Какие принципы положены в основу работы электромагнитных устройств суперпозиции и интеграции

Обновлено: 01.05.2024

В предыдущих главах принцип суперпозиции рассматривался как основное свойство линейных систем. Математическая формулировка (1.1) принципа суперпозиции, предусматривающая только операцию сложения сигналов, является фундаментальной для обработки аддитивной смеси сигналов. Она также является основой для спектрального метода анализа воздействия сложных сигналов на линейные цепи, для метода интеграла Дюамеля и других методов, при которых входной сигнал представляется в виде суммы элементарных слагаемых.

Однако операция сложения, как указывалось в § 1.5, не исчерпывает проблемы обработки сложных сигналов. Важное значение для современной теории и техники обработки сигналов имеют, в частности, операции умножения и свертки сигналов.

Линейные системы не позволяют осуществить раздельную обработку сигналов, входящих в произведение или образующих свертку. Иными словами, по отношению к сигналам или неприменим принцип суперпозиции, в том виде, в каком он сформулирован для линейных систем. Однако с помощью сочетания линейных и некоторых нелинейных элементов можно осуществить систему, подчиняющуюся обобщенному принципу суперпозиции по отношению к упомянутым выше (и некоторым другим) сигналам.

Отыскание классов подобных систем для различных комбинаций входных сигналов основывается на теории линейных векторных пространств и на общей теории преобразования этих пространств. Основные понятия пространства сигналов, трактуемого как векторное пространство, были изложены в § 4.8 и 4.9. Применение этих понятий к задаче синтеза цепей, подчиняющихся обобщенному принципу суперпозиции, рассматривается в следующем параграфе. Предварительно поясним принцип построения подобных цепей для одного частного случая, основываясь на физических представлениях.

Рассмотрим обработку мультипликативного сигнала и поставим перед собой задачу преобразования его к виду суммы Искомый оператор преобразования обозначим символом D. Математически поставленная выше задача сводится к требованию

Известно, что единственной непрерывной функцией, удовлетворяющей функциональному уравнению (16.1), является логарифмическая функция. Следовательно, оператор D соответствует логарифму и нелинейное устройство, осуществляющее требуемое преобразование, должно иметь характеристику вида . Сигнал на выходе этого устройства

В данном случае для упрощения мы ограничились рассмотрением действительных и ненулевых функций

По своему частотному спектру, а следовательно и по форме сигналы отличаются от . Существенно, однако, что сумму можно обрабатывать (фильтровать) с помощью обычной линейной цепи.

Обозначим через сигналы на выходе линейного фильтра L, осуществляющего фильтрацию сигналов Поскольку последние имеют смысл логарифмов , то можно рассматривать как логарифмы выходных сигналов Тогда возникает задача, обратная по отношению к (16.2): как перейти от суммы к произведению .

Преобразованием, обратным логарифмированию, является потенцирование. Оператор такого преобразования обозначим . Тогда характеристика нелинейного элемента, осуществляющего обратное преобразование, должна иметь вид , так что

Рис. 16.1. Пример нелинейной системы, подчиняющейся принципу суперпозиции

Между двумя нелинейными элементами, осуществляющими преобразования D и должно быть включено линейное устройство L для фильтрации сигналов т. е. для осуществления основной линейной обработки.

В результате приходим к схеме обработки, представленной на рис. 16.1. Как обозначено на этом рисунке, нелинейный элемент D преобразует произведение в сумму линейный элемент L сохраняет операции суммирования а нелинейный элемент преобразует сумму в произведение.

Применение подобной обработки целесообразно в тех случаях, когда с помощью линейного устройства L возможно разделять по частотному признаку сигналы и изменять в желательном направлении соотношение между уровнями сигналов

Пусть, например, спектры функций не перекрываются, а линейный фильтр L пропускает только сигнал Тогда выражение (16.3) принимает следующий вид:

Аналогично при режекции сигнала получим Таким образом можно осуществить разделение сигналов.

Система, представленная на рис. 16.1, в целом подчиняется обобщенному принципу суперпозиции, в данном случае по отношению к сигналу так как в этой системе между сигналами отсутствует взаимодействие и соотношение между а также между определяется только линейным устройством

Понятие напряженности нашло широкое применение в электротехнике. Оно применяется для расчетов норм сигналов, вычисления устойчивости системы, определения влияния электрического излучения на окружающие источник элементы.

Основной сферой, где понятие нашло широкое применение, является сотовая и спутниковая связь, телевышки и другие электромагнитные излучатели. Знание интенсивности излучения для данных устройств позволяют рассчитать такие параметры, как:

дальность действия радиовышки;
безопасное расстояние от источника до человека.

Первый параметр крайне важен для тех, кто устанавливает спутниковое телевизионное вещание, а также мобильную связь. Второй дает возможность определить допустимые нормы по излучению, тем самым обезопасив пользователей от вредного влияния электроприборов. Применение данных свойств электромагнитного излучения не ограничивается связью. На этих базовых принципах построена выработка энергии, бытовая техника, отчасти производство механических изделий (например, окрашивание при помощи электромагнитных импульсов). Таким образом, понимание величины является важным и для производственного процесса.

Интересные опыты, позволяющие увидеть картину силовых линий электрического поля: видео

Электрическое сопротивление
Статическое электричество и защита от него
Мощность электрического тока

С точки зрения термодинамики

Напряженность выступает одним из основных и ключевых характеристик в классической электродинамике. Ее значение, а также данные электрического заряда и магнитной индукции представляются основными характеристиками, зная которые можно определить параметры протекания практически всех электродинамических процессов. Она присутствуют и выполняет важную роль в таких фундаментальных понятиях, как формула силы Лоренца и уравнения Максвелла.

q – заряд;
B – вектор магнитной индукции;
С – скорость света в вакууме;
j – плотность магнитного тока;
μ_{0 –} магнитная постоянная = 1,25663706*10-6;
ε– электрическая постоянная, равная 8,85418781762039*10-12

Наряду со значением магнитной индукцией данный параметр является основной характеристикой электромагнитного поля, излучаемого зарядом

Исходя из этого, с точки зрения термодинамики напряженность – значительно более важное значение, чем сила тока или другие показатели

Данные законы выступают фундаментальными, на них строится вся термодинамика. Следует отметить, что закон Ампера и другие более ранние формулы являются приближенными или описывают частные случаи. Законы Максвелла и Лоренца универсальны.

Напряжённость электрического поля в классической электродинамике

Для лучшего понимания темы необходимо напомнить несколько базовых определений. Существуют отрицательные и положительные электрические заряды. Каждый из них не зависит от системы координат, что подразумевает отсутствие влияния скорости. В изолированном объеме сумма зарядов не изменяется. Базовой величиной считают Кулон, который соответствует прохождению тока через единичную площадь сечения проводника за одну секунду.

создается зарядами;
распространяется со скоростью света;
не ограничено в свободном пространстве.

Описывает напряженность электрического поля формула с векторными составляющими:

E – это вектор напряженности, который зависит от координат в пространстве по осям Х, Y, Z и времени;
F – сила, оказывающая воздействие на единичный точечный заряд q0.

Вместе с вектором магнитной индукции напряженность (Е) формирует электромагнитное поле. Суммарное воздействие сил образует тензор. Вместе с зарядом это главные параметры электродинамики.

Как направлен вектор электрического поля

Силовые линии

Поле не является однородным, что демонстрируют с помощью разных расстояний между отдельными линиями. В примере с пластинами близкое расположение параллельных проводников позволяет обеспечить одинаковую напряженность в рабочей зоне. Все силовые линии бесконечные. Они начинаются на положительном заряде и заканчиваются на отрицательном. Таким образом, направление вектора напряженности будет всегда в сторону уменьшения потенциала.

Определение понятия и формула расчета

Вектор напряженности (E) — сила, действующая на бесконечно малый ток в рассматриваемой точке. Формула для определения параметра выглядит следующим образом:

F- сила, которая действует на заряд;
q –величина заряда.

Заряд, принимающий участие в исследовании, называется пробным. Он должен быть незначительным, чтобы не искажать результаты. При идеальных условиях в роли q выступает позитрон.

Стоит отметить, что величина относительна, ее количественная характеристика и направление зависят от координат и при смещении изменится.

Исходя из закона кулона сила, действующая на тело, равняется произведению потенциалов, деленному на квадрат расстояния между телами.

Из этого следует, что напряженность в данной точке пространства прямо пропорциональна потенциалу источника и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. В общем, символическом случае уравнение записывается следующим образом:

Исходя из уравнения, единица измерения электрического поля – Вольт на метр. Это же обозначение принято системой СИ. Имея значение параметра, можно вычислить силу, которая будет действовать на тело в исследуемой точке, а зная силу — найти напряженность электрического поля.

По формуле видно, что результат абсолютно не зависит от пробного заряда. Это необычно, так как данный параметр присутствует в первоначальном уравнении. Однако это логично, потому что источником является основной, а не пробный излучатель. В реальных условиях данный параметр имеет влияние на измеряемые характеристики и выдает искажение, что обуславливает использование позитрона для идеальных условий.

Так как напряженность – векторная величина, кроме значения она имеет направление. Вектор направлен от основного источника к исследуемому, или от пробного заряда к основному. Это зависит от полярности. Если знаки одинаковые, то происходит отталкивание, вектор направлен к исследуемой точке. Если точки заряжены разнополярно, то источники притягиваются. В этом случае принято считать, что вектор силы направлен от положительного источника к отрицательному.

Электростатика

Этот раздел электродинамики описывает частный случай, когда заряженные тела находятся в статичном состоянии. Такая ситуация значительно упрощает расчеты. Для практического примера можно создать электростатический конденсатор.

Устанавливают две плоскости одинаковой размерности параллельно на небольшом расстоянии, разделяют слоем диэлектрика. Если создать разницу потенциалов, между поверхностями образуется поле. В такой конструкции накапливается электрический заряд. Какой будет емкость, можно узнать с помощью этой формулы:

e – проницаемость диэлектрика;
e0 – электрическая постоянная (8,85*10-12 Ф/м);
S – площадь пластин;
D – расстояние между ними.

Конденсатор

Чтобы зарядить конденсатор до нужной емкости, надо затратить энергию W=(e*e0*E2/2)*S*D. На рисунке показано, как изменять рабочие параметры сборки при последовательном и параллельном соединении модулей.

Теорема Гаусса

Эта теорема определяет пропорциональность потока вектора напряженности электрического поля (Ф) заряду (Q), который заключен в произвольную поверхность замкнутого типа:

Напряжённость электрического поля точечного заряда

В этом случае можно пользоваться рассмотренным выше законом Кулона. В следующих разделах представлены формулы для вычисления в разных системах единиц.

В единицах СИ

В этой системе базовой выбрана сила тока, поэтому кулон является производной величиной.

Здесь коэффициент k=1/(4π*e0).

Для системы СГС

В этом варианте для получения результата надо сложить вектора каждого заряда:

Чтобы обеспечить непрерывность линии напряженности, берут интеграл соответствующей области. Построить распределение силовых линий можно с помощью расчета перемещения вектора по всем точкам.

Уместный пример – закон Ома. Он был создан в ходе измерения электрических параметров. В начальном виде формула (Х=П/L+B) состояла из следующих компонентов:

Х – показания измерительного устройства (гальванометра), включенного в разрыв электрической цепи;
П – параметры источника питания, заставляющие стрелку прибора отклоняться на определенный угол;
L – длина соединительных проводов;
B – общие свойства установки.

Несложно догадаться, что в современном представлении это известный закон, показывающий взаимное влияние основных параметров полной электрической цепи:

I – ток;
E – ЭДС (напряжение);
R и r – сопротивление подключенных компонентов и самого источника питания, соответственно.

Примечания

Принцип суперпозиции

Источник может принимать различные формы. Описанные выше формулы помогают найти напряженность электрического поля точечного заряда, но источник может представлять собой и другие формы:

несколько независимых материальных точек;
распределенную прямую или кривую (статор электромагнита, провод и т.д.).

Для точечного заряда нахождение напряженности выглядит следующим образом: E=k*q/r2, где k=9*109

При воздействии на тело нескольких источников напряженность в точке будет равняться векторной сумме потенциалов. При действии распределенного источника вычисляется действующим интегралом по всей области распределения.

Характеристика может изменяться во времени в связи с изменением зарядов. Значение остается постоянным только для электростатического поля. Она является одной из основных силовых характеристик, поэтому для однородного поля направление вектора и величина q будут одинаковыми в любых координатах.

Уединенный проводник с электрическим током создает вокруг себя магнитное поле. Но такая ситуация встречается редко. Как правило, в любой электрической схеме много проводников, каждый из которых создает магнитное поле. Рассмотрим, что происходит при наложении магнитных полей.

Принцип суперпозиции

Одна из частых задач в физике — учет одновременного действия нескольких факторов. Например, на объем тела одновременно влияют длина, высота и ширина. На общую массу нескольких тел одновременно влияет масса каждого тела. Еще один пример — световой луч, цвет которого может быть смесь и зависеть от цветов составляющих. Наконец, таким примером является движение тела под одновременным действием нескольких сил.

Заметим, что во всех приведенных примерах совместный учет факторов должен проводиться по-разному. Для объема тела следует использовать умножение. Для общей массы следует использовать сложение. В случае цвета — смешение происходит по особым формулам смешения цвета. Для определения совместного действия сил используется сложение по правилам векторной арифметики.

Принцип, при котором результат совместного действия нескольких величин равен сумме отдельных действий каждой величины, называется принципом суперпозиции.

Применение принципа суперпозиции, несмотря на его очевидность и простоту, возможно не всегда. В приведенных примерах принцип суперпозиции используется для определения общей массы и равнодействующей силы. Для двух других примеров принцип суперпозиции неприменим.

Пример случая, когда принцип суперпозиции не работает, — смешение цветов. Если к красному цвету прибавить красный, то цвет не изменится. Если смешать все первичные цвета в равной пропорции, получим более яркий белый. Но, прибавляя к белому любой другой цвет, мы в результате получим более темный оттенок. Все это происходит потому, что смешение цветов нелинейно и основывается на физиологических механизмах чувствительности человеческого глаза.

Рис. 1. Аддитивное смешение цветов.

Сложение магнитных полей

Как показывают опыты, магнитное поле является линейным и не взаимодействует само с собой. Поэтому принцип суперпозиции для него выполняется. Суммарная индукция магнитного поля, образованная несколькими магнитными полями, равна сумме индукций этих магнитных полей.

При этом, поскольку напряженность магнитного поля является вектором, для сложения следует использовать правила сложения векторов. Таким образом, формула принципа суперпозиции индукции магнитного поля выглядит следующим образом:

$$overrightarrow B_= overrightarrow B_1+overrightarrow B_2+…+overrightarrow B_n$$

Рис. 2. Принцип суперпозиции магнитных полей.

Катушка с током

Наиболее частый случай использования принципа суперпозиции магнитных полей — это магнитное поле катушки с током. Катушка состоит из множества витков, каждый из которых представляет собой рамку с током, порождающую магнитное поле. Ток по всем виткам течет в одном направлении, площади витков одинаковы, а значит, и индукция каждого из витков направлена в одну и ту же сторону и имеет одинаковый модуль. Следовательно, индукция катушки с током, содержащая $N$ витков, в $N$ раз больше индукции одного витка и возрастает пропорционально количеству витков. Именно поэтому для создания магнитных полей в промышленности используются катушки с большим числом витков.

Рис. 3. Катушка с током.

Что мы узнали?

Магнитное поле подчиняется принципу суперпозиции. Формулировка этого принципа гласит, что совместное действие нескольких факторов равно сумме действий каждого фактора. Общая индукция нескольких магнитных полей равна векторной сумме индукций каждого магнитного поля.

Физика Поверхностное натяжение жидкости – определение формулы кратко, коэффициент и сила, измерение (10 класс)

Эта статья посвящена принципу суперпозиции в линейных системах. Для использования в других целях, см Суперпозиция (значения) .

Совмещение почти плоские волны (диагональные линии) от удаленного источника и волн от следа из уток . Линейность сохраняется только приблизительно в воде и только для волн с малой амплитудой относительно их длины волны.

Катящееся движение как суперпозиция двух движений. Качение колеса можно описать как комбинацию двух отдельных движений: поступательного движения без вращения и вращения без перевода.

Функция , которая удовлетворяет принципу суперпозиции, называется линейной функцией . Суперпозицию можно определить двумя более простыми свойствами; аддитивность и однородность F ( Икс )

Этот принцип имеет множество приложений в физике и технике, поскольку многие физические системы можно моделировать как линейные системы. Например, луч можно смоделировать как линейную систему, в которой входной стимул - это нагрузка на луч, а выходной ответ - отклонение луча. Важность линейных систем состоит в том, что их легче анализировать математически; Существует множество применимых математических методов, методов линейного преобразования частотной области, таких как преобразования Фурье и Лапласа , и теории линейных операторов . Поскольку физические системы обычно только приблизительно линейны, принцип суперпозиции является лишь приближением истинного физического поведения.

Принцип суперпозиции применяется к любой линейной системе, включая алгебраические уравнения , линейные дифференциальные уравнения и системы уравнений этих форм. Стимулами и ответами могут быть числа, функции, векторы, векторные поля , изменяющиеся во времени сигналы или любой другой объект, удовлетворяющий определенным аксиомам . Обратите внимание, что когда задействованы векторы или векторные поля, суперпозиция интерпретируется как векторная сумма . Если суперпозиция выполняется, то она автоматически также выполняется для всех линейных операций, применяемых к этим функциям (из-за определения), таких как градиенты, дифференциалы или интегралы (если они существуют).

СОДЕРЖАНИЕ

Этимология

Отношение к анализу Фурье и аналогичным методам

Записывая очень общий стимул (в линейной системе) как суперпозицию стимулов конкретной и простой формы, часто становится легче вычислить реакцию.

В качестве другого распространенного примера, в анализе функций Грина , стимул записывается как суперпозиция бесконечного множества импульсных функций , и тогда ответ представляет собой суперпозицию импульсных откликов .

Анализ Фурье особенно распространен для волн . Например, в электромагнитной теории обычный свет описывается как суперпозиция плоских волн (волн фиксированной частоты , поляризации и направления). Пока выполняется принцип суперпозиции (что часто, но не всегда; см. Нелинейную оптику ), поведение любой световой волны можно понимать как суперпозицию поведения этих более простых плоских волн .

Суперпозиция волн

Две волны, распространяющиеся в противоположных направлениях через одну и ту же среду, объединяются линейно. В этой анимации обе волны имеют одинаковую длину волны, а сумма амплитуд дает стоячую волну .

Волны обычно описываются вариациями некоторых параметров в пространстве и времени, например, высотой в водной волне, давлением в звуковой волне или электромагнитным полем в световой волне. Значение этого параметра называется амплитудой волны, а сама волна является функцией, определяющей амплитуду в каждой точке.

В любой системе с волнами форма волны в данный момент времени является функцией источников (т. Е. Внешних сил, если таковые имеются, которые создают или влияют на волну) и начальных условий системы. Во многих случаях (например, в классическом волновом уравнении ) уравнение, описывающее волну, является линейным. Когда это так, может применяться принцип суперпозиции. Это означает, что суммарная амплитуда, вызванная двумя или более волнами, пересекающими одно и то же пространство, является суммой амплитуд, которые были бы созданы отдельными волнами по отдельности. Например, две волны, идущие навстречу друг другу, будут проходить сквозь друг друга без каких-либо искажений на другой стороне. (См. Изображение вверху.)

Дифракция волн против интерференции волн

Что касается наложения волн, Ричард Фейнман писал:

Никто никогда не мог удовлетворительно определить разницу между интерференцией и дифракцией. Это просто вопрос использования, и между ними нет особой важной физической разницы. Лучшее, что мы можем сделать, грубо говоря, - это сказать, что когда есть только несколько источников, скажем два, мешающих, тогда результат обычно называется интерференцией, но если их много, кажется, что слово дифракция чаще используется.

Другие авторы уточняют:

Разница заключается в удобстве и условности. Если волны, которые должны быть наложены, исходят от нескольких когерентных источников, скажем, двух, эффект называется интерференцией. С другой стороны, если волны, которые должны быть наложены, возникают в результате разделения волнового фронта на бесконечно малые когерентные вейвлеты (источники), эффект называется дифракцией. То есть разница между двумя явлениями [вопрос] только в степени, и, по сути, это два предельных случая эффектов суперпозиции.

Еще один источник соглашается:

Поскольку интерференционные полосы, наблюдаемые Юнгом, были дифракционной картиной двойной щели, эта глава [Фраунгоферовская дифракция], следовательно, является продолжением главы 8 [Интерференция]. С другой стороны, немногие оптики сочли бы интерферометр Майкельсона примером дифракции. Некоторые из важных категорий дифракции относятся к интерференции, которая сопровождает разделение волнового фронта, поэтому наблюдение Фейнмана в некоторой степени отражает трудности, которые могут возникнуть при различении разделения амплитуды и разделения волнового фронта.

Волновая интерференция

На этой идее основано явление интерференции волн. Когда две или более волны пересекают одно и то же пространство, итоговая амплитуда в каждой точке является суммой амплитуд отдельных волн. В некоторых случаях, например, в наушниках с шумоподавлением , суммарная вариация имеет меньшую амплитуду, чем вариации компонентов; это называется деструктивным вмешательством . В других случаях, например, в линейном массиве , суммарное отклонение будет иметь большую амплитуду, чем любой из компонентов по отдельности; это называется конструктивным вмешательством .

зеленая волна проходит вправо, а синяя волна проходит влево, итоговая амплитуда красной волны в каждой точке является суммой амплитуд отдельных волн.

комбинированная форма волны
волна 1
волна 2
	Две волны в фазе	Две волны на 180 ° не совпадают по фазе

Отклонения от линейности

В большинстве реальных физических ситуаций уравнение, описывающее волну, является лишь приблизительно линейным. В этих ситуациях принцип суперпозиции выполняется только приблизительно. Как правило, точность приближения имеет тенденцию улучшаться по мере уменьшения амплитуды волны. Примеры явлений, возникающих при неправильном выполнении принципа суперпозиции, можно найти в статьях по нелинейной оптике и нелинейной акустике .

Квантовая суперпозиция

Проективная природа квантово-механического пространства состояний имеет важное отличие: оно не допускает суперпозиций, о которых идет речь в данной статье. Квантово-механическое состояние - это луч в проективном гильбертовом пространстве , а не вектор . Сумма двух лучей не определена. Чтобы получить относительную фазу, мы должны разложить или разбить луч на составляющие

где и принадлежит ортонормированному базису. Класс эквивалентности позволяет придать четко определенное значение относительным фазам . C j ∈ C \ in >> | ϕ j ⟩ \ rangle> | ψ я ⟩ \ rangle> C j >

Краевые задачи

Распространенный тип краевой задачи - это (абстрактно говоря) нахождение функции y, которая удовлетворяет некоторому уравнению

F ( у ) знак равно 0

с некоторой граничной спецификацией

грамм ( у ) знак равно z

Например, в уравнения Лапласа с граничными условиями Дирихле , Р будет вполне лапласиан оператор в области R , G будет оператор , который ограничивает у к границе R и Z будет функция , что у требуется , чтобы равняться на граница R .

В случае, если F и G оба являются линейными операторами, то принцип суперпозиции гласит, что суперпозиция решений первого уравнения является другим решением первого уравнения:

F ( у 1 ) знак равно F ( у 2 ) знак равно ⋯ знак равно 0 ⇒ F ( у 1 + у 2 + ⋯ ) знак равно 0 ) = F (y_ ) = \ cdots = 0 \ \ Rightarrow \ F (y_ + y_ + \ cdots) = 0>

в то время как граничные значения накладываются друг на друга:

грамм ( у 1 ) + грамм ( у 2 ) знак равно грамм ( у 1 + у 2 ) ) + G (y_ ) = G (y_ + y_ )>

Используя эти факты, если можно составить список решений первого уравнения, то эти решения можно аккуратно сложить в суперпозицию, чтобы оно удовлетворяло второму уравнению. Это один из распространенных методов решения краевых задач.

Разложение аддитивного состояния

Другие примеры приложений

История

Позже это стало общепринятым, в основном благодаря работам Жозефа Фурье .

Читайте также: