Как определить единовременную нетто ставку на дожитие

Обновлено: 16.06.2024

В основе страхования лежит равенство финансовых обязательств сторон. Финансовые обязательства страхователя состоят в уплате страховой премии. При этом страховой взнос может оплачиваться либо единовременно, либо в рассрочку.

Единовременная премия предполагает уплату взноса в начале срока страхования. А при месячной уплате взноса происходит постепенное погашение финансовых обязательств страхователя.

Рассмотрим страхование на дожитие на следующем примере:

Необходимо рассчитать нетто-премию для лица в возрасте 20 лет, заключившего договор страхования на дожитие сроком на 3 года, на страховую сумму 1000 руб..

1. Определение взаимных обязательств сторон.

Финансовые обязательства страхователя равны произведению страховой суммы (S) на нетто-премию на дожитие (nЕx). nЕx – единовременная нетто-ставка по страхованию на дожитие для лиц в возрасте х лет на срок страхования n лет.

1000 руб. х 3Е20.

Финансовые обязательства состоят в выплате застрахованному лицу через n лет страховой суммы (S) при условии, что тот дожил до конца строка страхования (до 23 лет). Следовательно, величина финансовых обязательств страховщика составляет S (1000 руб.).

2. Определение современной вероятной стоимости обязательств сторон.

Для того чтобы договор страхования состоялся необходимо, чтобы страхователь уплатил страховой взнос. Иными словами, величина взноса, уплачиваемого страхователем, не носит случайного характера. Следовательно, при единовременном порядке уплаты страховой премии (взноса) современная вероятная стоимость обязательств страхователя равна фактической величине единовременного взноса. В нашем примере эта сумма составляет (1000 руб. х 3Е20).

Страховщик выплатит страховую сумму только при условии, что застрахованный дожил до конца срока страхования. Поэтому вероятная стоимость обязательств страховщика (математическое ожидание этой величины) равна произведению фактической стоимости выплат (S руб.) на вероятность ее осуществления (nрx):

1000 руб. х 3р20;

где 3р20 – вероятность дожития лица в возрасте 20 лет до конца срока 3 года (т.е. до возраста 20 + 3 года).

Поскольку выплата (если она вообще произойдет) будет осуществляться через n лет, то ее современная стоимость будет равна произведению вероятной стоимости на дисконтирующий множитель за n лет (vⁿ):

(1000 руб. х 3р20) х v³;

где v³ - дисконтирующий коэффициент за 3 года.

3. Применение принципа равновесия.

Равенство современных вероятных стоимостей обязательств страхователя и страховщика в нашем примере запишется следующим образом:

S х nЕx = S х nрx х vⁿ

nЕx = nрx х vⁿ

3Е20 = 3р20 х v³;

Если вместо nрx подставить выражение для расчета вероятности дожить, то получим общую формулу для определения единовременной нетто-ставки по страхованию на дожитие лица в возрасте х лет на срок n лет:

nЕx = ℓх х vⁿ ;

3Е20 = ℓ20 х v³ ;

где, ℓ20 и ℓ23 – показатели таблицы смертности, характеризующие численность лиц, доживающих до возраста 20 и 23 лет соответственно.

Рассмотрим страхование на случай смерти на следующем примере:

Необходимо рассчитать нетто-премию для лица в возрасте 20 лет, заключившего договор страхования на случай смерти сроком на 3 года, на страховую сумму 1000 руб.

В том, что касается обязательств страхователя, рассуждения аналогичны тем, которые мы приводили в предыдущем примере. Финансовые обязательства страхователя равны произведению страховой суммы (S) на нетто-премию на случай смерти (nАx). nAx – единовременная нетто-ставка по страхованию на случай смерти для лиц в возрасте х лет на срок страхования n лет.

1000 руб. х 3А20.

Финансовые обязательства состоят в выплате страховой суммы (S) при смерти застрахованного лица в течение строка страхования (в течение 3-х лет). Поскольку для каждого года страхования имеется определенная вероятность смерти, следовательно, и вероятность выплаты, то общая современная вероятная стоимость выплаты будет равна сумме ее современных вероятных стоимостей за каждый год.

Рассмотрим первый год после заключения договора страхования. Вероятность выплаты в течение первого года страхования равна вероятности смерти лица при переходе от возраста х лет к возрасту х + 1 год, т.е. qx. По таблице смертности вероятность умереть при переходе от возраста х к возрасту х + 1 год рассчитывается:

В нашем примере:

Вероятная стоимость выплаты (ее математическое ожидание) для первого года равна произведению страховой суммы S (1000 руб.) на вероятность выплаты qx, т.е.

1000 х ℓ20 .

Чтобы получить современную вероятную стоимость выплаты на первом году страхования, необходимо вероятную стоимость умножить на дисконтирующий коэффициент. При этом для простоты будем полагать, что все выплаты происходят в конце года, поэтому используется дисконтирующий коэффициент за один год v¹.

S х ℓх х v¹ ,

1000 х ℓ20 х v¹.

Вероятность выплаты в течение второго года равна вероятности того, что застрахованный доживет до второго года страхования, т.е. до возраста (х + 1) год и умрет в течение этого года, т.е. при переходе от возраста (х + 1) к возрасту (х + 2) года. Таким образом, вероятность выплаты в течение второго года равна произведению вероятности 1рx дожития лица в возрасте х лет до возраста (х + 1) год на вероятность qx+1 смерти при переходе к возрасту (х + 2) года. Рассчитать эту вероятность по таблице смертности можно рассчитать как:

ℓх+1 ℓх+1 - ℓх+2 ℓх+1 - ℓх+2dх+1

1рx х qx+1 = ℓх х ℓх+1 = ℓх = ℓх ;

Таким образом, вероятная стоимость выплаты на втором году страхования определяется:

а современная вероятная стоимость выплаты для второго года страхования равна:

S х ℓх х v² ,

1000 х ℓ20 х v².

Аналогичным образом определяется современная вероятная стоимость выплаты для всех последующих лет страхования.

Для нашего примера, современная вероятная стоимость выплаты для третьего года страхования:

S х ℓх х v³ ,

1000 х ℓ20 х v³.

dх х v¹ + dх+1 х v² + . + dх+n-1 х vⁿ

S х nАx = S х ℓх ;

dх х v¹ + dх+1 х v² + . + dх+n-1 х vⁿ

d20 х v¹ + d21 х v² + d22 х v³

Вопрос 5. Понятие коммутационные числа. Использование коммутационных чисел для построения тарифных ставок.

Поскольку при подготовке нового договора страхования приходится определять тарифы для различных возрастных групп, раздельно для мужчин и женщин, то расчеты нетто-ставок по полученным в предыдущем параграфе общим (логическим) формулам становиться достаточно объемными и трудоемкими. Поэтому для упрощения формул для расчета тарифов по страхованию жизни была разработана методика, которая состоит в использовании так называемых коммутационных чисел.

Можно привести следующие наиболее часто встречающиеся коммутационные числа и их формулы:

Nx = Dх + Dх+1 + . + Dω ;

Мx = Сх + Сх+1 + . + Сω ,

где ω – предельный возраст таблицы смертности.

Рассмотрим процедуру перевода общих (логических) формул в формулы, записанные с использованием коммутационных чисел.

Выведенную в предыдущем вопросе формулу нетто-ставки на дожитие умножим и разделим на v х :

ℓх+nℓx+n x vⁿ x v х ℓx+n x v х+n

nЕx = ℓх х vⁿ = ℓx x v х = ℓx x v х .

Подставляя значение коммутационных чисел, мы получим:

Теперь, по той же схеме преобразуем нетто-ставку на случай смерти:

dх х v¹ + dх+1 х v² + . + dх+n-1 х vⁿ

dх х v¹ х v х + dх+1 х v² х v х + . + dх+n-1 х vⁿ х v х

dх х v х+1 + dх+1 х v х+2 + . + dх+n-1 х v х+n Сх + Сх+1 + . + Сх+n-1

= ℓх х v х = Dх

Числитель этого выражения можно еще упростить, записав его как разность коммутационных чисел Мх и Мх+n. Действительно:

Мх = Сх + Сх+1 + . + Сх+n-1 + . + Сх+n + . + Сх+n+1 + . + Сω;

Мх+n = Сх+n + . + Сх+n+1 + . + Сω;

Мх – Мx+n = Сх + Сх+1 + . + Сх+n-1 .

Таким образом, единовременная нетто-ставка по страхованию на случай смерти для лица в возрасте х лет на срок страхования n лет можно рассчитать по формуле:

Если страхование жизни на случай смерти осуществляется пожизненно, то данная формула примет вид:

Рассмотрим страхование на дожитие на следующем примере:

1. Определение взаимных обязательств сторон.

1000 руб. х 3Е20.

2. Определение современной вероятной стоимости обязательств сторон.

1000 руб. х 3р20;

где 3р20 – вероятность дожития лица в возрасте 20 лет до конца срока 3 года (т.е. до возраста 20 + 3 года).

(1000 руб. х 3р20) х v³;

где v³ - дисконтирующий коэффициент за 3 года.

3. Применение принципа равновесия.

S х nЕx = S х nрx х vⁿ

nЕx = nрx х vⁿ

3Е20 = 3р20 х v³;

nЕx = ℓх х vⁿ ;

3Е20 = ℓ20 х v³ ;

Рассмотрим страхование на случай смерти на следующем примере:

1000 руб. х 3А20.

В нашем примере:

1000 х ℓ20 .

S х ℓх х v¹ ,

1000 х ℓ20 х v¹.

ℓх+1 ℓх+1 - ℓх+2 ℓх+1 - ℓх+2dх+1

1рx х qx+1 = ℓх х ℓх+1 = ℓх = ℓх ;

Таким образом, вероятная стоимость выплаты на втором году страхования определяется:

а современная вероятная стоимость выплаты для второго года страхования равна:

S х ℓх х v² ,

1000 х ℓ20 х v².

Для нашего примера, современная вероятная стоимость выплаты для третьего года страхования:

S х ℓх х v³ ,

1000 х ℓ20 х v³.

dх х v¹ + dх+1 х v² + . + dх+n-1 х vⁿ

S х nАx = S х ℓх ;

dх х v¹ + dх+1 х v² + . + dх+n-1 х vⁿ

d20 х v¹ + d21 х v² + d22 х v³

Вопрос 5. Понятие коммутационные числа. Использование коммутационных чисел для построения тарифных ставок.

Можно привести следующие наиболее часто встречающиеся коммутационные числа и их формулы:

Nx = Dх + Dх+1 + . + Dω ;

Мx = Сх + Сх+1 + . + Сω ,

где ω – предельный возраст таблицы смертности.

Выведенную в предыдущем вопросе формулу нетто-ставки на дожитие умножим и разделим на v х :

ℓх+nℓx+n x vⁿ x v х ℓx+n x v х+n

nЕx = ℓх х vⁿ = ℓx x v х = ℓx x v х .

Подставляя значение коммутационных чисел, мы получим:

Теперь, по той же схеме преобразуем нетто-ставку на случай смерти:

dх х v¹ + dх+1 х v² + . + dх+n-1 х vⁿ

dх х v¹ х v х + dх+1 х v² х v х + . + dх+n-1 х vⁿ х v х

dх х v х+1 + dх+1 х v х+2 + . + dх+n-1 х v х+n Сх + Сх+1 + . + Сх+n-1

= ℓх х v х = Dх

Мх = Сх + Сх+1 + . + Сх+n-1 + . + Сх+n + . + Сх+n+1 + . + Сω;

Мх+n = Сх+n + . + Сх+n+1 + . + Сω;

Мх – Мx+n = Сх + Сх+1 + . + Сх+n-1 .

Если страхование жизни на случай смерти осуществляется пожизненно, то данная формула примет вид:

Все виды страхования с точки зрения особенностей расчета нетто-ставок можно разделить на категории:

страхование жизни;
рисковые виды страхования, в свою очередь из числа рисковых видов страхования выделяются: массовые рисковые виды страхования и страхование редких событий и крупных рисков.

Методические подходы к расчету страховых тарифов по рисковым и видам страхования, относящимся к страхованию жизни, существенно различаются. Общая только последовательность методических расчетов:

определяется нетто-ставка страхового тарифа;
устанавливается нагрузка в рублях или в процентах от страховой брутто-ставки;
определяется брутто-ставка страхового тарифа.

Страхование жизни. Особенности расчета тарифных ставок по страхованию жизни заключаются в том, что формирование резерва взносов и расчеты тарифных ставок производятся с помощью актуарных методов. Базой для расчета нетто-ставки по видам страхования, относящимся к страхованию жизни, служат:

показатели таблиц смертности, разрабатываемые на основе данных демографической статистики;
норма доходности, принятая при расчете тарифа, от инвестирования временно свободных средств страховщика;
срок страхования и накопительного периода.

Таблица смертности показывает уменьшение с возрастом некоторой совокупности родившихся людей вследствие их смертности. Показатели таблиц смертности построены как описание процесса дожития и вымирания некоторого поколения с фиксированной начальной численностью в 100 тыс. человек.

Таблицы смертности - это основной материал для исчисления тарифных ставок по страхованию жизни. С помощью таблицы можно установить вероятное число выплат по договорам страхования, а при известных страховых суммах можно определить и размер фонда, который должна сформировать страховая организация, чтобы иметь возможность произвести страховые выплаты.

Страхование жизни предусматривает страховую защиту имущественных интересов застрахованного лица (выгодоприобретателя) путем страховых выплат при его дожитии до определенного возраста или окончании срока страхования, а также в случае смерти.

Вероятность дожить до определенного возраста или окончания срока страхования зависит в первую очередь от возраста в момент страхования и срока действия договора страхования жизни.

На основании массовых данных демографической статистики и теории вероятности выявлена подчиняющаяся закону больших чисел зависимость смертности от возраста людей, выведены соответствующие формулы для расчета. По специально разработанной методике с применением этих формул составляются таблицы смертности. Таблицы периодически пересчитываются в связи с изменением показателей смертности населения. Они содержат конкретные цифры смертности для каждого возраста (в полных годах) в расчете на 100 тыс. человек населения с последовательным уменьшением доживающих при переходе от одной возрастной группы (l_x) в другую группу (l_x+1), имеющую возраст, больший на один год.

Методика расчета тарифных ставок по страхованию жизни включает несколько этапов,

Вычисление вероятности дожития и смерти:
определяется вероятность смерти при переходе от возраста х к возрасту (х + 1) лет:

l_x - число лиц в начале страхования;

Поскольку страховщик использует полученные страховые взносы как кредитные ресурсы, получая определенный доход, то при расчете тарифной ставки учитывается норма доходности (процентная ставка) - i. Для уменьшения нарастающих процентов на сумму страховых взносов при расчете нетто-ставки проводится дисконтирование с помощью дисконтирующего множителя:

Достоверность и математическая точность данных таблиц смертности позволяет использовать их для расчета нетто-ставок по видам страхования жизни.

Договоры страхования жизни заключаются, как правило, на длительный срок. Период времени между уплатой взносов и моментом осуществления выплат достигает нескольких лет. В течение этого срока за счет инфляции и прибыли, получаемой от инвестирования временно свободных средств, стоимость страховых взносов изменяется. Чтобы учесть подобные изменения при построении тарифных ставок, применяют методы долгосрочных финансовых исчислений, в частности дисконтирование .

Тарифные ставки бывают единовременными и годовыми. Единовременная ставка предполагает уплату взноса в начале срока страхования. При такой форме уплаты взноса страхователь сразу при заключении договора погашает все свои обязательства перед страховщиком. Годовая ставка предполагает постепенное погашение финансовых обязательств страхователя перед страховщиком. Взносы уплачиваются один раз в год. Для уплаты годового взноса может предоставляться помесячная рассрочка.

Единовременная ставка по страхованию на дожитие для лица в возрасте х лет при сроке страхования n лет определяется по формуле

Единовременная нетто-ставка на случай смерти, на определенный срок вычисляется по формуле

При смешанном страховании на дожитие и на случай смерти рассчитывается совокупная нетто-ставка:

Единовременная нетто-ставка по страхованию ренты предполагает выплату застрахованному лицу в установленные сроки определенного регулярного дохода:

Формулы позволяют рассчитать нетто-ставки для единовременных премий. Для такого порядка уплаты взносов характерно следующее:

страховые взносы уплачиваются сразу в полном объеме;
в результате вся сумма взносов сразу поступает в оборот и на нее начинают начисляться проценты.

Однако единовременный порядок уплаты не всегда удобен для страхователя, поэтому на практике страховщики предлагают клиентам возможность уплаты страховых взносов ежегодно, ежеквартально, ежемесячно. Взносы страхователя определяются с помощью коэффициентов рассрочки (аннуитетов). Коэффициент рассрочки представляет собой стоимость взносов в размере одной денежной единицы, производимых в течение определенного срока в конце или начале каждого страхового года. В зависимости от срока уплаты взносов (в начале или конце временных интервалов) говорят соответственно о коэффициентах пренумерандо и постнумерандо .

Если предстоящие платежи равны между собой и производятся ежегодно в течение n лет в начале каждого года, то такой ряд платежей называется немедленной временной рентой, уплачиваемой вперед, - пренумерандо (от лат. praenumerando).

Если платежи производятся в конце каждого года, то такой ряд платежей называется немедленной временной рентой, уплачиваемой за истекшее время, - постнумерандо (от лат. postnumerando).

Определяют взносы с помощью коэффициентов рассрочки:

На практике приходится исчислять тарифные ставки для различных возрастных групп, полов и сроков страхования, поэтому расчеты становятся достаточно громоздкими и трудоемкими. Для унификации расчетов применяются специальные технические показатели - коммутационные числа.

Коммутационные числа - это специальные технические показатели, которые сведены в таблицы. Они не несут никакого конкретного "физического" смысла. Их применение вызвано лишь желанием сократить объем ручных вычислений. Ниже приводятся формулы для расчета наиболее часто используемых коммутационных чисел:

где w - предельный возраст таблицы смертности.

С помощью умножения числителя и знаменателя дроби на множитель V x формулы расчета нетто-ставок могут быть выражены через коммутационные числа.

Для практических расчетов нетто-ставок при страховании жизни разработаны таблицы коммутационных чисел. В результате преобразований формулы расчета нетто-ставок через коммутационные числа примут следующий вид.

Единовременная нетто-ставка для лица в возрасте х лет:

Годовая нетто-ставка (взнос уплачивается в начале страхового года) для лица в возрасте х лет:

на случай смерти:

при страховании на определенный срок

Для обоснования тарифных ставок по страхованию жизни рекомендуется также использовать "Методику расчетов страховых тарифов по видам страхования, относящимся к страхованию жизни", утвержденную приказом Росстрахнадзора от 28 июня 1996 г. № 02-02/18.

Рисковые виды страхования. Основой для расчета нетто-ставки страхового тарифа по рисковым видам страхования служит убыточность страховой тарифной ставки за тарифный период и рисковая надбавка.

К рисковым относятся виды страхования:

не предусматривающие обязательств страховщика по выплате страховой суммы по окончании срока действия договора страхования;
не связанные с накоплением страховой суммы в течение срока действия договора страхования.

В указанных видах страхования не используется принцип капитализации (накопления) и, следовательно, при расчете нетто-ставок не используются методы финансовых исчислений ( дисконтирование , начисление сложных процентов и т. д.). Это отличает рисковые виды страхования от страхования жизни.

Рисковые виды страхования можно условно разделить на массовые виды и страхование редких событий и крупных рисков.

Массовые рисковые виды страхования предположительно охватывают значительное число субъектов страхования и страховых рисков, характеризующихся однородностью объектов страхования и незначительным разбросом в размерах страховых сумм. К подобным видам страхования относится большинство видов страхования имущества и гражданской ответственности частных лиц, а также некоторые виды личного страхования (такие, как страхование от несчастного случая, страхование медицинских расходов и т. д.).

Расчет тарифных ставок по рисковым видам страхования. Распоряжением от 8 июля 1993 г. № 02-03-36 Росстрахнадзор утвердил методики расчета тарифных ставок по рисковым видам страхования.

Первая методика применяется при следующих условиях:

существует статистика либо какая-то другая информация по рассматриваемому виду страхования, что позволяет оценить:

p - вероятность наступления страхового случая по одному договору страхования,
- среднюю страховую сумму по одному договору страхования,
- среднее возмещение по одному договору страхования при наступлении страхового случая;

предполагается отсутствие опустошительных событий, когда одно из них влечет за собой несколько страховых случаев;
расчет тарифов проводится при заранее известном количестве договоров n, которые предполагается заключить со страхователями.

Основные этапы методики:

расчет нетто-ставки. Нетто-ставка (T_n) состоит из основной части (T_o) и рисковой надбавки (РН):

Основой расчета основной части нетто-ставки служит убыточность страховой суммы, зависящая от частоты ущерба (вероятность наступления страхового случая) (Ч_ущ = _m : _n, где _m - число пострадавших объектов, _n - число объектов страхования) и коэффициента тяжести ущерба

Основная часть нетто-ставки определяется по формуле

где р - вероятность наступления страхового случая;

a(y) - коэффициент, зависящий от гарантии безопасности y.

расчет брутто-ставки. Брутто-ставка (Т_b) рассчитывается:

где f (%) - доля нагрузки в брутто-ставке.

Вторую методику рекомендуется использовать по отдельным видам рисков. Расчет тарифной ставки производится по данным страховой статистики за ряд лет и прогноза убыточности страховой суммы на следующий год.

Методика применима, если имеется информация о сумме страховых возмещений и совокупной страховой сумме по рискам, принятым в страховании за ряд лет, или если зависимость убыточности от времени близка к линейной.

Страхование редких событий и крупных рисков. Речь идет о рисках, характеризующихся, с одной стороны, низкой частотой наступления страховых событий, а с другой - большой возможной величиной ущерба. Число объектов, которые можно застраховать, ограниченно, а разброс страховых сумм составляет значительную величину.

Наиболее характерный вид страхования, который можно отнести к данной категории, - страхование промышленных предприятий (прежде всего на случай пожара). Особенности данного вида страхования достаточно ярко видны на примере Западной Европы. В пределах Европейского союза насчитывается около 100 тыс. крупных промышленных предприятий. Их совокупность неоднородна как по степени риска, так и по стоимости. Учитывая относительно большую численность страховщиков и возможность почти свободного предоставления страховых услуг в рамках Европейского союза, можно сказать, что на одного страховщика приходится не более 100 промышленных предприятий из разных стран и отраслей, часто несопоставимых по стоимости и уровню технологии. Использовать в такой ситуации средние показатели не представляется возможным. Кроме того, время от времени в различных отраслях происходят крупные страховые случаи, которые могут серьезно нарушить баланс премий и выплат.

К страхованию редких событий и крупных рисков относится авиационное и космическое (здесь - ограниченное число объектов и большой возможный ущерб по одному страховому случаю), а также страхование на случай природных катастроф. Частота наступления страхового случая в конкретном регионе очень невелика (не более одного раза в несколько лет), а возможный ущерб значителен. Такая величина ущерба получается вследствие кумуляции множества мелких ущербов, причиненных объектам, расположенным на территории, подвергшейся воздействию стихии.

Таким образом, для страхования редких событий и крупных рисков существуют некоторые особенности расчета нетто-ставок, обусловленные спецификой страхуемых рисков и объектов.

Во-первых, при расчете тарифов необходимо опираться на статистические данные за несколько лет (временные ряды): чем более длительным будет период наблюдения, тем точнее может быть рассчитана нетто-ставка. Определенная таким образом премия должна поддерживать финансовое равновесие страховщика в пределах не одного года, а достаточно продолжительного периода.

Во-вторых, для данной категории страхования необходимо использовать специальные методы расчета нетто-премий, которые учитывали бы правдоподобную, разумную (а не среднюю) стоимость риска. К числу таких методов относятся метод правдоподобия, анализ частот и сумм очень крупных ущербов, метод "усечения" и т. д.

В-третьих, параллельно с расчетом тарифов страховщики, как правило, вынуждены учитывать влияние перестрахования на величину ущерба по всему портфелю рисков данного типа.

В-четвертых, в рамках одной страховой организации и даже одного объединения страховщиков, как правило, недостаточно статистических данных для взвешенного расчета тарифных ставок по указанным видам страхования; необходима национальная и международная кооперация в области тарификации подобных видов страхования.

1. Единовременную нетто-ставку для лица в возрасте 45 лет при сроке страхования три года:

2. Единовременную нетто-ставку на случай смерти для лица в возрасте 45 лет при пожизненном страховании: _nA_x =*100

б) Годовую нетто-ставку:

3. Годовую нетто-ставку (взнос уплачивается в начале страхового года):

3.1. На дожитие для лица в возрасте 45 лет при сроке страхования три года: _ne_x =*100

3.2. При страховании на случай смерти для лица в возрасте 45 лет на 3 года: _na_x =*100

3.3. При пожизненном страховании на случай смерти: a_x =*100

Стоимость страхования на дожитие до x+n лет мужчины в возрасте x лет при процентной ставке равной i % рассчитывается по формуле:

Величина премии в виде доли от страховой суммы для мужчины х летнего возраста при немедленном пожизненном страховании жизни: A = S*

Стоимость немедленного пожизненного аннуитета постнумерандо для мужчины х летнего возраста (при ежегодной выплате 1 тыс. руб. и если выплаты отложены на n лет).

а) Стоимость немедленного пожизненного аннуитета постнумерандо для мужчины х-летнего возраста(при ежегодной выплате 1тыс.руб.) равна:

б) Если выплаты отложены на n лет: _nа_x =

Величины стоимости аннуитетов для ежемесячных выплат постнумерандо:

а) по немедленному пожизненному аннуитету:

б) по отложенному на n лет пожизненный аннуитет: _n

Пенсии обычно выплачиваются в виде рент пренумерандо.

а) Стоимость немедленного пожизненного аннуитета пренумерандо:

б) для отложенных аннуитетов: _n_x =

Стоимость страхового аннуитета пренумерандо для мужчины х-летнего возраста. Выплаты ежегодные пожизненные и в течение x+n+t лет.

Стоимость отложенного на n лет, ограниченного t годами аннуитета пренумерандо для мужчины в возрасте x лет и с ежемесячными выплатами:

_t ׀ _x:n= . С ежемесячными выплатами, получим:

Стоимость страхования на дожитие до x+n лет мужчины в возрасте x лет: _nE_x. =.

Размер нетто-премии страхования на n лет на дожитие супругов, дожитие вдовы (х₁ – лет мужу, х₂ – лет жене). При страховании на дожитие супружеской пары получим: _nE_x_1х2 =

Размер премии для мужчины х-лет вносящего премию в течение n лет, пенсия годовая, пожизненная, в размере страховой суммы - S, тыс. руб., потоки платежей (премии и выплаты) пренумерандо. P=S*

при рассрочке в t- лет получим для тех же условий: P=S*

Примеры типовых задач
Задача 1. Рассчитайте единовременную брутто - премию по смешанному страхованию для страхователя в возрасте 45 лет, застрахованного по смешанному страхованию жизни сроком на три года. Норма доходности-8%. Страховая сумма 60 000 руб. доля нагрузки в брутто - ставке – 12%.

1) единовременные нетто-ставки для лица в возрасте 45 лет сроком на 3 года:

а) на дожитие _nЕ_х =*100 ; где _nЕ_х –единовременные ставка по страхованию на дожитие для лица в возрасте х лет при сроке страхования n лет в расчете на 100 руб. страховой суммы; l_{х + n} – число лиц, доживающих до возрастах + n (берется из таблицы 1), l_х – число лиц, подлежащих страхованию (достигших возраста х лет из 100000 родившихся);

V–дисконтный множитель, который определяется по формуле V=1/(1+i) n

n– срок страхования.

б) на случай смерти

=3,2 руб. ( со 100 руб. страховой суммы);

в) при смешанном страховании жизни нетто- ставка определяется

Тб= = = 90,48 руб. (со 100 руб. страховой суммы);

3) единовременную брутто-премию БП = . БП = = 54288

Задача 2. По данным предыдущего примера рассчитать нетто-ставки по вышеуказанным формулам через коммутационные числа.

1. Единовременную нетто-ставку для лица в возрасте 45 лет при сроке страхования три года:

2. Единовременную нетто-ставку на случай смерти для лица в возрасте 45 лет при пожизненном страховании: _nA_x =*100

3. Годовую нетто-ставку (взнос уплачивается в начале страхового года):

3.1. На дожитие для лица в возрасте 45 лет при сроке страхования три года: _ne_x =*100

3.2. При страховании на случай смерти для лица в возрасте 45 лет на 3 года: _na_x =*100

3.3. При пожизненном страховании на случай смерти: a_x =*100

Задача 3. Необходимо найти стоимость страхования на дожитие до 60 лет мужчины в возрасте 40 лет при процентной ставке равной 9% и 5%.

₂₀E_x= =R x 0,13239. При 5% : 4205/13222=0,31803 R

Задача 4. Найдите величину премии в виде доли от страховой суммы для сорокалетнего мужчины при немедленном пожизненном страховании жизни.

A = S* =S* = 0,290197*S.

Задача 5. Определите стоимость немедленного пожизненного аннуитета постнумерандо для сорокалетнего мужчины (при ежегодной выплате 1 тыс. руб. и если выплаты отложены на пять лет).

Стоимость немедленного пожизненного аннуитета постнумерандо для сорокалетнего мужчины (при ежегодной выплате 1 тыс. руб.) равна:

а_х= = 26084,094/2940=8,87214 тыс. руб.

Если выплаты отложены на пять лет:

₅а₄₀ == 15452,619/2940= 5,255993тыс. руб.

Задача 6. Вернемся к примеру 5. Пусть теперь выплаты производятся ежемесячно. Определите величины стоимости аннуитетов для ежемесячных выплат постнумерандо по немедленному пожизненному аннуитету ₅

Задача 7. Пенсии обычно выплачиваются в виде рент пренумерандо. Определите стоимость немедленного пожизненного аннуитета пренумерандо отложенных на 5 лет аннуитетов для сорокалетнего мужчины (при ежегодной выплате 1 тыс. руб.)

Стоимость немедленного пожизненного аннуитета пренумерандо:

30376/2940=10,33197 тыс. руб.;

Для отложенных аннуитетов находим:

Задача 8. Рассчитайте стоимость страхового аннуитета пренумерандо для сорокалетнего мужчины. Выплаты ежегодные, с 60 лет, предусматривается два варианта выплат — пожизненные и в течение десяти лет.

Стоимость страхового аннуитета пренумерандо для сорокалетнего мужчины, с ежегодными выплатами с 60 лет:

а) пожизненными: ₂₀₄₀ ==3082/2940=1.04829932.

б) в течение десяти лет: ₂₀_40;10===0.81564626

Задача 9. Определите стоимость отложенного на 20 лет, ограниченного 5 годами аннуитета пренумерандо для мужчины в возрасте 30 лет и с ежемесячными выплатами

С ежемесячными выплатами, получим:

Задача 10. Рассчитайте актуарные стоимости нескольких вариантов аннуитетов для 40-летнего мужчины. Платежи ежегодные и ежемесячные, выплаты – пожизненные и ограниченные (срок - 10лет), немедленные и отложенные на 5 лет. Сумма платежа 1000 руб.

Полученные величины приведены в таблице 1.

Актуарные стоимости различных вариантов аннуитетов

Вид потока		Постнумерандо		Пренумерандо
Вид потока		Годовые	ежемесяч.	годовые	ежемесяч.
Немедленный	Пожизн.	9334	9792	10334	9875
Немедленный	Огранич.	6156	6415	6773	6490
Отложенный	Пожизн.	5529	5788	6153	5867
Отложенный	Огранич.	3776	3941	4171	3990

Задача 11. Необходимо найти стоимость страхования на дожитие до 60 лет мужчины в возрасте 40 лет. Если расчет основывать на процентной ставке, равной 9%

Премия здесь составляет чуть больше 13% страховой суммы. Полученная величина представляет собой нетто-ставку страхования на дожитие, т.е. ставку, определенную из условия эквивалентности обязательств страхователя и страховщика. Напомним, что она не учитывает расходов страховщика на ведение дела.

Задача 12. Определите размер нетто-премии страхования на 5 лет на дожитие супругов. Для супружеской пары (х₁ = 50, х₂ = 45 лет) находите необходимые коммутационные числа при условии, что процентная ставка равна 9% (первая строка — для мужчин, вторая - для женщин).

При страховании на дожитие супружеской пары получим

Задача 13. Определите размер премии для следующих условий.

Сорокалетний мужчина вносит премию в течение 5 лет, пенсия годовая, пожизненная, в размере 10 тыс. руб. Оба потока платежей (премии и выплаты) пренумерандо.

В этом случае получим

Чем больше период рассрочки, тем, очевидно, меньше сумма взноса. Так, при рассрочке в 10 лет получим для тех же условий

Задача 14. Возраст страхователя 41 год. Срок страхования – 9 лет. Находим коммутационные числа: D₄₁=27341; D₅₀ = 19859. Определить единовременную ставку для пожизненного страхования на случай смерти.

₉Е₄₁ =*100=*100=72,63 руб. со 100 руб. страховой суммы.

Задача 15. Страхователю 41 год. Срок страхования составляет 5 лет. Определить единовременную нетто-ставку на случай смерти.

Из таблицы смертности находим значения коммутационных чисел: М_х = 10992; М_х+1 =10502; D_x = 27341.

Определим единовременную нетто-ставку на случай смерти при страховании на 5 лет:

Задача 16. Размер нетто-премии при пожизненном страховании лиц в возрасте 45 лет (А₄₅) равняется:

А₄₅ ====0,34 руб. со 100 руб. страховой суммы.

где М₄₅ и D₄₅ - коммутационные числа.

Если договор на случай смерти заключен в сумме 10000 руб., то единовременная нетто-премия составит 3400 руб. Когда бы смерть страхователя не последовала, страховщик выплатит 10000 руб.

Задача 17. Срок страхования 5 лет. Размер нетто-ставки при страховании на случай смерти в течение указанного срока (|₅ А₄₃) равняется:

Задача 18. Размер единовременной нетто-премии в расчете на 1 руб. страховой суммы для лиц в возрасте 43 лет, застрахованных по смешанному страхованию жизни сроком на 5 лет, определяется как:

₅Е₄₃ =*100=*100=73,83 руб. со 100 руб. страховой суммы.

Расчет может производиться также по формуле: А_43,5=₌=0,7879 руб.

Задача 19.. Рассчитаем единовременную нетто-ставку по страхованию на случай смерти. Человек в возрасте 40 лет страхуется на срок 2 года. Нетто-ставка записывается символом 2Тнх40 (2 – срок, 40 – лет). Единовременная нетто-ставка со 100 руб. страховой суммы рассчитывается: 2Тнх40 = [(d40 x V1) + (d41 x V2)] / L40 x 100, где d40, d41 – число лиц, умирающих в возрасте 40 и 41 года; V1, V2 – дисконтирующий множитель для первого и второго годов, L40 – число лиц в возрасте вступления в страхование.

Данные берутся из таблиц смертности.

Дисконтирующий множитель при ставке дисконта 40% равен:

V1 = 1 / (1 + 0,4) 1 = 0,7143. V2 = 1 / (1 + 0,4) 2 = 0,5102.

Тогда получаем: 2Тнх40 = [374 х 0,7143 + 399 х 0,5102] / 92246 х 100 = 0,51 руб

Нетто-ставка равна 0,51 руб. со 100 руб. страховой суммы.
Задачи для самостоятельного решения

б) риск пропажи багажа

в) непредвиденные расходы

б) сокращение страховой суммы по договору страхования при сохранении действия договора;

б) страховое обеспечение

б) дожитие застрахованного до определенного возраста

б) риск расходов на медицинские услуги

в) риск пропажи багажа

б) Да, только по рисковым договорам

б) страхование по одному договору риска смерти и дожития до определённого возраста или срока

б) выплата по количеству дней нетрудоспособности

Задача 1. Рассчитайте единовременную брутто - премию по смешанному страхованию для страхователя в возрасте 47 лет, застрахованного по смешанному страхованию жизни сроком на 4 года. Норма доходности-8%. Страховая сумма 100000 руб. доля нагрузки в брутто - ставке – 10%.

Задача 2. По данным предыдущего примера рассчитать нетто-ставки по вышеуказанным формулам через коммутационные числа, используя таблицы.

Задача 3. Необходимо найти стоимость страхования на дожитие до 60 лет мужчины в возрасте 42 лет при процентной ставке равной 8%.
Задача 4. Найдите величину премии в виде доли от страховой суммы для 42-летнего мужчины при немедленном пожизненном страховании жизни.

Задача 5. Определите стоимость немедленного пожизненного аннуитета постнумерандо для 42-летнего мужчины (при ежегодной выплате 100 тыс. руб. и если выплаты отложены на 3 года).

Задача 7. Определите стоимость немедленного пожизненного аннуитета пренумерандо отложенных на 8 лет аннуитетов для 42-летнего мужчины (при ежегодной выплате 100 тыс. руб.)

Задача 8. Рассчитайте стоимость страхового аннуитета пренумерандо для 42-летнего мужчины. Выплаты ежегодные, с 60 лет, предусматривается два варианта выплат — пожизненные и в течение 12 лет.

Задача 9. Определите стоимость отложенного на 23 лет, ограниченного 3 годами аннуитета пренумерандо для мужчины в возрасте 34 лет и с ежемесячными выплатами

Задача 10. Рассчитайте актуарные стоимости нескольких вариантов аннуитетов для 42-летнего мужчины. Платежи ежегодные и ежемесячные, выплаты – пожизненные и ограниченные (срок - 5 лет), немедленные и отложенные на 5 лет. Сумма платежа 10000 руб.

Задача 11. Необходимо найти стоимость страхования на дожитие до 60 лет мужчины в возрасте 43 лет. Если расчет основывать на процентной ставке, равной 8%

Задача 12. Определите размер нетто-премии страхования на 2 лет на дожитие супругов. Для супружеской пары (х₁ = 52, х₂ = 43 лет) находите необходимые коммутационные числа при условии, что процентная ставка равна 8% (первая строка — для мужчин, вторая - для женщин).

Задача 13. Определите размер премии для следующих условий. 42-летний мужчина вносит премию в течение 4 лет, пенсия годовая, пожизненная, в размере 15 тыс. руб. Оба потока платежей (премии и выплаты) пренумерандо.

Задача 14. Возраст страхователя 42 год. Срок страхования – 8 лет. Находим коммутационные числа: D₄₂=27341; D₅₀ = 19859. Определить единовременную ставку для пожизненного страхования на случай смерти ₈Е₄₂.

Задача 15. Страхователю 42 год. Срок страхования составляет 7 лет. Определить единовременную нетто-ставку на случай смерти ₇А₄₂.

Задача 16. Размер нетто-премии при пожизненном страховании лиц в возрасте 42 лет (А₄₂). Если договор на случай смерти заключен в сумме 200000 руб., определите единовременную нетто-премию.

Задача 17. Срок страхования 3 лет. Размер нетто-ставки при страховании на случай смерти в течение указанного срока (|₃ А₄₂).

Задача 18. Размер единовременной нетто-премии в расчете на 1 руб. страховой суммы для лиц в возрасте 42 лет, застрахованных по смешанному страхованию жизни сроком на 3 лет, определяется как ₅Е₄₂₊|₃ А₄₂ или А_42;3.
Литература

Читайте также: