Как можно обеспечить режим синусоидального тока катушки при условии насыщения сердечника

Обновлено: 02.07.2024

Напомним, что самоиндукция — это явление возникновения ЭДС индукции в проводящем контуре при изменении протекающего через контур тока. При изменении тока в контуре пропорционально меняется и магнитный поток через поверхность, ограниченную этим контуром . Изменение этого магнитного потока, в силу закона электромагнитной индукции, приводит к возбуждению в этом контуре индуктивной ЭДС. Это явление и называется самоиндукцией.

Итак, если в катушке, (см. Рис.2.1 Катушка в магнитном поле), магнитное поле создается собственным током i, то магнитный поток называется потоком самоиндукции и обозначается Ф_L, а индуцируемая в катушке ЭДС е _L – ЭДС самоиндукции. В соответствии с формулой 2.1.

где ψ – потокосцепление самоиндукции, величина, пропорциональная протекающему по катушке току: Ψ = L i.

Коэффициент пропорциональности L между потокосцеплением и током называется собственной индуктивностью или просто индуктивностью катушки (контура). Она зависит от формы и размеров катушки, а также от магнитной проницаемости сердечника. Ее размерность В x с/А=Ом x с. Эта единица измерения называется генри (Гн).

Подставляя последнее выражение в (2.15) и полагая L = const, получаем следующую формулу, определяющую ЭДС самоиндукции:

(2.16)

На рис. (см. вверху, обозначение индуктивности) показано изображение индуктивности на электрической схеме; u_L – напряжение на зажимах катушки, обусловленное электродвижущей силой самоиндукции, или другими словами, напряжение, наведенное в катушке собственным переменным магнитным полем.

Все три стрелки на схеме (i, e_L, u_L) принято направлять в одну сторону. Раньше мы видели, что при одинаковых направлениях стрелок напряжения и ЭДС они имеют разные знаки. Поэтому

(2.17) Знак минус в правой части формулы (2.16) обусловлен принципом Ленца, определяющим направление индуцированной ЭДС.

В рассматриваемом случае он может быть сформулирован следующим образом:
ЭДС самоиндукции направлена так, что своим действием препятствует причине, вызвавшей ее появление .

Причина появления ЭДС самоиндукции – изменение тока. Поэтому при возрастании тока она направлена ему навстречу, при уменьшении тока – в одну с ним сторону. Препятствуя изменению тока, ЭДС самоиндукции оказывает ему сопротивление, которое называется индуктивным и обозначается х_L. В соответствии с формулой (2.16) его величина определяется индуктивностью и скоростью изменения тока, т.е. частотой. Формула, определяющая индуктивное сопротивление, имеет вид:

xL=ωL=2πƒL

В цепях постоянного тока такого понятия мы не встречали, так как при постоянных магнитных полях ЭДС самоиндукции не возникает. Пусть ток, протекающий по индуктивности, определяется выражением (2.13). Тогда напряжение на ее зажимах, в соответствии с формулой (2.17), равно:

Это – мгновенное значение напряжения. Его амплитуда равна:

Аналогичное выражение получается (после деления на √2) и для
действующих значений

где В_L – индуктивная проводимость.

Запишем соответствующие формулы в символической форме:

Аналогично для действующих значений:

Уравнения, связывающие напряжение и ток в индуктивности, как в вещественных, так и в комплексных числах, представляют собой закон Ома для индуктивности. Начальная фаза напряжения (см. рис. 2) больше начальной фазы тока на 90°. В индуктивности ток отстает от напряжения на четверть периода. Выражение закона Ома, записанное в символическое форме, указывает на этот сдвиг фаз. Вспомним, что умножение вектора на j приводит к его повороту на угол 90° против часовой стрелки.

Согласно уравнениям (2.18) получается путем умножения произведения на j , в результате чего вектор оказывается повернутым относительно вектора.

Пример:

Мгновенное значение напряжения на индуктивности определяется выражением

u_L = 200 sin(ω t+60°) В.

Записать выражение мгновенного значения тока, если L = 63,67 мГн, а частота питающего напряжения f = 50 Гц. Построить векторные диаграммы напряжения и тока.

Решение:

При частоте f = 50 Гц циклическая частота ω = 314 с-1, и индуктивное сопротивление x_L = ω L = 20 Ом. Амплитуда тока равна —

Так как в индуктивности ток отстает от напряжения на четверть периода, его начальная фаза меньше начальной фазы напряжения на

90° : ψ _i = ψ _u – 90° = 60–90–30°.

Итак, ответ решения i = 10sin (ω t–30°). Векторная диаграмма показана на рис. 3.

В ферромагнитном сердечнике зависимость магнитного потока от тока катушки обычно представляют графически в виде петли гистерезиса или приближенно кривой намагничивания, т. е. нелинейной зависимостью.

Если идеализированная катушка с ферромагнитным сердечником включена на синусоидальное напряжение u = U_m sin ωt, то переменный ток, протекающий через нее, возбуждает в сердечнике переменный магнитный поток Ф. Магнитный поток, в свою очередь, индуцирует в обмотке ЭДС. е = - WdФ/dt, которая не пропорциональна изменению тока, так как индуктивность L катушки с ферромагнитным сердечником не постоянна. Согласно второму закону Кирхгофа, для идеализированной катушки с ферромагнитным сердечником u = - е, или

(8.7)

Из (8.7) находим характер изменения магнитного потока во времени в сердечнике

Постоянная интегрирования К, представляющая собой постоянную составляющую основного магнитного потока, равна нулю, так как при установившемся режиме магнитный поток создается синусоидальным напряжением катушки, которое в этом случае не имеет постоянной составляющей, а значит, не имеет постоянных составляющих ток i и м. д. с. i W. Следовательно, окончательно имеем

(8.8)

(8.9)

Из уравнения (8.8) следует, что при синусоидальном напряжении на зажимах катушки с ферромагнитным сердечником основной (рабочий) магнитный поток в сердечнике изменяется во времени также синусоидально, причем максимальное значение магнитного потока, согласно (8.9), прямо пропорционально амплитуде напряжения U_m и обратно пропорционально его частоте f.

Форма кривой тока идеализированной катушки. Если рабочий магнитный поток синусоидален, то изменение во времени тока катушки значительно отличается от синусоидального. Кривая тока может быть построена по заданным зависимостям магнитного потока Ф(t) и Ф (i), что изображается графически замкнутой динамической петлей, подобной петле гистерезиса В (H), так как В и Ф, а также Н и i пропорциональны соответственно друг другу.

Зависимость Ф(i) находят путем расчета магнитной цепи, используя при этом динамическую петлю гистерезиса В(Н), которая, в свою очередь, должна соответствовать заданной частоте f и иметь В_m = Ф_m/s,где s — площадь поперечного сечения ферромагнитного сердечника. При построении синусоидальной зависимости Ф(t) необходимо использовать выражения (8.8) и (8.9).

На рис. 8.3 приведено построение кривой тока i(t) по заданным кривым Ф(t) и Ф(i), а также даны графики зависимости u(t) и e(t). При построении кривой i(t) определение ординат тока первой четверти периода производят по абсциссам восходящей ветви аb динамической петли abcd, а для второй четверти периода — по абсциссам нисходящей ветви bc. Так, для момента времени t' (точка 1) по кривой Ф(t) определяют значение магнитного потока Ф' (ордината 1-2), а затем для того же значения магнитного потока Ф' по кривой Ф(i) (ордината 3-4> находят значение тока i ’ (абсцисса 0-4); после этого найденное значение тока i' откладывают из точки 1 вверх и находят ординату (1-5) кривой тока i(t). Проделав подобные построения для различных моментов времени, находят ряд точек, соединив которые между собой плавной кривой получают искомый график тока i(t).

Построенная таким образом кривая тока для идеализированной катушки с ферромагнитным сердечником является несинусоидальной, симметричной относительно оси абсцисс, причем нулевая фаза тока i из-за влияния гистерезиса опережает нулевую фазу потока Ф; максимальных значений ток и поток достигают в одно и то же время. Несинусоидальность формы кривой тока определяется нелинейной зависимостью магнитного потока от тока, причем отличие от синусоиды будет тем больше, чем боль-

ше отклоняется от прямой форма динамической петли abcd. Кроме того, чем шире эта петля, тем больше сдвиг начальных фаз тока и магнитного потока.

На рис. 8.4 представлена вольт-амперная характеристика (в. а. х.) U_m(I_m) идеализированной катушки с ферромагнитным сердечником, показывающая связь максимальных значений тока и напряжения катушки. Видно, что при небольших значениях амплитуд напряжений, т. е. когда ферромагнитный сердечник намагничен не до насыщения, зависимость между током и напряжением близка к линейной (участок 0А). С ростом амплитуды напряжения катушки и, следовательно, степени насыщения сердечника при максимальных магнитных потоках зависимость между током и напряжением резко отличается от линейной, а значит, и токи катушки все более отличаются от синусоидальных.

Из графиков рис. 8.3 видно, что при Ф = 0 напряжение катушки u и ток катушки не равны нулю. Это говорит о том, что идеализированная катушка потребляет активную мощность, которая равна потерям мощности Р_с в ее ферромагнитном сердечнике. Для упрощения анализа процессов, наблюдаемых в идеализированных катушках со стальным сердечником, часто пренебрегают потерями на гистерезис и вихревые токи, вследствие чего намагничивание и размагничивание ферромагнитного сердечника происходят по одному и тому же закону (рис. 8.5). В этом случае кривая тока симметрична относительно обеих осей координат и отсутствует сдвиг начальных фаз тока i и магнитного потока Ф.

Следует отметить, что значительное влияние на амплитуду и форму кривой тока оказывает воздушный зазор в магнитной цепи, с увеличением которого форма кривой тока i(t) приближается к синусоидальной, растет амплитуда тока и зависимости Ф(i) и U_m(I_m) становятся близкими к линейным. Зависимость тока от воздушного зазора является одной из особенностей катушек с ферромагнитными сердечниками, когда катушки подключены к переменному напряжению.

Эквивалентный синусоидальный ток и векторная диаграмма идеализированной катушки. При анализе цепей, в которых имеются катушки с ферромагнитным сердечником, часто действительный несинусоидальный ток катушки заменяют эквивалентным синусоидальным током, так как при несинусоидальном токе весьма сложно проводить коли-

чественный анализ процессов, наблюдаемых в электрических и магнитных цепях. Такая замена упрощает расчеты цепей, так как позволяет применять все методы расчета цепей синусоидального тока, а также строить для них векторные диаграммы. Условием эквивалентности несинусоидального тока синусоидальному являются равенство действующих значений этих токов и равенство потерь, вызываемых этими токами.

При замене несинусоидального действительного тока эквивалентным синусоидальным действующее значение последнего должно быть равно действующему значению действительного тока, определяемому по общей формуле

Так как идеализированная катушка потребляет из сети активную мощность, то эквивалентный синусоидальный ток должен быть сдвинут по фазе относительно напряжения сети на угол φ с таким расчетом, чтобы средняя мощность этой цепи за период Т

была равна активной мощности Р_c, потребляемой идеализированной катушкой из сети:

где I — действующее значение эквивалентного тока.

Вольт-амперные характеристики U(I), показывающие связь между действующими значениями эквивалентного синусоидального тока и напряжением идеализированных катушек, аналогичны представленной на рис. 8.4. Эти в. а. х. нелинейны, т. е. напряжение U и ток I не пропорциональны друг другу; следовательно, полное электрическое сопротивление катушки Z₀ = U/I не постоянно, а зависит от действующего значения напряжения U, что является характерной особенностью катушки с ферромагнитным сердечником.

Замена действительного несинусоидального тока эквивалентным синусоидальным позволяет построить векторную диаграмму идеализированной катушки с ферромагнитным сердечником (рис. 8.6, a). Так как ток и напряжение сдвинуты по фазе относительного друг друга на угол φ, то при построении векторной диаграммы эквивалентный ток I разлагают на две составляющие: активный ток I_а = I cos φ = I sin α, совпадающий по фазе с напряжением и обусловленный потерями мощности в ферромагнитном сердечнике от гистерезиса и вихревых токов, и реактивный ток I_p = I sin φ = I cos α, возбуждающий основной магнитный поток Ф и совпадающий с ним по фазе.

(8.10)

При построении векторной диаграммы идеализированной катушки вначале откладывают вектор магнитного потока Ф_m. Согласно (8.5), ЭДС. Е, индуцируемая в витках катушки основным магнитным потоком, отстает от него на угол π/2. Поэтому на векторной диаграмме вектор E отстает по фазе от Ф_m на угол π/2. Напряжение U, приложенное к зажимам катушки, уравновешивается ЭДС. E, поэтому на векторной диаграмме вектор U диаметрально противоположен вектору E, т. е. вектор U на векторной диаграмме опережает по фазе вектор E на угол π, а вектор Ф_m — на угол π/2. Построение вектора тока I производится по его активной и реактивной составляющим.

Активная составляющая эквивалентного тока определяется по формуле

(8.11)

Здесь Р_с — активная мощность, потребляемая катушкой из сети. Эту мощность можно вычислить по формуле

где Р_удс — удельные потери мощности на килограмм массы сердечника, которые приводятся в справочной литературе, Вт/кг; G — масса сердечника, кг.

Для вычисления реактивной составляющей эквивалентного тока можно воспользоваться формулой

где Q — реактивная мощность намагничивания идеализированной катушки, т. е. мощность, необходимая для образования основного потока; Q_удс — удельная реактивная мощность намагничивания, BAр/кг, т. е. реактивная мощность, приходящаяся на килограмм массы сердечника. На векторной диаграмме угол сдвига фаз между током и магнитным потоком, обусловленный потерями мощности в ферромагнитном сердечнике от гистерезиса и вихревых токов, называется углом потерь α = π/2 - φ. Практически угол α составляет несколько градусов.

При исследовании магнитных цепей с ферромагнитными сердечниками удобно заменять их эквивалентными схемами без ферромагнитных сердечников с таким соединением ее элементов, чтобы при одинаковом напряжении на зажимах цепи и эквивалентной схемы они имели одинаковые значения токов и мощностей. В эквивалентной схеме потери в ферромагнитном сердечнике представляют потерями в эквивалентном активном сопротивлении, т. е., согласно схеме замещения индуктивной катушки, магнитное поле создается в неферромагнитной среде. На рис. 8.6,б представлена схема замещения идеализированной катушки. В этой схеме содержатся активная проводимость g₀ = I_a/U, учитывающая наличие активной составляющей тока, и реактивная проводимость b_о = I_p/U, которая учитывает реактивную составляющую тока.

Пример 4.2. В магнитной цепи (см. рисунок к примеру 4.2.а)) магнитопровод изготовлен из электротехнической стали марки 11895, для которой В₅₀₀ =1,32 Тл, В₁₀₀₀ = 1,45 Тл, В₂₅₀₀ =1,54 Тл (цифры индекса определяют напряженность магнитного поля в А/м при данной индукции). Кривая намагничивания построена на рисунке б). Размеры магнитопровода указаны на рисунке, число витков катушки w = 1000. Определить магнитную индукцию В и магнитный поток Ф в воздушном зазоре, если ток в катушке равен 1,2 А.

Рисунок к примеру 4.2. а)

Рисунок к примеру 4.2. б)

Решение. Определим максимально возможный при заданном токе магнитный поток

Зададимся значениями В . 10 -4 Вб, Ф₂ = 21,1 . 10 -4 Bб Ф₃ = 19,2 . 10 -4 Вб. По кривой намагничивания (рисунок к примеру 4.2. б)) находим соответствующие напряженности магнитного поля в стали: Н_ст1 = 1000 А/м; Н_ст2 = 500 А/м; Н_ст3 = 250 А/м.

Решая задачу как прямую, находим по формуле

По полученным данным строим вебер-амперную характеристику магнитной цепи (рисунок к примеру 4.2.в)) и по заданному значению (Iw)₀=1200 А определяем искомый магнитный поток Фо≈21 . 10 -4 Вб и магнитную индукцию

Рисунок к примеру 4.2.в)

Тот же пример решим методом последовательных приближений. В первом приближении зададимся значением индукции В₁ = 1,35 Тл (при B_maх = l,5 Тл), что соответствует по кривой намагничивания напряженности поля в стали Н_ст1 = 600 А/м. Решив прямую задачу, найдем

Так как (Iw)₁ > ( Iw)₀ = l,2 . 1000=1200 А, то задаемся значением индукции В₂ = 1,3 Тл, меньшим чем В₁. Этому значению индукции соответствует по кривой намагничивания напряженность поля Н_ст2 = 470 А/м и

что на 2,33 % больше, чем ( Iw )₀. Так как при магнитных расчетах точность до 10 % считается удовлетворительной, то принимаем, что искомая индукция В = 1,3 Тл, а магнитный поток Ф = ВS = 1,3 (40 . 10 -3 ) 2 =20,8 . 10 -4 Вб.

Катушки с ферромагнитным магнитопроводом, специально предназначенные для создания постоянной или изменяемой индуктивности, называются дросселями. Дроссели применяют в цепях переменного тока для регулирования тока. Использование для этой цели резистора экономически невыгодно из-за увеличения мощности потерь (RI02). В дросселях мощность потерь в проводах обмотки и в магнитопроводе незначительна, а сравнительно большая индуктивность позволяет эффективно ограничивать или регулировать ток в цепи. Примером регулируемой индуктивности при помощи изменяемого воздушного зазора может служить дроссель, включаемый для регулирования сварочного тока в электрическую цепь сварочного трансформатора.

Путём измерений или расчёта магнитной цепи может быть построена вольт-амперная характеристикаU(I0) катушки c зазором в магнитопроводе (рис. 6.40, а). При увеличении синусоидального напряжения на зажимах катушки должен увеличиваться её магнитный поток. При насыщении сердечника ток катушки будет возрастать быстрее, чем магнитный поток и напряжение.

В тех случаях, когда магнитопровод не насыщен, магнитное сопротивление воздушного зазора RM = /0S (несмотря на малую величину зазора) оказывается значительно больше магнитного сопротивления RM1 = lM/0S ферромагнитной части магнитопровода. Это позволяет пренебречь величиной RМ1. Тогда выражение индуктивности цепи примет вид:

L = w20S /( + lM/)  w20S/.

Выражение (6.20) позволяет сделать следующие выводы:

1) при увеличении воздушного зазора индуктивность L (см. рис. 6.40, б) и индуктивное сопротивление ХL = wL катушки уменьшаются, вследствие чего при неизменном действующем на зажимах катушки переменном напряжении ток дросселя возрастает;

2) Регулируя величину воздушного зазора в магнитопроводе, можно установить нужное значение переменного тока в индуктивной катушке при неизменном значении подводимого к дросселю напряжения.

6.5.1.1.Понятие о цепях с подмагничиванием

В §6.4 было показано, что индуктивность катушки можно изменять, регулируя длину воздушного зазора в магнитопроводе. Большое применение в разных областях техники получили устройства (управляемые дроссели, магнитные усилители, стабилизаторы напряжения и др.), у которых используется другой способ изменения индуктивности (индуктивного сопротивления) катушки со сталью, заключающийся в подмагничивании её сердечника дополнительной катушкой, питаемой постоянным током.

6.5.1.2. Управляемый дроссель

Простейшая управляемая нелинейная индуктивная катушка (управляемый дроссель) изображена на рис. 6.41. Она состоит из двух обмоток w1 и w0, намотанных на ферромагнитный сердечник. Площадь поперечного сечения сердечника SМ (м2), длина средней магнитной линии lМ (м).

Обмоткаw1 включена в цепь переменного тока, и по ней протекает переменный ток i, содержащий первую и высшие гармоники. Обмотка управления (подмагничивания) w0 подключена к источнику постоянного напряжения U0 последовательно с потенциометром R0. По обмотке w0 протекает постоянный ток I0  U0 / R0. Для ограничения в обмотке w0 переменного тока, вызванного индуктированной переменным магнитным потоком ЭДС, в неё включена дополнительная катушка с индуктивностью L0.

Если пренебречь относительно небольшим активным сопротивлением обмотки w1 и потерями мощности в сердечнике, то синусоидальное напряжение u уравновешивает ЭДС самоиндукции, взятой с обратным знаком: Отсюда магнитный поток

где Фm = Um /(w1) – амплитуда переменной составляющей магнитного потока; Ф0 – постоянная составляющая переменного потока.

Принцип управления переменным током i путём изменения постоянного тока I0 в обмотке w0 поясним с помощью рис. 6.42, а и б, на которых кривые Ф(НlM) представляют собой зависимости потока в сердечнике от суммарной МДС (магнитного напряжения) НlM = H1MlM + H0lM = F = w1I + w0I0.

Построения на рис. 6.42,а соответствуют случаю, когда I0 = 0 (Ф0 = 0), а на рис. 6.42, б – когда I0 ≠ 0 (Ф0 ≠ 0). На обоих рисунках переменная составляющая потока Фmsint одинакова. Кривые F = HlM = w1i + w0I0 = f(t) построены с учетом значения Ф0. Ось времени для этих кривых направлена вертикально вниз. Ток i не содержит постоянной составляющей, т. к. в цепи обмотки w1 нет источника постоянной ЭДС и выпрямителей.

Проведём прямую а - б (рис. 6.42, б) так, чтобы среднее значение тока i за период от t = 0 до t = 2 было равно нулю, т. е. чтобы заштрихованные площади кривой w1i выше и ниже этой оси были одинаковыми. Прямая а - б является нулевой линией для кривой w1i = f(t) и удалена от оси ординат на расстояние F0 = w0I0.

Анализ кривых w1i показывает, что при Ф0 ≠ 0 кривая переменного тока несимметрична относительно оси времени, содержит первую и высшие гармоники, амплитуды которых зависят как от амплитуды Фm, так и от постоянной МДС F0 = w0I0: чем больше w0I0, тем больше амплитуды гармоник тока i: первой I1m = H1MlM / w1, второй I2m = H2MlM / w1 и т. д.

6.5.1.2. Управляемый дроссель

Проведём прямую а - б (рис. 6.42, б) так, чтобы среднее значение тока i за период от t = 0 до t = 2 было равно нулю, т. е. чтобы заштрихованные площади кривой w1i выше и ниже этой оси были одинаковыми. Прямая а - б является нулевой линией для кривой w1i = f(t) и удалена от оси ординат на расстояние F0 = w0I0.

Анализ кривых w1i показывает, что при Ф0 ≠ 0 кривая переменного тока несимметрична относительно оси времени, содержит первую и высшие гармоники, амплитуды которых зависят как от амплитуды Фm, так и от постоянной МДС F0 = w0I0: чем больше w0I0, тем больше амплитуды гармоник тока i: первой I1m = H1MlM / w1, второй I2m = H2MlM / w1 и т. д.

Читайте также: