Какие две теоремы надо доказать чтобы иметь право утверждать что некоторое множество точек является

Обновлено: 09.05.2024

1.Теорема о существовании иррациональных чисел.Существуют числа, не являющиеся рациональными.

Доказательство:

Не существует рационального числа, квадрат которого равен 2, и, так как число , существует, то из этого вытекает, что существует множество чисел, которое не является рациональным. Для того, чтобы доказать это, нужно доказать, что - число не является рациональным. Предположим обратное: пусть существует такая дробь ,такая, что - число целое, q – натуральное (из определения рационального числа, причём p и q – не имеют общих множителей, следовательно, данная дробь - несократимая) и . Из того, что

,тогда p = 2r (r - целое), p – число четное, а q – нечетное (так как общие множители отсутствуют). Теперь подставим значение p в составленное ранее равенство. Получаем: , из чего следует, что q – также четное, что вызывает противоречие в изначальном предположении. Теорема доказана.

2.Теорема о счётности множества рациональных чисел.Множество всех рациональных чисел счетно.

Доказательство: Рассмотрим сначала положительные рациональные числа . Назовем натуральное число p + q высотой рационального числа . Пусть A - множество всех рациональных чисел с высотой, равной n. Множества состоят из конечного числа элементов (рациональных чисел), например

Легко видеть, что

Перенумеруем числа, записанные в фигурных скобках слева направо, выпуская, впрочем, на каждом этапе нумерации те, которые были уже занумерованы на более раннем этапе. В результате получим последовательность

Так как рациональных положительных чисел бесконечно много, то мы используем все натуральные числа. Значит, счетно. Далее, очевидно, что счетно. Поэтому все множество рациональных чисел также счетно.

3.Теорема.Открытый отрезок любой длины имеет столько же точек, сколько бесконечная прямая.

4.Лемма о плотности действительных чисел. Каковы бы ни были два вещественных числа a и b, причём a > b, всегда найдется такое вещественное – и, даже, рациональное число r, которое содержится между ними: a > r > b (а, следовательно, и бесчисленное множество таких рациональных чисел)

Доказательство:

Так как a > b, то нижний класс А сечения, определяющего число a, целиком содержит в себе нижний класс В для числа b, не совпадая с В. Поэтому в А найдется такое рациональное число r, которое не содержится в В и, следовательно, принадлежит ; для него: a > r ≥ b

(равенство имело бы место, если бы b было рациональным), но так как в A нет наибольшего числа, то, в случае надобности увеличив r, можно исключить равенство.

5.Лемма о равенстве двух вещественных чисел.Пусть даны два вещественных числа a и b. Если какое бы ни взять рациональное число е > 0,и числа a и b могут быть заключены между одними и теми же рациональными границами:

разность которых меньше e: s’ – s b. По лемме о плотности, между a и b можно вставить два рациональных числа r и r’ > r: a > r’ > r > b. Тогда, для любых двух чисел sи s’,между которыми содержатся a и b, будут выполняться неравенства:

s’> r’ > r > s, откуда s’ – s > r’ - r > 0.В таком случае, разность s’ – s, не может быть меньше числа e, что противоречит условию леммы. Следовательно, предположение неверно и лемма доказана.

6.Теорема Дедекинда. Для всякого сечения в области вещественных чисел существует вещественное число которое производит это сечение. Это число будет либо наибольшим в нижнем классе , либо наименьшим в верхнем классе

Доказательство: Обозначим через множество всех рациональных чисел содержащихся в , через множество всех рациональных чисел содержащихся в . Легко убедится что множества и образуют сечение. Это сечение определяет некоторое вещественное число , которое должно принадлежать одному из множеств или . Допустим, оно прирнадлежит , тогда покажем что в этом множестве оно будет наибольшим. Пойдем от противного, допустим это не так, значит в множестве существует число тогда по лемме 1 найдется рациональное число такое что . также принадлежит нижнему классу , а значит принадлежит нижнему классу . Мы пришли к противоречию: рациональное число принадлежащее нижнему классу сечения, определяющего число больше этого числа. Аналогично доказывается, что если попадает в верхний класс , то оно будет там наименьшим. Замечание: Одновременное существование в нижнем классе наибольшего числа, а в верхнем классе наименьшего числа невозможно, что доказывается аналогично как для сечений в множестве рациональных чисел.

7. Теорема о точной верхней и точной нижней гранях числового множества.Непустое множество, ограниченное сверху, имеет точную верхнюю грань, ограниченное снизу — точную нижнюю грань. То есть существуют и такие, что

Доказательство:

Доказательство проведём для числового множества .

Для множества ограниченного сверху. Пусть — мажоранта множества , представленная в виде бесконечной десятичной дроби. Множество непусто. Запишем все числа из в виде нормальных десятичных дробей,

Множество непусто и ограниченно сверху числом , поэтому существует .

Множество десятичных чисел вида таких, что среди элементов есть число, представление которого в виде бесконечной десятичной дроби начинается с выражения , непусто и состоит не более чем из десяти элементов, поэтому существует .

Допустим, что для некоторого номера построено десятичное число такое, что

1. существует элемент , представление которого в виде бесконечной десятичной дроби начинается с выражения

2. если x — элемент с представлением , то

Обозначим множество десятичных чисел вида , которые служат начальными выражениями для элементов множества . По определению числа на основании свойства 1множество непусто. Оно конечно, поэтому существует число , обладающее свойствами 1-2 с заменой на , причем появление -ого знака после запятой не влияет на величины предшествующих знаков.

На основании принципа индукции для любого оказывается определенной цифра и поэтому однозначно определяется бесконечная десятичная дробь

Возьмем произвольное число . По построению числа для любого номера выполняется и поэтому . Следовательно, выполнена верхняя строчка в правой части соотношения 1.1 (смотри формулировку). Следовательно, .

Несмотря на простоту формулировки (для её понимания требуется только уметь производить простейшие арифметические операции), эта теорема имеет просто фундаментальное не только математическое, но и философское значение. Итак, поехали!

Как обычно, начинаем играться с числами. Известно, что любое число можно представить как сумму степеней с основанием 2. Например:

Начинать формулировку теорему Гудстейна мы будем именно так за одним исключением: мы будем писать вместо 2^0 просто число 1.

Рассмотрим последовательность Гудстейна, сформированную по следующим правилам:

Представляем число в виде, показанном на верхнем рисунке.
Увеличиваем основание степени на (1) и вычитаем из полученного числа 1

Например, как это будет выглядеть, если мы начнем с числа 3:

Первая строчка: представили по "основанию 2" ( в кавычках, потому что не пишем 2^0)
Вторая строчка: заменили основание степени на 3, и вычли единицу.
Третья строчка: заменили основание на 4 и вычли единицу. Теперь мы получили минус, от которого должны избавиться. В этот момент нужно бы уменьшить показатель степени, чтобы представить итоговое число как сумму, но это нельзя делать, т.к. мы условились не употреблять нулевые степени. Поэтому просто вычитаем 1.
Четвертая-пятая-шестая строчка: вычитаем единицы и получаем 0.

Да, последовательность пришла к 0, если начинать с числа 3. А что там дальше? А дальше начинается вакханалия :

Обратите внимание, как происходит переход на основание 6. Мы получили минус и хотим от него избавиться, поэтому представляем число 11=2*6-1 как сумму 6 и 5.

Казалось бы, мы увеличиваем основание степени, но всё равно приходит какой-то момент, когда появляется "крохотная единичка" со знаком минус, которая перетягивает чашу весов и возвращает последовательность Гудстейна в ноль даже на таком чудовищно большом шаге. Ну а теперь, собственно, теорема :

Любая последовательность Гудстейна достигает нуля

Это действительно трудно осознать, что такие гигантские числа все равно вернутся к нулю.

Например, Роджер Пенроуз в своей книге приводит в качестве примера последовательность от числа 581! Конечно, как пример - вычислить "поход" этого числа к нулю вряд ли возможно.

Но что уж там говорить, например последовательность для числа 19 начинается таким образом:

Доказательство и опровержение теоремы Гудстейна в рамках элементарной арифметики Пеано просто невозможно: для этого надо использовать методы арифметики второго порядка, а именно опираться на последовательности ординальных чисел .

Многие математики называют теорему Гудстейна конкретным примером "геделевого предложения" - формальной конструкции опровергнуть или доказать истинность которой формальная арифметика не в состоянии.

Напомню, что ординальные числа составляют множество, наименьший элемент которого больше любого целого числа (эх, знать бы это в детстве, выигрывал бы все споры). Наименьший ординал обозначается как ω, потом идет:

Замечательно то, что любое множество ординалов является вполне-упорядоченным (лучше всего это понятие расписано у Ф.Хаусдорфа в оригинале), т.е всегда имеет наименьший элемент. Это позволяет утверждать, что не существует бесконечной последовательности уменьшающихся ординальных чисел .

Это и будет ключом к наглядному доказательству: сопоставим каждому основанию степени, участвующей в последовательности Гудстейна, наименьший ординал ω:

Что же мы получили? Слева - возрастающая последовательность натуральных чисел, справа - уменьшающаяся последовательность ординалов, которая не может уменьшаться бесконечно , следовательно она является конечной , а следовательно левый столбец всегда придет к нулю!

В какой-то момент ординалы уменьшатся настолько, что "перестанут" быть ординалами и станут обычными кардинальными числами, которые придут к нулю последовательными вычитаниями единицы

И да, то, что мы сейчас рассматривали - это всего лишь "слабая" версия последовательности Гудстейна. В полной версии на каждом шаге увеличивается не только основание, но и показатель степени. Тем не менее, результат тот же - тлен, безысходность, пустота, ничто, ноль.

Многие не знают например, что знаменитая и Великая теорема Ферма уже доказана, а есть ведь вообще пока не доказанные математические задачи.

В августе 1900 года в Париже состоялся II Международный Конгресс математиков. Он мог бы пройти незамеченным, если бы на нем не выступил немецкий ученый, профессор Давид Гильберт, который в своем докладе поставил 23 самые главные на тот момент, существенные проблемы, касающиеся математики, геометрии, алгебры, топологии, теории чисел, теории вероятностей и пр.

На данный момент решены 16 проблем из 23. Ещё 2 не являются корректными математическими проблемами (одна сформулирована слишком расплывчато, чтобы понять, решена она или нет, другая, далёкая от решения, — физическая, а не математическая). Из оставшихся пяти проблем две не решены никак, а три решены только для некоторых случаев.

Вот собственно весь список:

Вот как выглядят на сегодняшний день проблемы Гильберта и их статус:

1. Континуум-гипотеза. Существует ли бесконечное кардинальное число строго между кардиналами множеств целых и действительных чисел? Решена Полом Коэном в 1963 г. — ответ на вопрос зависит от того, какие аксиомы используются в теории множеств.

2. Логическая непротиворечивость арифметики. Доказать, что стандартные аксиомы арифметики не могут привести к противоречию. Решена Куртом Геделем в 1931 г.: с обычными аксиомами теории множеств такое доказательство невозможно.

3. Равносоставленность равновеликих тетраэдров. Если два тетраэдра имеют одинаковый объем, то всегда ли можно разрезать один из них на конечное число многоугольников и собрать из них второй? Решена в 1901 г. Максом Деном, ответ отрицательный.

4. Прямая как кратчайшее расстояние между двумя точками. Сформулировать аксиомы геометрии на основе данного определения прямой и посмотреть, что из этого следует. Слишком расплывчатая задача, чтобы можно было рассчитывать на определенное решение, но сделано немало.

5. Группы Ли без опоры на дифференцируемость. Технический вопрос теории групп преобразований. В одной из интерпретаций ее решил Эндрю Глисон в 1950-е гг., в другой — Хидехико Ямабе.

6. Аксиомы физики. Разработать строгую систему аксиом для математических областей физики, таких как теория вероятностей или механика. Систему аксиом для вероятностей построил Андрей Колмогоров в 1933 г.

7. Иррациональные и трансцендентные числа. Доказать, что определенные числа являются иррациональными или трансцендентными. Решена в 1934 г. Александром Гельфондом и Теодором Шнайдером.

8. Гипотеза Римана. Доказать, что все нетривиальные нули римановой дзета-функции лежат на критической линии. См. главу 9.

9. Законы взаимности в числовых полях. Обобщить классический закон квадратичной взаимности (о квадратах по определенному модулю) на более высокие степени. Частично решена.

10. Условия существования решений диофантовых уравнений. Найти алгоритм, позволяющий определить, имеет ли данное полиномиальное уравнение со многими переменными решения в целых числах. Невозможность доказал Юрий Матиясевич в 1970 г.

11. Квадратичные формы с алгебраическими числами в качестве коэффициентов. Технические вопросы решения диофантовых уравнений со многими переменными. Решена частично.

12. Теорема Кронекера об абелевых полях. Технические вопросы обобщения теоремы Кронекера. Не доказана до сих пор.

13. Решение уравнений седьмой степени при помощи функций специального вида. Доказать, что общее уравнение седьмой степени не может быть решено с использованием функций двух переменных. В одной из интерпретаций возможность такого решения доказали Андрей Колмогоров и Владимир Арнольд.

14. Конечность полной системы функций. Расширить теорему Гильберта об алгебраических инвариантах на все группы преобразований. Опроверг Масаёси Нагата в 1959 г.

15. Исчислительная геометрия Шуберта. Герман Шуберт нашел нестрогий метод подчета различных геометрических конфигураций. Задача в том, чтобы сделать этот метод строгим. Полного решения до сих пор нет.

16. Топология кривых и поверхностей. Сколько связанных компонент может иметь алгебраическая кривая заданной степени? Сколько различных периодических циклов может иметь алгебраическое дифференциальное уравнение заданной степени? Ограниченное продвижение.

17. Представление определенных форм в виде суммы квадратов. Если рациональная функция всегда принимает неотрицательные значения, то должна ли она обязательно выражаться в виде суммы квадратов? Решили Эмиль Артин, Д. Дюбуа и Альбрехт Пфистер. Верно для действительных чисел, неверно в некоторых других числовых системах.

20. Граничные задачи. Разобраться в решениях дифференциальных уравнений физики в определенной области пространства, если заданы свойства решения на ограничивающей эту область поверхности. В основном решена (вклад внесли многие математики).

22. Униформизация с использованием автоморфных функций. Технический вопрос об упрощении уравнений. Решил Пауль Кебе вскоре после 1900 г.

23. Развитие вариационного исчисления. Гильберт призывал к выдвижению новых идей в области вариационного исчислении. Многое сделано, но формулировка слишком неопределенная, чтобы задачу можно было считать решенной.

КСТАТИ За что еще дадут миллион долларов…

В 1998 году на средства миллиардера Лэндона Клея (Landon T. Clay) в Кембридже (США) был основан Математический институт его имени (Clay Mathematics Institute) для популяризации математики. 24 мая 2000 года эксперты института выбрали семь самых, по их мнению, головоломных проблем. И назначили по миллиону долларов за каждую.

1. Проблема Кука

Нужно определить: может ли проверка правильности решения какой-либо задачи быть более длительной, чем получение самого решения. Эта логическая задача важна для специалистов по криптографии — шифрованию данных.

2. Гипотеза Римана

Существуют так называемые простые числа, например, 2, 3, 5, 7 и т. д., которые делятся только сами на себя. Сколько их всего, не известно. Риман полагал, что это можно определить и найти закономерность их распределения. Кто найдет — тоже окажет услугу криптографии.

3. Гипотеза Берча и Свиннертон-Дайера

Проблема связана с решением уравнений с тремя неизвестными, возведенными в степени. Нужно придумать, как их решать, независимо от сложности.

4. Гипотеза Ходжа

5. Уравнения Навье – Стокса

О них стоит вспомнить в самолете. Уравнения описывают воздушные потоки, которые удерживают его в воздухе. Сейчас уравнения решают приблизительно, по приблизительным формулам. Нужно найти точные и доказать, что в трехмерном пространстве существует решение уравнений, которое всегда верно.

6. Уравнения Янга – Миллса

Читайте также: