Как найти выплату в экономической задаче
Обновлено: 02.07.2024
Приветствую! Меня зовут Александр и мне 35+ лет. Я - профессиональный репетитор по математике, информатике и программированию. Двумя словами - я матерый технарь. Сфера моих интересов - исследование математических моделей, применяемых в задачах экономического блока, встречающихся на официальном экзамене ЕГЭ по математике.
Да, я прекрасно понимаю, что вы чрезвычайно занятой человек и имеете в настоящий момент кучу неотложных дел, но, несмотря на это, я все-таки рекомендую потратить $2$ минуты собственного времени и познакомиться с отзывами учеников, прошедших подготовку под моим началом.
Экономические задачи на дифференцированные платежи - очень популярный тип задач, которые дают решать на ЕГЭ по математике. Если вы плохо понимаете, что такое схема дифференцированных платежей, но хотите в этом разбираться на первоклассном уровне, то берите в руки телефон, набирайте мой контактный номер и записывайтесь на первый пробный урок.
Мои частные уроки проходят в различных территориальных форматах: дистанционно, на моей/вашей/нейтральной территории. Но в настоящий момент времени бешеную популярность имеет удаленный формат, посредством, например, программы "Скайп". И вам рекомендую остановиться именно на этом формате. $90\%$ моих учеников предпочитают именно его. Это удобно, эффективно и недорого!
Условие задачи
В июле планируется взять кредит в банке на сумму $20$ миллионов рублей на некоторый срок (целое число лет).
Условия его возврата таковы:
Каждый январь долг возрастает на $30\%$ по сравнению с концом предыдущего года.
С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.
В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.
На сколько лет был взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения равнялась $47$ миллионов рублей?
Решение задачи
Как бы решал и анализировал эту задачу я. Во-первых, нужно определить, какой тип кредитования здесь применяется. Фундаментально типы можно разделить на $2$ следующих: платежи идут по дифференцированной схеме, и платежи происходят по аннуитетной схеме.
В приведенном условии присутствуют маркеры, которые позволяют однозначно определить, к какому типу кредитования относится эта задача. Давайте обратимся к следующей фразе: " В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года". Все встало на свои места! Перед нами экономическая задача на дифференцированные платежи.
Если для вас данная фраза не является информирующей, значит, вы плохо знакомы с математической моделью, свойствами и признаками дифференцированных платежей. Поэтому, во-вторых, я просто строго настаиваю на том, чтобы вы потратили необходимое количество времени и внимательнейшим образом познакомились с понятием дифференцированных платежей. Даже, если имеете какое-то представление, то повторение не станет лишним.
Давайте введем следующие обозначения:
| \(S\) - размер первоначального кредита | \(r\) - процентная ставка банка, выраженная в долях | \(R = 1 + r\) - для удобства расчетов |
| \(n\) - общее количество отчетных периодов | \(i\) - номер текущего отчетного периода | \(\%_\) - размер начисленных банком процентов за конкретный период |
| \(p_\) - размер платежа за конкретный период | \(P\) - общая сумма всех выплат/платежей | \(q\) - ставка банка, выраженная в процентах |
Эти обозначения я использую практически в каждой экономической задаче на дифференцированные платежи. Это делает решения унифицированными и позволяет читателю переключаться между примерами, не теряя сути математических формул, за минимальное время.
Из условия вытекает, что:
| $S = 20$, млн. рублей | $q = 30\%$ | $r = \frac = \frac = 0.3$ | $P = 47$, млн. рублей |
Кстати, сразу бросается в глаза бешеная процентная ставка банка! Она слишком оторвана от реальности. Адекватная кредитная банковская ставка находится в районе $12 - 18\%$ годовых. Повторяю и буду повторять, что банковские займы - дело неправильное и их следует избегать.
Сейчас продемонстрирую решение, на которое мне потребовалось бы потратить не более $2$-х минут. Если бы я сдавал ЕГЭ по математике. Почему так быстро? Да потому, что здесь включается самая важная формула, которая выводилась нами, при построении математической модели дифференцированных платежей.
Кстати, вот эта формула: $P = \frac + S$. Если не узнали ее, то это плохо. Нужно срочно изучать математическую модель, используемую в решениях экономических задач на дифференцированные платежи.
А ведь, что характерно, это будет единственная формула, которая нам потребуется для оптимального решения и получения молниеносного ответа. Разве нет? Ведь в этой зависимости нам известно все, кроме переменной $n$. А эта $n$ и есть ни что иное, как искомая величина, которая выражает количество отчетных периодов или общее время кредитования.
Подставляем известные в уравнение и получаем ответ!
$47 * 2 = 6 * (n + 1) + 20 * 2$
$6 * (n + 1) = 94 - 40$
Готово! Быстро? А то! Сложно? Нет, достаточно знать лишь одну математическую зависимость и уметь решать линейные уравнения. То есть период кредитования должен составлять ровно $8$ лет, чтобы выполнились все требования и ограничения, указанные в постановке задачи.
Вроде получили ответ и все замечательно, но остается момент, связанный с тем, а правильный ли он? С высоченной вероятностью, что, да! Но я все-таки хочу провести доказательство правильности ответа через таблицу, сформированную в великолепной программе "MS Excel". Кстати, такие доказательные таблицы я получаю постоянно на своих частных уроках.
Данная таблица отражает все банковские операции, возникавшие в процессе кредитования. Ее структура очень наглядна. Четко прослеживается изменение тела взятой ссуды, также удобно анализировать размер платежа и размер начисляемых процентов. Всем рекомендую делать подобную верификацию полученного результата.
Ответ: 8.
Выводы
Пожалуй, можно сделать лишь один вывод: необходимо глубоко понимать математическую модель, применяемую в процессе решения экономических задач на дифференцированные платежи. Остальное дело техники и базовых математических знаний. Ну, надеюсь, что решать линейные уравнения каждый из вас умеет.
И повторюсь уже в который раз - изучайте до посинения математическую модель дифференцируемых платежей. Ссылку на эту статью я оставлял выше. Ну, ладно, так уж и быть, продублирую ее еще раз: математическая модель экономических задач на дифференцированный платеж.
Если будут трудности с пониманием того, как функционально работает схема дифференцируемых платежей, тогда записывайтесь ко мне на индивидуальную подготовку. На уроке мы с вами детально разберем все тонкости и краеугольные камни этой, уж не такой и простой, модели.
Примеры условий реальных задач, встречающихся на ЕГЭ по математике
В данном разделе я приведу лишь условия некоторого количества задач, которые наиболее часто встречаются на официальном экзамене ЕГЭ по математике. В каждой из задач акцентировано внимание на модели дифференцируемого платежа, и только на нем.
А ведь существует масса комбинированных финансовых задач, в процессе решения которых дифференцируемый платеж занимает лишь какую-то часть решения. Все подобные задачи я разбираю со своими учениками на индивидуальных занятиях.
Пример №1
В мае планируется взять кредит в банке на сумму \(10\) миллионов рублей на \(5\) лет.
Условия его возврата таковы:
Каждый декабрь долг возрастает на \(10\%\) по сравнению с концом предыдущего года.
С января по март каждого года необходимо выплатить часть долга.
В мае каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на май предыдущего года.
Сколько миллионов рублей составила общая сумма выплат после погашения банковского кредита?
Пример №2
В июле планируется взять кредит в банке на сумму \(6\) миллионов рублей на некоторый срок.
Условия его возврата таковы:
Каждый январь долг возрастает на \(20\%\) по сравнению с концом предыдущего года.
С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.
В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.
На какой минимальный срок следует брать кредит, чтобы наибольший годовой платеж по кредиту не превысил \(1.8\) миллиона рублей?
Пример №3
В июле планируется взять кредит в банке на сумму \(20\) миллионов рублей на некоторый срок (целое число лет).
Условия его возврата таковы:
Каждый январь долг возрастает на \(30\%\) по сравнению с концом предыдущего года.
С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.
В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.
На сколько лет был взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения равнялась \(47\) миллионов рублей?
Пример №4
В июле планируется взять кредит в банке на сумму \(16\) миллионов рублей на некоторый срок (целое число лет).
Условия его возврата таковы:
Каждый январь долг возрастает на \(25\%\) по сравнению с концом предыдущего года.
С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.
В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.
На сколько лет был взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения равнялась \(38\) миллионов рублей?
Пример №5
В июле планируется взять кредит в банке на сумму \(6\) миллионов рублей на срок \(15\) лет.
Условия его возврата таковы:
Каждый январь долг возрастает на \(q\%\) по сравнению с концом предыдущего года.
С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.
В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.
Найти \(q\), если известно, что наибольший годовой платеж по кредиту составит не более \(1.9\) миллиона рублей, а наименьший не менее \(0.5\) миллиона рублей.
Пример №6
\(15\) января планируется взять кредит в банке на \(39\) месяцев.
Условия его возврата таковы:
\(1-го\) числа каждого месяца долг возрастает на \(q\%\) по сравнению с концом предыдущего месяца.
Со \(2-го\) по \(14-е\) число месяца необходимо выплатить часть долга.
\(15-го\) числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на \(15-е\) число предыдущего месяца.
Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на \(20\%\) больше суммы, взятой в кредит. Найдите \(q\).
Пример №7
Анатолий взял банковский кредит сроком на \(9\) лет. В конце каждого года общая сумма оставшегося долга увеличивается на \(17\%\), а затем уменьшается на сумму, уплаченную Анатолием. Суммы, выплачиваемые в конце каждого года, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый год уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину.
Сколько процентов от суммы кредита составила общая сумма, уплаченная Анатолием банку (сверх кредита)?
Пример №8
Анна взяла кредит в банке на срок \(12\) месяцев (\(1\) календарный год). В соответствии с банковским договором Анна возвращает кредит банку ежемесячными платежами. В конце каждого месяца к оставшейся сумме долга добавляется \(q\%\) этой суммы, и своим ежемесячным платежом Анна погашает эти добавленные проценты и уменьшает сумму долга.
Ежемесячные платежи подбираются так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину каждый месяц (на практике такая модель называется "схемой с дифференцированными платежами"). Известно, что общая сумма, выплаченная Анной банку за весь период кредитования, оказалась на \(13\%\) больше, чем сумма, взятая ей в кредит. Найдите процентную ставку банка, то есть \(q\).
Пример №9
В июле планируется взять кредит в банке на сумму \(28\) миллионов рублей на некоторый срок (целое число лет).
Условия его возврата таковы:
Каждый январь долг возрастает на \(25\%\) по сравнению с концом предыдущего года.
С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.
В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платеж составит \(9\) миллионов рублей?
Пример №10
\(15\) января планируется взять кредит в банке на \(15\) месяцев.
Условия его возврата таковы:
\(1-го\) числа каждого месяца долг возрастает на \(1\%\) по сравнению с концом предыдущего месяца.
Со \(2-го\) по \(14-е\) число каждого месяца необходимо выплатить часть долга.
\(15-го\) числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на \(15-е\) число предыдущего месяца.
Известно, что восьмая выплата составила \(108\,000\) рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования?
Не удивляйтесь, но приведенные экономические задачи на дифференцированные платежи решаются достаточно легко, если у вас присутствует детальнейшее понимание анатомии дифференцируемого платежа. Даже скажу больше, ответы на некоторые из представленных мною задач можно посчитать в уме, не прибегая к каким-либо записям и вычислениям на бумаге/компьютере.
Хотите научиться безошибочно решать подобный класс упражнений из экономического блока ЕГЭ по математике? Тогда записывайтесь ко мне на индивидуальную подготовку! Я – репетитор-практик с многолетним стажем, и главная цель моих занятий – выработать у вас навыки успешного решения экономических задач любого типа и любой сложности.
Хотите разбираться в экономических задачах на дифференцированные платежи? Тогда жду вас на уроке!
Если после прочтения данной статьи в вашей голове не все разложилось по нужным полочкам, значит, не все моменты вы уловили в процессе решения. Это не критично! Достаточно сложно стать профессиональным решателем, разбирая лишь готовые примеры. Нужно в обязательном порядке заниматься собственноручным прорешиванием.
Моя задача, как репетитора по математике, составить для вас индивидуальную программу подготовки, ориентированную на экономические задачи на дифференцированные платежи. Поэтому, если хотите стать асом в подобных задачах, то звоните мне по номеру, который опубликован в шапке данного сайта, и записывайтесь на $1$-е пробное занятие.
Я сугубо репетитор-практик, посвящающий львиную долю урока, разбору конкретных заданий. Минимум воды и максимум решений - вот мой девиз! Именно поэтому, превалирующее число моих подопечных получают высоченные баллы на официальных экзаменах ЕГЭ по математике и информатике.
И помните о том, что я достаточно востребованный репетитор, а количество учебных мест ограничено. Действуйте прямо сейчас, не откладывая принятия решения в долгий ящик.
В работе рассмотрено подробное решение финансовых задач на определение суммы выплат банку при дифференцированных платежах.
Задание № 17. Дифференцированные платежи. Задачи на определение суммы выплат банку
Дифференцированный платеж – это такая система выплат, при которой сама сумма долга уменьшается равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый год (месяц). При этом платежи каждый год разные. Таким образом, если кредит взят на n лет, то это значит, что сумму кредита а разделили на n равных частей и что каждый год после платежа сумма долга уменьшается на по сравнению с долгом на начало года.
I. что каждая выплата состоит из двух частей: первая часть всегда фиксирована — это та часть, на которую должен уменьшаться долг каждый год (месяц), вторая часть — это сумма “набежавших” процентов на текущий долг.
Действительно, когда клиент выплачивает “набежавшие” проценты, сумма его долга становится равна той, которая была до начисления процентов (например, в первый год становится равна a). А далее он еще вносит часть от этого долга. И таким образом сумма долга уменьшается на часть, что и подразумевает дифференцированная система платежей.
II. переплата по кредиту всегда равна сумме “набежавших” процентов на долг в первый год, во второй год, в третий год и т.д.
При вычислении суммы “набежавших” процентов после вынесения за скобку общего множителя в скобках получается сумма чисел, составляющих арифметическую прогрессию, которую находим по формуле
Александр взял в банке кредит на 50000 рублей на 3 месяца, причем выплачивать кредит он должен ежемесячными выплатами так, что сумма долга каждый месяц уменьшалась на одну и ту же величину. Сколько рублей составит переплата Александра по кредиту, если процентная ставка в банке 10%?
Пусть а = 50 тыс. руб – сумма кредита
р = 10% – процентная ставка
n = 3 месяца – период кредитования
Выплата ( проценты,
начисленные на остаток долга)
Остаток, тыс. руб
Пусть S – переплата (сумма начисленных процентов).
(тыс. руб)
Ответ: 10000 руб.
Родион хочет взять кредит на некоторую сумму и выбирает между двумя банками. Первый банк предлагает кредит на 15 лет под 6% годовых, второй – на 6 лет под 14% годовых, причем в обоих банках дифференцированная система платежей. Определите, в какой банк выгоднее обратиться Родиону и сколько процентов от кредита составляет эта выгода.
Пусть а руб – сумма кредита
р = 6% – процентная ставка р = 14%
n = 15 лет – период кредитования n = 6 лет
Выплата ( проценты,
Необходимая теория при решении задач на проценты и финансовой математики:
- Один процент – это одна сотая часть чего-либо. Другими словами, если возьмете, например, 550 арбузов, поделите это количество на 100 одинаковых частей \( \frac= 5,5 \), возьмете одну из этих частей, то есть пять с половиной арбузов – это и будет 1 процент от 550. Если взять 11 арбузов, то это будет уже ровно две части из ста, а значит 2 процента от 550.
- Для того, чтобы найти процент от числа, нужно умножить это число на искомый процент и поделить на \(100\). Например: \(23\)% от числа \(720\) находится по формуле \(\frac=165,6\). Другими словами число \(165,6\) составляет \(23\) процента от числа \(720\).
- Иногда встречается обратная задача. Нужно найти число, процент от которого равен данному числу. Пример: Найти число, \(25\)% от которого равно \(170\). Для решения этой задачи нужно \(170\) умножить на \(100\) и поделить на \(25\), получается \(170*\frac=680\). Таким образом, числом, \(25\)% от которого равно \(170\), будет \(680\).
- Чтобы найти сколько процентов первое число составляет от второго, нужно просто поделить первое на второе и умножить на \(100\). Например: найти сколько процентов число 12 составляет от 64. Решение: \(\frac*100=18,75\).
- Часто в задачах 17 (С5) на финансовую математику из ЕГЭ по математике встречается ситуация, когда некоторое число, обозначим его за \(_\), в первый год (период времени может быть любым – год, месяц, день, час и т.д.) увеличилось на \(a\) процентов. Потом в следующий год число, которое получилось, после первого года увеличилось опять на \(a\) процентов и т.д., в зависимости от количества этапов \(N\). Чтобы посчитать, во что превратится наше исходное число после \(N\) этапов, если оно будет расти каждый этап на \(a\) процентов, нужно воспользоваться формулами (индекс у \(P\) означает год, \(_\) – число через 1 год): $$ _=_ (1+\frac). $$ $$ _=_ (1+\frac)=_ (1+\frac)^2 $$ $$ _=_ (1+\frac)=_ (1+\frac)^3 $$ $$ ….$$ $$ _=_ (1+\frac)^N. $$
- Бывают задачи, когда величина процента меняется каждый год (в первый год число выросло на \(_\)%, второй год - \(_\)%, в \(N\)-й год - \(_\)%. Тогда получившееся в конце число можно выразить по формуле: $$ _=_ (1+\frac<_>)(1+\frac<_>)…(1+\frac>)(1+\frac<_>). $$
- Если каждый год (этап) процент прироста различный, то иногда удобно посчитать средний процент прироста \((q)\): $$ _ (1+\frac<_>)(1+\frac<_>)…(1+\frac>)(1+\frac<_>)=_ (1+\frac)^N $$
- Часто встречаются задачи на погашение кредита. Представим жизненную ситуацию: человеку нужны деньги, например, на покупку квартиры или машины. Если у него нет необходимой суммы, он может обратиться в банк и одолжить у него деньги. Данная ситуация называется взять в долг (кредит, ипотеку). Как правило, деньги возвращаются банку постепенно, вы просто вносите каждый месяц какую-то необходимую сумму, тем самым гася свой долг перед банком. Деньги в долг не дают бесплатно, за пользование этими деньгами нужно заплатить банку определенный процент от взятой суммы, ведь банк мог просто положить эти деньги на вклад и заработать. Кроме этого, дать деньги кому-либо гораздо рискованнее, чем положить на вклад в хорошем банке, поэтому банк хочет, чтобы клиент ему заплатил за пользование деньгами значительно больше, чем он может заработать просто на вкладе. Вот почему проценты по вкладу всегда значительно ниже, чем проценты по кредиту. На этом банк и зарабатывает.
В зависимости от условий, на которых предоставляется кредит, нужно будет возвращать деньги либо одинаковыми платежами каждый месяц (аннуитет), либо разными постоянно уменьшающимися платежами (дифференцированные платежи). Банк любезно проводит расчеты по обеим этим схемам и предоставляет график платежей, а вы выбираете, как будет удобно рассчитываться с банком. Обычно сначала начисляются годовые (неделя, месяц) проценты на остаток, а только потом вносятся платежи. Размер платежей зависит от взятого в долг кредита, срока (на сколько лет вы взяли в долг), от процента за пользование деньгами и от схемы, по которой вы будете рассчитываться с банком. Каждый платеж состоит из процентов, которые успели набежать за время между последним и следующим платежом и частицы самого долга.
Разберемся с каждой схемой выплат по кредиту отдельно:
Дифференцированный платеж – долг по кредиту гасится равномерно, каждый год (месяц, неделю) долг (его называют телом кредита, те деньги, которые выдал вам банк, без учета процентов) уменьшается на одну и ту же величину, но так как проценты начисляются в конце каждого года на фактический остаток, то следующие платежи меньше, чем предыдущие. То есть, каждый ваш платеж состоит из процентов, начисленных за прошедший год (месяц, неделю) и из части тела кредита. Давайте разбираться.
Другими словами, пусть \(_\) рублей – сумма, которую вы взяли в кредит под \(q\)% на \(N\) лет. Тогда, по этой схеме, каждый год долг должен уменьшаться равномерно на одну и ту же величину – значит, каждый следующий год долг должен быть меньше на величину \(\frac<_>\) – равномерно раскидали долг на (\N\) лет.
Все правильно, долг в конце \(N-го\) года должен быть равен 0. Ведь мы все должны будем выплатить.
Теперь посчитаем выплаты, которые нужно вносить ежегодно:
То есть каждый год вы должны вносить одинаковую часть долга - \(\frac_>\) рублей плюс проценты, которые набежали за этот год на остаток: \(\frac*_\), где \(_\)- оставшаяся сумма на конец текущего года. Проценты у нас начисляются только на сумму оставшегося долга с прошлого платежа. Выпишем в ряд проценты (переплату), которые вы будете платить каждый год:
Для того, чтобы получить полную переплату по кредиту, нужно сложить все проценты, которые вы платили каждый год. Для этого нужно знать формулу суммы членов арифметической прогрессии.
В скобках получилась арифметическая прогрессия с 1-м членом \(1=\frac\) и последним (N-м) членом \(\frac\). Найдя сумму арифметической прогрессии, можно получить формулы для расчета переплаты по кредиту \((П)\) и полной величины выплат \((В)\), которая включает в себя еще саму сумму кредита:
Аннуитет – как уже было сказано, это оплата кредита равными платежами.
Поясним на примере в общем виде. Пусть \(_\) – сумма кредита, \(a\) – ежегодный постоянный платеж; \(q\) – годовые проценты по кредиту. Каждый год сначала начисляется процент \(q\), а потом вносится платеж \(a.\) Через год сумма задолженности поле начисления процентов будет:
После этого происходит оплата, и сумма на счете станет:
Через 2 года сумма после начисления процентов и ежегодной выплаты (обозначим \(b=1+\frac\)): $$ _=_*b-a=(_ b-a)b-a=_ b^2-(1+b)a;$$
Иногда в задачах сказано, что кредит гасится, например, тремя платежами, а это значит, что \(_=0\).
Проведя аналогичные рассуждения для \(N\) лет, можно вывести следующие формулы:
| Вложение | Размер |
|---|---|
| zadacha_no17_differentsirovannye_platezhi.docx | 34.75 КБ |
Бесплатный марафон подготовки к ЕГЭ на зимних каникулах
Учи.Дома запускает бесплатный марафон в котором каждый день. В течении 5 дней утром ты будешь получать одно задание по выбранному предмету, а вечером его решение. Твоя задача, успеть выполнение задание до того как получишь ответ.
Бесплатно, онлайн, подготовка к ЕГЭ
Предварительный просмотр:
Решение задач на дифференцированные платежи при подготовке к ЕГЭ по математике
Кредиты играют важную роль в жизни населения со средним достатком. Тем, кто не может позволить себе единовременную оплату из собственных средств при покупке недвижимости или другого дорогостоящего имущества, кредиты просто необходимы.
Какие существуют виды платежей по кредитам?
В чём же разница между аннуитетным и дифференцированным платежами и какой платёж выгоднее?
При дифференцированных платежах сумма основного долга, так называемое тело долга, делится равными частями на весь срок платежа, а проценты ежемесячно начисляются на остаток долга. Соответственно, в первый месяц суммы платежей велики, потому что проценты по кредиту существенны.
А к концу срока выплаты будут минимальны. Дифференцированные платежи удобны для тех, у кого доход не носит характер неизменной величины, и через некоторое время может появиться возможность досрочно погасить долг. В этом случае переплата по кредиту будет меньше, чем при аннуитетном расчёте.
Отличие аннуитетного платежа от дифференцированного в том, что сумма ежемесячного взноса всегда неизменна, но вот структура этой суммы меняется из месяца в месяц.
Основную часть в первые месяцы составляют проценты по кредиту, а сумма тела долга — минимальна. Таким образом банк страхует риски недополучения прибыли в случае досрочного погашения кредита заёмщиком.
При дифференцированном платеже ежемесячные платежи становятся меньше, сумма основного долга в платеже всегда будет одной и той же. А вот проценты, начисляемые на остаток основного долга, будут уменьшаться по мере выплаты кредита. Ежемесячная сумма основного долга считается следующим образом: сумма кредита делится на количество платежей.
Кредиты с дифференцированными платежами выдавались в Сбербанке до 2011 года, а сейчас выдаются только с аннуитетными.
В подавляющем большинстве случаев банки предлагают своим заемщикам аннуитетную схему погашения задолженности. Однако в некоторых случаях можно выбрать дифференцированный платеж - тип выплаты кредита, при котором размер взносов постепенно уменьшается. Для заемщика пользоваться дифференцированными платежами выгоднее, чем фактически стандартной аннуитетной схемой.
Как рассчитать дифференцированный платеж?
Платеж при дифференцированной схеме делится на две части:
- основную, которая уходит на погашение тела кредита;
- процентную, которая является чистой прибылью банка.
Основную часть платежа высчитать просто по такой формуле:
Платеж =
Так, если заемщик взял в кредит 300 тыс. рублей под 22% годовых на 5 лет, то размер основной части составит:
300000 / 60 = 5000 рублей
Вторая часть платежа - процентная - рассчитывается по такой схеме:
Платеж = остаток основного долга * годовая ставка / 12
Так, проценты за первый месяц пользования кредита составят:
300000 * 0.22 / 12 = 5500 рублей
Путем сложения определяем размер платежа на первый месяц: 5000 + 5500 = 11000 рублей.
Для того, чтобы рассчитать проценты за любой месяц, необходимо узнать остаток задолженности. Если за второй месяц размер общего долга можно узнать путем простого вычитания из 300000 рублей первого платежа в 5000 рублей, то за 10-ый или 25-ый значение можно вычислить по такой схеме:
Остаток долга = общий размер долга - (размер основного платежа * количество прошедших месяцев).
Так, за 10-ый месяц процентная часть будет равна:
(300000 - 5000 * 9) * 0.22 / 12 = 4675
общий размер платежа: 9675 рублей.
(300000 - 5000 * 24) * 0.22 / 12 = 3300
Общий размер платежа: 8300 рублей.
Как видите, по сравнению с первым месяцем заемщику придется платить на 1700 рублей меньше. Проценты за самый последний месяц будут минимальными:
(300000 - 5000 * 59) * 0.22 / 12 = 91.67
В целом дифференцированную схему погашения кредита используют для небольших займов или при достаточно высоком уровне дохода. Тогда первые платежи не будут столь обременительны для вашего бюджета, а сниженный размер переплат позволит сэкономить и, возможно, потратить высвободившиеся средства для досрочного погашения кредита.
2. Решение задач.
Рассмотрим решение задач на дифференцированные платежи. Задачи можно найти в любом сборнике для подготовки к ЕГЭ по математике.
Учитывая, что платеж при дифференцированной схеме делится на две части:
основную и процентную, то при решении задач удобно составлять таблицу, в которой основная ежемесячная (ежегодная) часть платежа остается неизменной, а процентная часть меняется.
Решим несколько задач.
15-го января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастёт на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r .
Пусть S-сумма кредита, r-проценты банку, n=19 (число выплат).
Известно, что долг уменьшается на одну и ту же сумму.
Долг банку:
- это ежемесячные выплаты процентов банку.
Зная, что эти выплаты составляют 30% общей суммы кредита, составим уравнение:
(сумма арифметической прогрессии, где , n=19)
Выведем формулу для вычисления переплат банку, используя формулу суммы арифметической прогрессии , где
. (формула 1)
Тогда при , r=3
15-го января планируется взять кредит в банке на 25 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастёт на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 13% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r .
Пусть S-сумма кредита, r-проценты банку, n=25 (число выплат).
Известно, что долг уменьшается на одну и ту же сумму. Тогда
Или по формуле (1) n=25, , r=1%.
15-го января планируется взять кредит в банке на 2 года. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастёт на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 25% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r .
Пусть S-сумма кредита, r-проценты банку, n= 2 года=24месяца (число выплат).
Читайте также: