Какие преимущества предоставляет в инженерии знаний теория нечетких множеств

Обновлено: 02.07.2024

В основе нечеткой логики лежит теория нечетких множеств, изложенная в серии работ Л. Заде в 1965-1973 годах. Математическая теория нечетких множеств (fuzzy sets) и нечеткая логика (fuzzy logic) являются обобщениями классической теории множеств и классической формальной логики. Основной причиной появления новой теории стало наличие нечетких и приближенных рассуждений при описании человеком процессов, систем, объектов.

Прежде чем нечеткий подход к моделированию сложных систем получил признание во всем мире, прошло не одно десятилетие с момента зарождения теории нечетких множеств.

Нечеткая логика как научное направление развивалась сложно и непросто, не избежала она и обвинений в лженаучности. Даже в 1989 году, когда примеры успешного применения нечеткой логики в обороне, промышленности и бизнесе исчислялись десятками, Национальное научное общество США обсуждало вопрос об исключении материалов по нечетким множествам из институтских учебников.

Первый период развития нечетких систем (конец 60-х–начало 70 гг.) характеризуется развитием теоретического аппарата нечетких множеств. В 1970 г. Беллман совместно с Заде разработал теорию принятия решений в нечетких условиях.

Во втором периоде (70–80-е годы) появляются первые практические результаты в области нечеткого управления сложными техническими системами (парогенератор с нечетким управлением). И. Мамдани в 1975 г. спроектировал первый функционирующий на основе алгебры Заде контроллер, управляющий паровой турбиной. Одновременно стало уделяться внимание вопросам построения экспертных систем, построенных на нечеткой логике, разработке нечетких контроллеров. Нечеткие экспертные системы для поддержки принятия решений находят широкое применение в медицине и экономике.

Наконец, в третьем периоде, который длится с конца 80-х годов и продолжается в настоящее время, появляются пакеты программ для построения нечетких экспертных систем, а области применения нечеткой логики заметно расширяются. Она применяется в автомобильной, аэрокосмической и транспортной промышленности, в области изделий бытовой техники, в сфере финансов, анализа и принятия управленческих решений и многих других. Кроме того, немалую роль в развитии нечеткой логики сыграло доказательство знаменитой теоремы FAT (Fuzzy Approximation Theorem) Б. Коско, в которой утверждалось, что любую математическую систему можно аппроксимировать системой на основе нечеткой логике.

В бизнесе и финансах нечеткая логика получила признание после того, как в 1988 году экспертная система на основе нечетких правил для прогнозирования финансовых индикаторов единственная предсказала биржевой крах. И количество успешных фаззи-применений в настоящее время исчисляется тысячами.

В Японии это направление переживает настоящий бум. Здесь функционирует специально созданная организация – Laboratory for International Fuzzy Engineering Research. Программой этой организации является создание более близких человеку вычислительных устройств.

Информационные системы, базирующиеся на нечетких множествах и нечеткой логике, называют нечеткими системами.

функционирование в условиях неопределенности;
оперирование качественными и количественными данными;
использование экспертных знаний в управлении;
построение моделей приближенных рассуждений человека;
устойчивость при действии на систему всевозможных возмущений.

отсутствие стандартной методики конструирования нечетких систем;
невозможность математического анализа нечетких систем существующими методами;
применение нечеткого подхода по сравнению с вероятностным не приводит к повышению точности вычислений.

Теория нечетких множеств

Главное отличие теории нечетких множеств от классической теории четких множеств состоит в том, что для четких множеств результатом вычисления характеристической функции могут быть только два значения – 0 или 1, то для нечетких множеств это количество бесконечно, но ограничено диапазоном от нуля до единицы.

Нечеткое множество

Пусть U - так называемое универсальное множество, из элементов которого образованы все остальные множества, рассматриваемые в данном классе задач, например множество всех целых чисел, множество всех гладких функций и т.д. Характеристическая функция множества - это функция , значения которой указывают, является ли элементом множества A:

В теории нечетких множеств характеристическая функция называется функцией принадлежности, а ее значение - степенью принадлежности элемента x нечеткому множеству A.

Более строго, нечетким множеством A называется совокупность пар

где— функция принадлежности, т.е.

Пусть, например, U=a, b, c, d, e>, . Тогда элемент a не принадлежит множеству A, элемент b принадлежит ему в малой степени, элемент c более или менее принадлежит, элемент d принадлежит в значительной степени, e является элементом множества A.

Пример. Пусть универсум U есть множество действительных чисел. Нечеткое множество A, обозначающее множество чисел, близких к 10, можно задать следующей функцией принадлежности (рис. 19):

, где
Рис. 19. Функция принадлежности

Показатель степени m выбирается в зависимости от степени близости к 10. Например, для описания множества чисел, очень близких к 10, можно положить m=4, для множества чисел, не очень далеких от 10, m=1.

Носителем нечеткого множества A называется четкое множество таких точек в U, для которых величина положительна, т.е.

Ядром нечеткого множества A называется четкое множество таких точек в U, для которых величина = 1.

Множеством уровня (-срезом) нечеткого множества A называется четкое подмножество универсального множества U, определяемое по формуле , где

Функцию принадлежности называют нормальной, если ядро нечеткого множества содержит хотя бы один элемент.

Операции над нечеткими множествами

Для нечетких множеств, как и для обычных, определены основные операции: объединение, пересечение и инверсия/дополнение.

Пример. Пусть A— нечеткое множество "от 5 до 8"и B— нечеткое множество "около 4", заданные своими функциями принадлежности (рис.20):

Рис. 20. Функции принадлежности нечетких множеств А и B.

Тогда, используя максиминные операции, мы получим следующие множества, изображенные на рис. 21.

Рис. 21. Функции принадлежности нечетких множеств, полученных из А и B.

При максиминном и алгебраическом определении операций не будут выполняться законы противоречия и исключения третьего:

а в случае ограниченных операций не будут выполняться свойства идемпотентности и дистрибутивности:

Можно показать, что при любом построении операций объединения и пересечения в теории нечетких множеств приходится отбрасывать либо законы противоречия и исключения третьего, либо законы идемпотентности и дистрибутивности.

Нечеткая логика

Понятие нечеткой и лингвистической переменных используется при описании объектов и явлений с помощью нечетких множеств.

Нечеткая переменная характеризуется тройкой , где  - наименование переменной, X - универсальное множество (область определения ),
A - нечеткое множество на X, описывающее ограничения (т.е.  _A(x)) на значения нечеткой переменной .

Лингвистической переменной называется набор , где  - наименование лингвистической переменной, Т - множество ее значений (терм-множество), представляющих собой наименования нечетких переменных, областью определения каждой из которых является множество X (множество T называется базовым терм-множеством лингвистической переменной), G - синтаксическая процедура, позволяющая оперировать элементами терм-множества T, в частности, генерировать новые термы (значения), М - семантическая процедура, позволяющая превратить каждое новое значение лингвистической переменной, образуемое процедурой G, в нечеткую переменную, т.е. сформировать соответствующее нечеткое множество.

Лингвистическую переменную можно определить как переменную, значениями которой являются не числа, а слова или предложения естественного (или формального) языка. Например, лингвистическая переменная "возраст" может принимать следующие значения: "очень молодой", "молодой", "среднего возраста", "старый", "очень старый" и др. Ясно, что переменная "возраст" будет обычной переменной, если ее значения — точные числа; лингвистической она становится, будучи использованной в нечетких рассуждениях человека.

Пример: Пусть эксперт определяет толщину выпускаемого изделия с помощью понятий "малая толщина", "средняя толщина" и "большая толщина", при этом минимальная толщина равна 10 мм, а максимальная - 80 мм (рис. 23).

Формализация такого описания может быть проведена с помощью следующей лингвистической переменной , где

 - толщина изделия;
T - малая толщина", "средняя толщина", "большая толщина">;
X - [10, 80];
G - процедура образования новых термов с помощью связок "и", "или" и модификаторов типа "очень", "не", "слегка" и др. Например: "малая или средняя толщина" (рис. 24), "очень малая толщина" и др.;
М - процедура задания на X = [10, 80] нечетких подмножеств А₁ , А₂ , А₃ , а также нечетких множеств для термов из G(T) в соответствии с правилами трансляции нечетких связок и модификаторов "и", "или", "не", "очень", "слегка" и др.

Наряду с рассмотренными выше базовыми значениями лингвистической переменной "толщина" (Т=малая толщина", "средняя толщина", "большая толщина">) возможны значения, зависящие от области определения Х. В данном случае значения лингвистической переменной "толщина изделия" могут быть определены как "около 20 мм", "около 50 мм", "около 70 мм", т.е. в виде нечетких чисел.

Рис. 23. Функции принадлежности нечетких множеств:
"малая толщина" = А₁ , "средняя толщина"= А₂, " большая толщина"= А₃ .

Рис. 24. Функция принадлежности:
нечеткое множество "малая или средняя толщина" = А₁А₁

Например, если A — высказывание "Иван в больнице", B — высказывание "Иван болен", то если истинны высказывания "Иван в больнице" и "Если Иван в больнице, то он болен", то истинно и высказывание "Иван болен".

Во многих привычных рассуждениях, однако, правило modus ponens используется не в точной, а в приближенной форме. Так, обычно мы знаем, что A истинно и что , где есть, в некотором смысле, приближение A. Тогда из мы можем сделать вывод о том, что B приближенно истинно.

Нечеткая импликация выражается в следующем виде:

существует хотя бы одно правило для каждого лингвистического терма выходной переменной;
для любого терма входной переменной имеется хотя бы одно правило, в котором этот терм используется в качестве предпосылки (левая часть правила).

Сопоставить факты с каждым из правил и определить степень соответствия, назначив текущую силой правил.
Для каждого правила, сила которого больше заданного порога вычислить достоверность левой части.
Для каждого правила с помощью оператора импликации вычислить достоверность правой части.
Для многих результатов, полученных по различным правилам, выбрать одно (усредненное)

если Температура низкая и Расход малый, то Давление низкое;
если Температура средняя, то Давление среднее;
если Температура высокая или Расход большой, то Давление высокое.

Температура. Универсум (множество возможных значений) — отрезок [0, 150]. Начальное множество термов Высокая, Средняя, Низкая>. Функции принадлежности термов имеют следующий вид (рис. 25):

Рис.25. Функции принадлежности термов лингвистической переменной Температура

Давление. Универсум — отрезок [0, 100]. Начальное множество термов Высокое, Среднее, Низкое>. Функции принадлежности термов имеют следующий вид (рис. 26):

Рис.26. Функции принадлежности термов лингвистической переменной Давление

Расход. Универсум — отрезок [0, 8]. Начальное множество термов Большой, Средний, Малый>. Функции принадлежности термов имеют следующий вид (рис. 27):

Рис.27. Функции принадлежности термов лингвистической переменной Расход

Пусть известны значения Температура - 85 и Расход - 3,5 . Произведем расчет значения давления.

Температура низкая и Расход малый: min(Темп. Низкая, Расход Малый)= min(0.3, 0.25)=0.25;
Температура Средняя: 1;
Температура Высокая или Расход Большой: max(Темп. Высокая, Расход Большой)= max(0.7,0)=0,7.

Рис.28. Результат этапа фаззификации.

Этап аккумуляции (объединение результатов применения всех правил). Один из основных способов аккумуляции — построение максимума полученных функций принадлежности (объединение функций принадлежности, полученных на этапе фаззификации).

Полученную функцию принадлежности уже можно считать результатом. Это новый терм выходной переменной Давление. Его функция принадлежности говорит о степени уверенности в значении давления при заданных значениях входных параметров и использовании правил, определяющих соотношение входных и выходных переменных. Но обычно все-таки необходимо какое-то конкретное числовое значение.

Рис.29. Результат этапа аккумуляции.

Этап дефаззификации (получение конкретного значения из универса по заданной на нем функции принадлежности). Существует множество методов дефаззификации, но в этом случае достаточно метода первого максимума. Применяя его к полученной функции принадлежности, получаем, что значение давления — 50. Таким образом, если мы знаем, что температура равна 85, а расход рабочего вещества — 3,5, то можем сделать вывод, что давление в реакторе равно примерно 50.

/180 =/180 =min
/180 =/180 =max
/180 =/180 =0.5*(/180 +/180)=0.875
/180 =0.75, /180=1
Нет правильного ответа

d) Нет правильного ответа

8. Пусть (u), (u) – функции принадлежности нечетких множества А и В на универсальном множестве U. Пусть также С – нечеткое множество с функцией принадлежности _С(u), которое является пересечение А и В. Определить значение принадлежности uU нечеткому множеству С, если _А(u)=0,5 и _В(u) = 0?

Математическая теория нечетких множеств и нечеткая логика являются обобщениями классической теории множеств и классической формальной логики. Изначально это была только теория, а в настоящее время она превратилась в полноценную методику управления. В статье даем вводный экскурс в теорию нечетких множеств.

Введение

Математическая теория нечетких множеств (fuzzy sets) и нечеткая логика (fuzzy logic) являются обобщениями классической теории множеств и классической формальной логики. Данные понятия были впервые предложены американским ученым Лотфи Заде (Lotfi Zadeh) в 1965 г. Основной причиной появления новой теории стало наличие нечетких и приближенных рассуждений при описании человеком процессов, систем, объектов.

Прежде чем нечеткий подход к моделированию сложных систем получил признание во всем мире, прошло не одно десятилетие с момента зарождения теории нечетких множеств. И на этом пути развития нечетких систем принято выделять три периода.

Первый период (конец 60-х–начало 70 годов) характеризуется развитием теоретического аппарата нечетких множеств (Л. Заде, Э. Мамдани, Беллман). Во втором периоде (70–80-е годы) появляются первые практические результаты в области нечеткого управления сложными техническими системами (парогенератор с нечетким управлением). Одновременно стало уделяться внимание вопросам построения экспертных систем, основанных на нечеткой логике, разработке нечетких контроллеров. Нечеткие экспертные системы для поддержки принятия решений находят широкое применение в медицине и экономике.

Триумфальное шествие нечеткой логики по миру началось после доказательства в конце 80-х Бартоломеем Коско знаменитой теоремы FAT (Fuzzy Approximation Theorem). В бизнесе и финансах нечеткая логика получила признание после того как в 1988 году экспертная система на основе нечетких правил для прогнозирования финансовых индикаторов единственная предсказала биржевой крах. И количество успешных фаззи-применений в настоящее время исчисляется тысячами.

Математический аппарат

Характеристикой нечеткого множества выступает функция принадлежности (Membership Function). Обозначим через MF_c(x) — степень принадлежности к нечеткому множеству C , представляющей собой обобщение понятия характеристической функции обычного множества. Тогда нечетким множеством C называется множество упорядоченных пар вида C = \left \ < MF_c(x)/x \right \>, MF_c(x) [0,1] . Значение MF_c(x)=0 означает отсутствие принадлежности к множеству, 1 – полную принадлежность.

Для нечетких множеств, как и для обычных, определены основные логические операции. Самыми основными, необходимыми для расчетов, являются пересечение и объединение.

A B: MF_(x)=min(MF_A(x), MF_B(x))

A B: MF_(x)=max(MF_A(x), MF_B(x))

В теории нечетких множеств разработан общий подход к выполнению операторов пересечения, объединения и дополнения, реализованный в так называемых треугольных нормах и конормах. Приведенные выше реализации операций пересечения и объединения — наиболее распространенные случаи t-нормы и t-конормы.

Для описания нечетких множеств вводятся понятия нечеткой и лингвистической переменных.

Нечеткая переменная описывается набором (N,X,A) , где N — это название переменной, X — универсальное множество (область рассуждений), A — нечеткое множество на X .

Значениями лингвистической переменной могут быть нечеткие переменные, т.е. лингвистическая переменная находится на более высоком уровне, чем нечеткая переменная. Каждая лингвистическая переменная состоит из:

названия;
множества своих значений, которое также называется базовым терм-множеством T . Элементы базового терм-множества представляют собой названия нечетких переменных;
универсального множества X ;
синтаксического правила G , по которому генерируются новые термы с применением слов естественного или формального языка;
семантического правила P , которое каждому значению лингвистической переменной ставит в соответствие нечеткое подмножество множества X .

Существует свыше десятка типовых форм кривых для задания функций принадлежности. Наибольшее распространение получили: треугольная, трапецеидальная и гауссова функции принадлежности.

Треугольная функция принадлежности определяется тройкой чисел (a,b,c) , и ее значение в точке x вычисляется согласно выражению:

При (b-a)=(c-b) имеем случай симметричной треугольной функции принадлежности, которая может быть однозначно задана двумя параметрами из тройки (a,b,c) .

Аналогично для задания трапецеидальной функции принадлежности необходима четверка чисел (a,b,c,d) :

При (b-a)=(d-c) трапецеидальная функция принадлежности принимает симметричный вид.

Рисунок 1. Типовые кусочно-линейные функции принадлежности

Функция принадлежности гауссова типа описывается формулой:

и оперирует двумя параметрами. Параметр c обозначает центр нечеткого множества, а параметр отвечает за крутизну функции.

Рисунок 2. Гауссова функция принадлежности

Количество термов в лингвистической переменной редко превышает 7.

Нечеткий логический вывод

Существует хотя бы одно правило для каждого лингвистического терма выходной переменной.
Для любого терма входной переменной имеется хотя бы одно правило, в котором этот терм используется в качестве предпосылки (левая часть правила).

В противном случае имеет место неполная база нечетких правил.

Пусть в базе правил имеется m правил вида:

R_1 : ЕСЛИ x_1 это A_ … И … x_n это A_ , ТО y это B_1

R_i : ЕСЛИ x_1 это A_ … И … x_n это A_ , ТО y это B_i

R_m : ЕСЛИ x_1 это A_ … И … x_n это A_ , ТО y это B_m ,

где x_k, k=1..n — входные переменные; y — выходная переменная; A_ — заданные нечеткие множества с функциями принадлежности.

Результатом нечеткого вывода является четкое значение переменной y^* на основе заданных четких значений x_k , k=1..n .

В общем случае механизм логического вывода включает четыре этапа: введение нечеткости (фазификация), нечеткий вывод, композиция и приведение к четкости, или дефазификация (см. рисунок 5).

Рисунок 5. Система нечеткого логического вывода

Алгоритмы нечеткого вывода различаются, главным образом, видом используемых правил, логических операций и разновидностью метода дефазификации. Разработаны модели нечеткого вывода Мамдани, Сугено, Ларсена, Цукамото.

Рассмотрим подробнее нечеткий вывод на примере механизма Мамдани (Mamdani). Это наиболее распространенный способ логического вывода в нечетких системах. В нем используется минимаксная композиция нечетких множеств. Данный механизм включает в себя следующую последовательность действий:

Геометрический смысл такого значения — центр тяжести для кривой MF(y) . Рисунок 6 графически показывает процесс нечеткого вывода по Мамдани для двух входных переменных и двух нечетких правил R1 и R2 .

Рисунок 6. Схема нечеткого вывода по Мамдани

Интеграция с интеллектуальными парадигмами

Влияние нечеткой логики оказалось, пожалуй, самым обширным. Подобно тому, как нечеткие множества расширили рамки классической математическую теорию множеств, нечеткая логика вторглась практически в большинство методов Data Mining, наделив их новой функциональностью. Ниже приводятся наиболее интересные примеры таких объединений.

Нечеткие нейронные сети

Нечеткие нейронные сети (fuzzy-neural networks) осуществляют выводы на основе аппарата нечеткой логики, однако параметры функций принадлежности настраиваются с использованием алгоритмов обучения НС. Поэтому для подбора параметров таких сетей применим метод обратного распространения ошибки, изначально предложенный для обучения многослойного персептрона. Для этого модуль нечеткого управления представляется в форме многослойной сети. Нечеткая нейронная сеть, как правило, состоит из четырех слоев: слоя фазификации входных переменных, слоя агрегирования значений активации условия, слоя агрегирования нечетких правил и выходного слоя.

Наибольшее распространение в настоящее время получили архитектуры нечеткой НС вида ANFIS и TSK. Доказано, что такие сети являются универсальными аппроксиматорами.

Быстрые алгоритмы обучения и интерпретируемость накопленных знаний — эти факторы сделали сегодня нечеткие нейронные сети одним из самых перспективных и эффективных инструментов мягких вычислений.

Адаптивные нечеткие системы

Классические нечеткие системы обладают тем недостатком, что для формулирования правил и функций принадлежности необходимо привлекать экспертов той или иной предметной области, что не всегда удается обеспечить. Адаптивные нечеткие системы (adaptive fuzzy systems) решают эту проблему. В таких системах подбор параметров нечеткой системы производится в процессе обучения на экспериментальных данных. Алгоритмы обучения адаптивных нечетких систем относительно трудоемки и сложны по сравнению с алгоритмами обучения нейронных сетей, и, как правило, состоят из двух стадий:

Генерация лингвистических правил;
Корректировка функций принадлежности.

Первая задача относится к задаче переборного типа, вторая — к оптимизации в непрерывных пространствах. При этом возникает определенное противоречие: для генерации нечетких правил необходимы функции принадлежности, а для проведения нечеткого вывода — правила. Кроме того, при автоматической генерации нечетких правил необходимо обеспечить их полноту и непротиворечивость.

Значительная часть методов обучения нечетких систем использует генетические алгоритмы. В англоязычной литературе этому соответствует специальный термин — Genetic Fuzzy Systems.

Значительный вклад в развитие теории и практики нечетких систем с эволюционной адаптацией внесла группа испанских исследователей во главе с Ф. Херрера (F. Herrera).

Нечеткие запросы

Нечеткие ассоциативные правила

Нечеткие ассоциативные правила (fuzzy associative rules) — инструмент для извлечения из баз данных закономерностей, которые формулируются в виде лингвистических высказываний. Здесь введены специальные понятия нечеткой транзакции, поддержки и достоверности нечеткого ассоциативного правила.

Нечеткие когнитивные карты

Нечеткие когнитивные карты (fuzzy cognitive maps) были предложены Б. Коско в 1986 г. и используются для моделирования причинных взаимосвязей, выявленных между концептами некоторой области. В отличие от простых когнитивных карт, нечеткие когнитивные карты представляют собой нечеткий ориентированный граф, узлы которого являются нечеткими множествами. Направленные ребра графа не только отражают причинно-следственные связи между концептами, но и определяют степень влияния (вес) связываемых концептов.

Активное использование нечетких когнитивных карт в качестве средства моделирования систем обусловлено возможностью наглядного представления анализируемой системы и легкостью интерпретации причинно-следственных связей между концептами. Основные проблемы связаны с процессом построения когнитивной карты, который не поддается формализации. Кроме того, необходимо доказать, что построенная когнитивная карта адекватна реальной моделируемой системе. Для решения данных проблем разработаны алгоритмы автоматического построения когнитивных карт на основе выборки данных.

Нечеткая кластеризация

Список можно продолжить и дальше: нечеткие деревья решений, нечеткие сети Петри, нечеткая ассоциативная память, нечеткие самоорганизующиеся карты и другие гибридные методы.

Нечеткое множество(fuzzyset) представляет собой совокупность элементов произвольной природы, относительно которых нельзя точно утверждать – обладают ли эти элементы некоторым характеристическим свойством, которое используется для задания нечеткого множества.

Пусть X – универсальное (базовое) множество, x – элемент X , а R – некоторое свойство. Обычное (четкое) подмножество A универсального множества X , элементы которого удовлетворяют свойству R , определяется как множество упорядоченных пар
A = μ A x / x , где μ A x – характеристическая функция, принимающая значение 1 , если x удовлетворяет свойству R , и 0 – в противном случае.

Носителем нечеткого множества A является четкое подмножество S A универсального множества X со свойством μ A x > 0 , т.е. Иными словами, носителем нечеткого множества A является подмножество S A универсального множества X , для элементов которого функция принадлежности μ A x > 0 больше нуля. Иногда носитель нечеткого множества обозначают support A .

Если носителем нечеткого множества A является дискретное подмножество S A , то нечеткое подмножество A универсального множества X , состоящего из n элементов, можно представить в виде объединения конечного числа одноточечных множеств μ A x / x при помощи символа ∑ : A = ∑ i = 1 n μ A x i / x i . При этом подразумевается, что элементы x i упорядочены по возрастанию в соответствии со своими индексами, т.е.

Если носителем нечеткого множества A является непрерывное подмножество S A , то нечеткое подмножество A универсального множества X , рассматривая символ ∫ как непрерывный аналог введенного выше символа объединения для дискретных нечетких множеств ∑ , можно представить в виде объединения бесконечного числа одноточечных множеств μ A x / x :

A = 1 / 10 ; 0,9 / 11 ; 0,8 / 12 ; 0,7 / 13 ; 0,5 / 14 ; 0,3 / 15 ; 0,1 / 16 ; 0 / 17 ; … ; 0 / 40 ,

A = 1 / 10 + 0,9 / 11 + 0,8 / 12 + 0,7 / 13 + 0,5 / 14 + 0,3 / 15 + 0,1 / 16 + 0 / 17 + … + 0 / 40 ,

где знак суммирования обозначает не операцию арифметического сложения, а объединения элементов в одно множество. Носителем нечеткого множества A будет конечное подмножество (дискретный носитель):

S A = 10 ; 11 ; 12 ; 13 ; 14 ; 15 ; 16 .

Если же универсальное множество X является множеством действительных чисел от 10 до 40 , т.е. толщина изделия может принимать все возможные значения в этих пределах, то носителем нечеткого множества A является отрезок S A = 10 ; 16 .

Нечеткое множество с дискретным носителем может быть представлено в виде отдельных точек на плоскости, нечеткое множество с непрерывным носителем может быть представлено в виде кривой, что соответствует дискретной и непрерывной функциям принадлежности μ A x , заданным на универсальном множестве X (рис.2.1).

Рис.2.1. Функции принадлежности нечетких множеств с (а)-дискретным и (б)-непрерывным носителями

Пример. Пусть X = 0 ; 1 ; 2 ; … – множество целых неотрицательных чисел . Нечеткое множество ital малый можно определить как

Рис.2.2. Графическое представление нечеткого множества малый

Нечеткое множество A называется конечным, если его носитель S A является конечным четким множеством. При этом, по аналогии с обычными множествами, можно говорить, что такое нечеткое множество имеет конечную мощность card A = card S A . Нечеткое множество A называется бесконечным, если его носитель S A не является конечным четким множеством. При этом счетным нечетким множеством будет называться нечеткое множество с счетным носителем, имеющим счетную мощность в обычном смысле в терминах теории четких множеств, т.е. если S A содержит бесконечное число элементов, которые однако можно пронумеровать натуральными числами 1,2 ,3 . . . , причем достичь последнего элемента при нумерации принципиально невозможно. Несчетным нечетким множеством будет называться нечеткое множество со несчетным носителем, имеющим несчетную мощность континуума, т.е. если S A содержит бесконечное число элементов, которые невозможно пронумеровать натуральными числами 1,2 ,3 . . .

Величина sup x ∈ X μ A x называется высотой нечеткого множества.

Нечеткое множество A нормально, если его высота равна 1 , т.е. верхняя граница его функции принадлежности sup x ∈ X μ A x = 1 . нечеткое множество называется субнормальным.

Нечеткое множество называется пустым, если ∀ x ∈ X μ A x = 0 .

Непустое субнормальное множество всегда можно нормализовать, разделив все значения функции принадлежности на ее максимальное значение μ A x sup x ∈ X μ A x .

Нечеткое множество называется унимодальным, если μ A x = 1 только для одной точки x (моды) универсального множества X .

Нечеткое множество называется точечным, если μ A x > 0 только для одной точки x универсального множества X .

Множеством α -уровня нечеткого множества A , определенного на универсальном множества X , называется четкое подмножество A α универсального множества X , определяемое в виде:

A α = x ∈ X ∣ μ A x ≥ α , где α ∈ 0 ; 1 .

Пример. A = 0,8 / 1 + 0,6 / 2 + 0,2 / 3 + 1 / 4 , A 0,5 = 1 ; 2 ; 4 , где A 0,5 – четкое множество, включающее те элементы x упорядоченных пар составляющих нечеткое множество A , для которых значение функции принадлежности которых удовлетворяет условию

Для множеств α -уровня выполняется следующее свойство: если α 1 ≥ α 2 , то мощность подмножества A α 1 не больше мощности подмножества A α 2 .

Элементы x ∈ X , для которых μ A x = 0,5 называются точками перехода нечеткого множества A .

Ядром нечеткого множества A , определенного на универсальном множестве X , называется четкое множество core A , элементы которого удовлетворяют условию core A = x ∈ X ∣ μ A x = 1 .

Границей нечеткого множества A , определенного на универсальном множестве X , называется четкое множество front A , элементы которого удовлетворяют условию front A = x ∈ X ∣ 0 μ A x 1 .

Пример.Пусть X = 0 ; 1 ; 2 ; … ; 10 , M = 0 ; 1 . Нечеткое множество несколько можно определить на универсальном множестве натуральных чисел следующим образом: несколько = 0,5 / 3 + 0,8 / 4 + 1 / 5 + 1 / 6 + 0,8 / 7 + 0,5 / 8 ; его характеристики: высота = 1 , носитель = 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 , точки перехода = 3 ; 8 , ядро = 5 ; 6 , граница = 3 ; 4 ; 7 ; 8 .

Нечеткое множество A , определенное на универсальном множестве X , называется выпуклым, если (рис.2.3).

Рис.2.3. Функции принадлежности выпуклого и невыпуклого нечетких множеств

ЭЛЕМЕНТЫ НЕЧЕТКОЙ ЛОГИКИ И ТЕОРИИ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Понятие нечеткого множества – это способ математической формализации нечеткой информации для построения математических моделей. В основе этого понятия лежит представление о том, что элементы, которые составляют это множество и владеют общим свойством, могут владеть этим свойством в разной степени и, соответственно, принадлежит этому множеству с разной степенью. При таком подходе выражение типа: “какой-либо элемент принадлежит этому множеству” теряет смысл, поскольку необходимо указать “насколько сильно” или с какой степенью конкретный элемент удовлетворяет свойству данного множества. Понятно, кроме того, что и высказывание об принадлежности или не принадлежности объекта нечеткого множества так же является приблизительно верным или ложным. В этом случае необходимо использовать логику, значения истинности высказывания, в которой они могут быть любыми, в пределах от полной истинности до полной ложности. Такая логика получила название нечеткой или размытой. Так же известна как непрерываемая логика или логика с бесконечным множеством значений истинности [1;2].

В данной работе рассматриваются основные понятия нечеткой логики и теории нечетких множеств, а также приводятся типовые примеры и иллюстрации для закрепления знаний, полученных из изложенного в данной работе материала.

Элементы нечеткой логики.

Понятие нечеткого множества.

Пусть E – универсальное множество, x – элемент из множества E , а G – некоторое свойство. Обычное (четкое) подмножество A универсального множества E элементы которого имеют свойство G , определяется как множество упорядоченных пар , где – характеристическая функция принадлежности, которая принимает значение 1, если x имеет свойство G , и 0 – в противном случае.

Нечеткое подмножество отличается от обычного тем, что для элементов x из E нет однозначного ответа “да” или “нет” касательно свойства G . В связи с этим нечеткое подмножество A универсального множества E определяется как множество упорядоченных пар , где – функция принадлежности, которая принимает значение в некотором полностью упорядоченном множестве M (например, .

Функция принадлежности указывает степень принадлежности элемента x подмножеству A . Множество M называют множеством принадлежности.

Высотой (супремумом) нечеткого множества A называется величина – это точная верхняя граница или максимальное значение принадлежности, которое есть во множестве.

Нормальной является нечеткое множество A , если ее высота равна 1, то есть верхняя граница ее функции принадлежности равна 1 ( .

Субнормальным называется нечеткое множество A при .

Пустым – нечеткое множество , если .

Унимодальным – нечеткое множество A , если только на одно из .

Ядром нечеткого множества A называют такое обычное множество , элементы которого удовлетворяют заданному условию: .

Носителем нечеткого множества A есть обычное подмножество B со свойством , то есть .

Нечеткое множество конечно, если ее носителем является конечное множество.

Пределами нечеткого множества A есть такие элементы универсального множества E , для которых значения функции принадлежности варьируются от 0 до 1: .

Точками перехода множества A называют такие элементы , для которых .

Четкое множество α–уровня (альфа–срез) нечеткого множества A универсального множества E – элементы, принадлежность которых выше или равна заданному порогу: , где α–порог: (порог, который равен 0,5, называют точкой перехода). Свойство множества α–уровня: если , то .

Нечеткая логика

Так же, как и в основе теории четких множеств лежит четкая логика, так и в случае нечетких множеств используется нечеткая логика. В случае двузначной четкой логики существуют полные системы, которые создаются операциями НЕ–И–ИЛИ, НЕ–И и НЕ–ИЛИ. С их помощью можно записать все другие операции [1; 3–5].

Рассмотрим расширение НЕ, И, ИЛИ относительно нечетких операций. Назовем эти расширения соответственно нечетким отрицанием, t -нормой и t -конормой ( S -нормой).

Нечеткое отрицание является аналогом четкой операции НЕ и представляет собой бинарную операцию отрицания в нечетком содержании оценки [0,1], которая в ответе дает оценку [0,1].

Нечетким отрицанием называется функция , что удовлетворяет следующие условия:

для – правило удвоенного отрицания;

– инвертация (в содержании строгого неравенства) последовательности оценок, то есть изменение места хороших и плохих оценок.

Типичная операция нечеткого отрицания – это “вычитание от 1”: .

Из условий 1)–3) непосредственно выплывает следствие: .

Нечетким расширением И есть t -норма (треугольная норма).

Треугольной нормой ( t -нормой) называется двуместная функция t : , которое удовлетворяет такие требования для всех :

Типичной t -нормой является операция min или логическое произведение .

Нечетким расширением ИЛИ есть t -конорма (или S -норма).

Треугольной конормой ( t -конормой) называется двуместная действительная функция S : , со свойствами:

Типичными t -конормами являются:

– сильная t -конорма.

На практике обычно используют логические операции и .

Рассмотрим теперь расширение условного оператора “ЕСЛИ… ТО” (или операция импликации) относительно нечетких операций.

Нечеткая импликация определяет причинно–следственное отношение между условиями и последствиями правил. Операции нечеткой импликации можно разделить на три основные классы:

Отдельно выделяют нечеткие импликации, которые определяются:

Для операции импликации I ( x , y ) могут быть использованы следующие свойства:

– ложность влечет за собой все;

тогда и только тогда, когда ;

Функция I ( x , y ) является непрерывной.

Нечеткие высказывания

Нечетким высказыванием называется предложение, относительно которого можно судить о степени его истинности или ложности в настоящее время.

Итак, степень ложности каждого нечеткого выражения принимает значение из интервала [0,1], при чем 0 и 1 являются граничными значениями степени истинности и совпадают с понятиями ложности и истинности для четких выражений.

Индифферентностью назовем нечеткое высказывание, которое имеет значение степени истинности, равное 0,5, поскольку оно истинно в той же мере, сколь и ложно.

Нечеткие высказывания, в отличии от четких высказываний, будем обозначать прописными латинскими буквами с тильдой. Поскольку в нечеткой логике степень истинности каждого высказывания рассматривается независимо от его содержания, то нечеткое высказывание и степень его истинности будем обозначать одной и той же буквой.

Нечеткие высказывания бывают простые и сложные. Сложные нечеткие высказывания создаются из простых с помощью нечетких логических операций отрицания (), конъюнкции (), дизъюнкции (), импликации (), эквивалентности () и других.

Отрицание нечеткого высказывания называется нечеткое высказывание, которое обозначается , степень истинности которого определяется выражением: .

Откуда выплывает, что степень ложности высказывания совпадает со степенью истинности высказываний .

Конъюнкцией нечетких высказываний и называется нечеткое высказывание, которое обозначается , степень истинности которого определяется выражением: .

Значит, степень истинности нечеткого высказывания совпадает со степенью истинности наименее истинного высказывания.

Дизъюнкцией нечетких высказываний и называется нечеткое высказывание, которое обозначается , степень истинности которого определяется выражением: .

Таким образом, степень истинности нечеткого высказывания совпадает со степенью истинности наиболее истинного высказывания.

Импликацией нечетких высказываний и называется нечеткое высказывание, которое обозначается , степень истинности которого определяется выражением: .

Итак, степень истинности импликации не меньше, чем степень истинности ее посылания или степень истинности ее следствия. Кроме того, степень истинности импликации тем выше, чем меньше степень истинности посылания или чем больше степень истинности следствия.

Эквивалентностью нечетких высказываний и называется нечеткое высказывание, которое обозначается , степень истинности которого определяется выражением: .

Откуда следует, степень истинности нечеткого высказывания совпадает со степенью истинности наименее истинной из импликаций .

Несложно убедится, что высказывания в определениях логических операций над нечеткими высказываниями в случаях, когда степень истинности высказываний и принимает только два значения 0 и 1, определяют соответствующие логические операции над четкими высказываниями.

Нечетко близкими называются два высказывания и , если степень истинности высказываний больше или равна 0,5. В случае равности 0,5, их называют нечетко взаимно индифферентными.

Кроме логических операций, для составления сложных нечетких высказываний могут быть использованы операции поднесения в степень, нахождения корня, умножения и сложения.

В сложном нечетком высказывании порядок выполнения логических операций определяется скобками, а при их отсутствии сначала выполняется отрицание, потом конъюнкция, дальше дизъюнкция, потом импликация и эквивалентность.

Операции над нечеткими множествами

Пусть задано в Х. Введем понятие степени включения нечеткого множества в нечеткое множество , которое находится по формуле: , где понимаются как нечеткие высказываемые переменные, а – операция конъюнкции, которая берется по всем [1;6].

Аналогичным образом можно определить и степени включения нечеткого множества в множества .

Если , то будем считать, что множество нечетко включается в множество , и обозначается . Если , то считаем, что множество нечетко не включается в множество , и обозначается .

Легко увидеть, что рассмотренное понятие нечеткого включения нечетких множеств есть обобщением понятия включения четких множеств.

Подчеркнем, что степень включения одного нечеткого множества в другое может быть определена для любых двух нечетких множеств. При этом она может принимать любое значение от 0 до 1.

Определим степень равенства нечетких множеств выражением:

Если , то будем считать, что множества нечетко равные, и обозначаются . Если , то считаем, что множества нечетко неравные, и обозначаются .

В случае, когда , множества одновременно нечетко равные и не равные. Эти множества называют взаимно индифферентными и обозначают .

Понятно, что рассмотренное понятие степени равности двух нечетких множеств является обобщенным понятием равности четких множеств , поскольку в случае мы получим , а при получим .

Если и , то будем считать, что нечетко строго включается в множество .

Легко показать, что , то есть степень равности нечетких множеств определяются как минимум со степенью их взаимного включения.

Если , то есть множества нечетко равные, то и . Так что, множество нечетко включается в множество и наоборот. Откуда следует метод доказательства нечеткого равенства двух и более нечетких множеств, основанный на доказательстве взаимного нечеткого включения.

Пусть – нечеткие множества в X , при чем .

Объединением множеств называется нечеткое множество, которое обозначается и определяется как , где . Где – дизъюнкция нечетких выражений , а – нечеткое высказывание, которое определяет степень принадлежности элемента множеству .

Другими словами, множество – это нечеткое множество, такое что и .

Пересечением множеств называется нечеткое множество, которое обозначается и определяется как , где . Где – дизъюнкция нечетких выражений , а – нечеткое высказывание, которое определяет степень принадлежности элемента множеству .

Другими словами, множество – это нечеткое множество, такое что и .

Дополнением множества называется и через обозначается нечеткое множество , где . Где – нечеткое высказывание, которое определяет степень истинности принадлежности элемента множеству и является отрицанием нечеткого высказывания .

Разностью нечетких множеств называется и через обозначается нечеткое множество , где и есть нечетким выражением, которое определяет степень истинности принадлежности элемента множеству .

Симметричной разностью нечетких множеств называется и через обозначается нечеткое множество , где и есть нечетким выражением, которое определяет степень истинности принадлежности элемента множеству .

Пусть – произвольные нечеткие множества в X . Имеют место следующие свойства над заданными нечеткими множествами

(закон де Моргана;

Все свойства операций над нечеткими множествами справедливы для любых нечетких множеств в X . Откуда следует, что они справедливы и для произвольных нечетких множеств, которые есть подмножествами X . Следует отметить, что для нечетких множеств с фиксированными функциями принадлежности возможны нечеткие равенства, которые не имеют аналогов в теории четких множеств.

Выделим еще одно свойство нечетких множеств относительно операции объединения. Каждое непустое множество в X можно представить в виде:

Где – нечеткое множество, которое состоит из тех , значение функции принадлежности для которых больше или равно уровню α, а – при – ненормальное четкое множество в X , причем для всех : .

Таким образом, – это множество .

Пусть произведением нечетких множеств называется и через обозначается нечеткое множество в , которое определяется выражением .

Данное определение прямого произведения нечетких множеств выплывает из определения прямого произведения четких множеств и из выражения (*).

Представим по (*) нечеткие множества и в виде , и , где . Легко увидеть, что .

Примеры и иллюстрации

Пусть , ; А – нечеткое множество, для которого Тогда А можно представить в виде: или или

Тут знак “+” не является обозначением операции сложения, а имеет значение объединения.

Пусть і отвечает понятию “возраст”, тогда нечеткое множество “молодой”, может быть определено таким способом:

Нечеткое множество “молодой” на универсальном множестве задается с помощью функции принадлежности на ( возраст), названой относительно функцией смежности, при этом: где х – возраст Сидоренко.

Пусть мы имеем нечеткие множества . Определим их свойства. В качестве скалярного произведения будем использовать число , или, если нужно, .

Характеристика множества А: высота: 1; нормальность: нормальная; пустое: не пустое; унимодальность: унимодальная; ядро: ; носитель ; границы <0,1|1;0,5|2;0,8|3,2>; точки перехода <0,5|2>; выпуклость: выпуклая; четкое множество –уровня : .

Характеристика множества В: высота: 0,6; нормальность: субнормальность; пустое: не пустое; унимодальность: не унимодальная; ядро: ; носитель ; границы <0,6|1;0,1|2;0,1|3>; точки перехода ; выпуклость: выпуклая; четкое множество –уровня : .

Найдем степень истинности сложного нечеткого выражения , если , , .

Используя выражение для нечетких логических операций, получим:

Таким образом, , а .

Пусть и – нечеткие множества в множестве . Найдем , и на основе определений операций над нечеткими множествами. Тогда

Пусть дано множество . Поскольку , то необходимо найти четкие множества . Запишем их . Несложно проверить, что .

Тогда декартово (прямое) произведение

Список литературы

Берштейн Л.С., Боженюк А.В. Нечеткие графы и гиперграфы. – М.: Научный мир, 2005. – 256 с.

Раскин Л.Г., Серая О.В. Нечеткая математика. Основы теории. Приложения. – Х.: Парус, 2008. – 352 с.

Новак В., Перфильева И., Мочкорж И. / пер. с англ.: под ред. Аверкина А.Н. – М.: Физматлит, 2006. – 352 с.

Баришевський С.О. Основи теорії точкових нечітких множин // Праці: Таврійський державний агротехнологічний університет. – Мелітополь: ТДАТУ, 2012. – Вип. 4. – Т. 52. – С. 141–144.

Баришевський С.О. Точкові нечіткі множини та їх відображення // Праці: Таврійський державний агротехнологічний університет. – Мелітополь: ТДАТУ, 2012. – Вип. 4. – Т. 54. – С 3–8.

Баришевський С.О. Элементы теории нечетких множеств и развитие понятия нечетких систем. Международный журнал экспериментального образования. – 2015. - № 10 (часть 1) – С. 39-40.

Читайте также: