту, который считал, что каждый участник должен действовать на рынке исключительно в своих интересах. При достижении равновесия Нэша, каждый в игре получает большую выгоду при кооперативном подходе, чем если действует в одиночку только в своих интересах, без учета ходов других игроков.

Игра в орлянку

Два человека берут одну монету.
Первый игрок прячет ее за спиной, орлом или решкой вверх.
Если второй игрок угадывает положение, то первый платит ему одну монету.
Если второй игрок не угадывает, то он обязан заплатить первому одну из своих монет.
То есть у каждого игрока только две стратегии: орел или решка, а множество ситуаций в игре представлено всего четырьмя элементами.

Око за око

В дальнейшем ходе игры действовать нужно симметрично с соперником. То есть, если оппонент сотрудничает, то и с ним нужно кооперироваться. В противном случае врага стоит наказывать за жульничество. Интересным примером применения стратегии является период Первой мировой войны. В ходе затяжной окопной войны, возникшей из-за неправильных действий руководства, солдаты противников начинали дружить, предупреждая друг друга о новых залпах и нарочито стреляли мимо.

Сильные умеют прощать

Всепрощение

Справедливый дележ

Лучшие книги по теории игр

Концепция игр получила свое распространение во многих сферах жизни, от чего ее изучает и дополняет большое количество ученых. Самые полные и популярные труда такого подхода изложены в следующих изданиях:

Лента Мебиуса – изобретение, которое было сделано в 19 веке, но используется до сих пор во многих сферах жизни человека. С помощью нее можно исполнять интересные и занимательные фокусы для детей и взрослых.

Как собрать палатку хотели бы знать многие туристы, ведь без нее не обойтись в походе, особенно многодневном. Существует масса разновидностей временных жилищ, все они легко устанавливаются, если понимать некоторые особенности и нюансы.

Как восстановить свидетельство о рождении стоит знать каждому гражданину, ведь бумажные документы можно потерять или легко испортить. Процедура получения дубликата несложная, однако в ней есть свои нюансы.

То, что снежный человек существует, у многих не вызывает сомнений, а скептики только улыбаются, когда заводится разговор о Йети. Мы собрали много интересных фактов об этом существе, а верить в его существование или нет – личное дело каждого.

Читайте также: