Подготовка исторической справки о квадратных уравнениях

Обновлено: 16.05.2024

История возникновения и развития уравнений.

Учитель:
Неугасимова Н.М.

Глава 1. По страницам истории. …………………………………… 4
1.1. Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне.…………………… 4
1.2. Квадратные уравнения в Индии. …………………………… 5 1.3. Квадратные уравнения у ал - Хорезми. …………………………… 7
1.4. Уравнения в Древней Греции. ……………………………… 8 1.5. Уравнения в Китае. ………………………………………………… 10
1.6. Страны арабского языка. Узбекистан. Таджикистан. 10
1.7. Средневековая Европа. …………………………………………… 11 10 Глава 2. Уравнения в 21 веке. 2.1 Основные понятия линий уравнений. …………………………… 13
2.2 Основные понятия уравнений. …………………………………… 14
2.3. Классификация преобразований уравнений. ……………… 15
2.4. Обобщённые приёмы решения уравнений. ……………………… 15
2.5. Искусство составлять уравнение. ……………………………… 15
2.6. Применение уравнений в жизни. …………………………………… 17
Заключение ……………………………………………… 18
Список литературы ………………………………………………… 19

Глава 1. История возникновения уравнений.
Алгебра возникла в связи с решением разнообразных задач при помощи уравнений. Обычно в задачах требуется найти одну или несколько неизвестных, зная при этом результаты некоторых действий, произведенных над искомыми и данными величинами. Такие задачи сводятся к решению одного или системы нескольких уравнений, к нахождению искомых с помощью алгебраических действий над данными величинами. В алгебре изучаются общие свойства действий над величинами.
Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики.
1.1. Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне
Уже около 4000 лет назад вавилонские учёные владели решением квадратного уравнения и решали системы двух уравнений, одно из которых второй степени. Среди клинописных текстов были найдены примеры решения неполных, а также частичных случаев полных квадратных уравнений.
Некоторые алгебраические приемы решения линейных и квадратных уравнений были известны еще 4000 лет назад в Древнем Вавилоне.

Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений.
Соответствующее задаче 1 уравнение
Бхаскара пишет под видом
x2 - 64x = - 768
и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 322, получая затем:

x2 - б4х + 322 = -768 + 1024,
(х - 32)2 = 256,
х - 32= ±16,
x1 = 16, x2 = 48.

1.6. Страны арабского языка. Узбекистан. Таджикистан.

Глава 2. Уравнения в 21 веке.

Задача №6
Из корзины яиц взяли половину всего количества яиц, потом ещё половину остатка, затем половину нового остатка и, наконец, половину следующего остатка. После этого в корзине осталось 10 яиц. Сколько яиц было в корзине первоначально?
Решение: Всего х – яиц. х - х = х; х - * х = х;
х - * х = х; х - * х = х; х = 10; х = 160.
2.6. Применение уравнений в жизни
Использование уравнений в экономике:
3адача №7
Рабочий день уменьшился с 8 часов до 7 часов. На сколько процентов нужно повысить производительность труда, чтобы при тех же расценках заработная плата возрасла на 5%?
Решение: Пусть х руб. – заработная плата при 8 – часовом рабочем дне.
На 0,05х руб. возросла зарплата. (х + 0,05х) руб. – заработная плата после повышения производительности труда.
руб/ч – производительность труда при 8 – часовом рабочем дне.
руб/ч - производительность труда при 7 – часовом рабочем дне.
На - = = = руб/ч увеличилась производительность труда.
составляет 100%, тогда составляет 20%. Ответ: 20%.

Использование уравнений в сельском хозяйстве:
3адача №8
Две бригады, работая одновременно, обработали участок земли за 12 часов. За какое время могла бы обработать этот участок каждая из бригад в отдельности, если скорости выполнения работы бригадами относятся, как 3 : 2?

Решение: Пусть t ч – время, за которое первая бригада может обработать участок; t ч- время, за которое вторая бригада может обработать участок.
Обе бригады за 1 час вместе обрабатывают часть участка.
И, следовательно, .
По условию t = t . Тогда + , , , ,
t = = 20. Ответ: 20часов и 30 часов.
Итак, я могу сделать вывод, что язык алгебры — уравнения. Чтобы решить задачу с помощью уравнения, необходимо перевести текст задачи с родного языка на язык алгебраический. Уравнения широко используются в различных разделах математики, а также в повседневной жизни: экономике, сельском хозяйстве и т.д.

Евклид (Eνκλειδηζ), древнегреческий математик, автор первого из дошедших до нас теоретических трактатов по математике

Герон – греческий математик и инженер впервые в Греции в I век н.э. дает чисто алгебраический способ решения квадратного уравнения.

Герон Александрийский; Heron, I в. н. э., греческий механик и математик. Время его жизни неопределенно, известно только, что он цитировал Архимеда (который умер в 212 г. до н. э.), его же самого цитировал Папп (ок. 300 г. н. э.). В настоящее время преобладает мнение, что он жил в I в. н. э. Занимался геометрией, механикой, гидростатикой, оптикой; изобрел прототип паровой машины и точные нивелировочные инструменты. Наибольшей популярностью пользовались такие автоматы Г., как автоматизированный театр, фонтаны и др. Г. описал теодолит, опираясь на законы статики и кинетики, привел описание рычага, блока, винта, военных машин. В оптике сформулировал законы отражения света, в математике — способы измерения важнейших геометрических фигур. Основные произведения Г. — это Иетрика, Пневматика, Автоматопоэтика, Механика (фр.; произведение сохранилось целиком по-арабски), Катоптика (наука о зеркалах; сохранилась только в латинском переводе) и др. Г. использовал достижения своих предшественников: Евклида, Архимеда, Стратона из Лампсака. Его стиль простой и ясный, хотя порой бывает чересчур лаконичен или нестроен. Интерес к сочинениям Г. возник в III в. н. э. Греческие, а затем византийские и арабские ученики комментировали и переводили его произведения.

Диофант – греческий ученый в III век н.э., не прибегая к геометрии, чисто алгебраическим путем решал некоторые квадратные уравнения, причем само уравнение и его решение записывал в символической форме

1. Из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, т.к. если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100.

2. Т.о. одно из них будет больше половины их суммы, т.е. 10 + x, другое же меньше, т.е. 10 – х.

3. Разность между ними 2х.

4. Отсюда уравнение (10 + x ) * (10 – x ) = 96

100 – х 2 = 96 х 2 – 4 = 0

5. Ответ x = 2 . Одно из искомых чисел равно 12,
другое - 8.

Диофант умел решать очень сложные уравнения, применял для неизвестных буквенные обозначения, ввёл специальный символ для вычисления, использовал сокращения слов.

Бхаскаре – Акариа – индийский математик в XII век н.э. открыл общий метод решения квадратных уравнений.

Разберём одну из задач индийских математиков, например, задачу Бхаскары:

Комментируя задачу, хочется сказать, что задаче соответствует уравнение (х/8) 2 + 12 = x . Бхаскара пишет под видом x 2 – 64х = - 768. Прибавляя к обеим частям квадрат 32, уравнение примет вид:

x 2 – 64 x + 32 2 = - 768 + 1024

После извлечения квадратного корня получаем: x – 32 =16.

Необходимо сделать вывод: решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений.

Предлагается решить старинную индийскую задачу Бхаскары:

Следует заметить, что данная задача решается элементарно, сводясь к квадратному уравнению.

В трактате Хорезми насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:

Используя 4-ю формулу аль – Хорезми, ученики должны записать: х 2 + 21 = 10х

Франсуа Виет — французский мате-матик, сформулировал и доказал теорему о сумме и произведении корней приведённого квадратного уравнения.

Искусство, которое я излагаю, ново или по крайней мере было настолько испорчено временем искажено влиянием варваров, что я счел нужным придать ему совершенно новый вид.

иет Франсуа (1540-13.12. 1603) родился в городе Фонтене ле-Конт провинции Пуату, недалеко от знаменитой крепости Ла-Ро-шель. Получив юридическое образование, он с девятнадцати лет успешно занимался адвокатской практикой в родном городе. Как адвокат Виет пользовался у населения авторитетом и уважением. Он был широко образованным человеком. Знал астрономию и математику и все свободное время отдавал этим наукам.

Главной страстью Виета была математика. Он глубоко изучил сочинения классиков Архимеда и Диофанта, ближайших предшественников Кардано, Бомбелли, Стевина и других. Виета они не только восхищали, в них он видел большой изъян, заключающийся в трудности понимания из-за словесной символики: Почти все действия и знаки записывались словами, не было намека на те удобные, почти автоматические правила, которыми мы сейчас пользуемся. Нельзя было записывать и, следовательно, начать в общем виде алгебраические сравнения или какие-нибудь другие алгебраические выражения. Каждый вид уравнения с числовыми коэффициентами решался по особому правилу. Поэтому необходимо было доказать, что существуют такие общие действия над всеми числами, которые от этих самих чисел не зависят. Виет и его последователи установи, что не имеет значения, будет ли рассматриваемое число количеством предметов или длиной отрезка. Главное, что с этими числами можно производить алгебраические действия и в результате снова получать числа того же рода. Значит, их можно обозначать какими-либо отвлеченными знаками. Виет это и сделал. Он не только ввел свое буквенное исчисление, но сделал принципиально новое открытий, поставив перед собой цель изучать не числа, а действия над ними. Такой способ записи позволил Виету сделать важные открытия при изучении общих свойств алгебраических уравнений. Не случайно за это Виета называют "отцом" алгебры, основоположником буквенной символики.

Квадратные уравнения

Содержание

Определение квадратного уравнения

Но, а если говорить языком математики, то это такое уравнение, которое выглядит так:

где a, b, c — какие-нибудь числа (a ≠ 0), x — неизвестное.

Числа, которые имеются в квадратном уравнении, называются коэффициентами этого квадратного уравнения:

• a – является первым коэффициентом квадратного уравнения;
• b – выступает в роли второго коэффициента;
• c - называют его свободным членом.

В целом, если рассматривать квадратное уравнение, которое имеет вид:

То можно увидеть, что в данное квадратное уравнение с его левой стороны имеет полный набор членов, где присутствует икс в квадрате с коэффициентом a, также икс в первой степени с коэффициентом b, ну и свободный член c.

Квадратные уравнения со всеми тремя слагаемыми называются полными.

Они имеют такой вид:

Но если, к примеру, взять коэффициент b, который равен 0, то получается, что у нас пропадает икс в первой степени. Или же c равняется нулю, то тогда наше уравнение остается без свободного члена.

Из выше сказанного делаем вывод, что перед нами квадратное уравнение, где нету коэффициента или свободного члена. Такие квадратные уравнения, у которых чего-то не достает, принято называть неполными квадратными уравнениями.

Так, уравнения с нулевым коэффициентом b или c будут неполными квадратными уравнениями следующего вида, например:

Если же в квадратном уравнении старший коэффициент равняется единице, то такое уравнение носит название приведенного квадратного уравнения.

Способы решения квадратных уравнений

Зачем уметь решать квадратные уравнения

На протяжении изучения всего курса алгебры в школе, изучению уравнений отводится больше часов, чем на какие-либо другие темы по математике. А задумывались ли вы, почему так? Просто, умение решать уравнения имеет не только огромное значение для досконального знания математики и естественных законов, но эти знания пригодятся вам и в практических целях.

Ведь в повседневном реальном мире придется сталкиваться с различными проблемами, где никак не обойтись без решения различных видов уравнений. Обучившись их решать и овладев их способами решения, в дальнейшем вы сможете легко найти ответы в любой области науки и техники.

А умение понимать и решать квадратные уравнения, является фундаментом к освоению знаний математических наук.

История возникновения и развития квадратных уравнений

Потребность в умении решать уравнения возникла еще в глубокой древности, при этом уже тогда люди вычисляли уравнения не только 1-й степени, но и 2-й. Это было продиктовано потребностью человека научиться вычислять площади земельных участков, а также делать шаги в сторону развития таких наук, как астрономия, физика, математика и т.д.

Первыми умельцами в разрешении квадратных уравнений можно назвать жителей Вавилона. Они их научились решать еще 4000 лет до н.э. Естественно, что правила решения квадратных уравнений в вавилонских текстах далеко отличались от современных, но по существу они близки. В вавилонских трактатах не было понятия отрицательного числа, да и общие методы их решения кардинально отличались.

Также пользовался решением квадратных уравнений и древнеиндийский математик Баудхаяма.

Немного позднее изучением этого важного математического вопроса с квадратными уравнениями занялись и такие ученые, как Ньютон, Франсуа Виет, Рене Декарт и другие известные математики.

Применение квадратных уравнений в современной жизни

И если древний человек уже тогда применял для решения жизненных вопросов квадратные уравнения, то через столько лет изучения этого вопроса, их значение нисколько не уменьшилось, а даже наоборот увеличилось. Давайте с вами поразмыслим, где же теперь нашли применение квадратные уравнения, если не брать во внимание их изучение в школах и различных ВУЗах.

Изучая тему квадратных уравнений, мы как-то не задумывались о том, что квадратные уравнения имеют широкое практическое применение.

Без квадратных уравнений не обойтись при различных расчетах. Их можно использовать при строительстве, чтобы выяснить траекторию движения планет, в самолетостроении. Важны арифметические расчеты и в спорте.

Работа продолжит формирование умений применять теоретические знания на практике при решении квадратных уравнений.

Описание разработки

Цель урока:

продолжить формирование умений применять теоретические знания на практике при решении квадратных уравнений;

развивать мыслительную деятельность в процессе решения задач;

воспитывать чувство ответственности.

Ход урока.

I. Оргмомент.

Сегодня на уроке мы продолжим решение квадратных уравнений по формуле, решение задач с помощью квадратных уравнений; составление квадратного уравнения по его корням; а также выполним самостоятельную работу, чтобы проверить насколько хорошо вы умеете решать квадратные уравнения.

II. Устная и полуустная работа.

Дайте определение квадратного уравнения.

Назовите виды квадратных уравнений.

Что значит решить уравнение?

Как определить имеет ли квадратное уравнение корни?

назовите формулу корней квадратного уравнения.

Сформируйте теорему Виета.

Сформулируйте утверждение, обратное теореме Виета.

2) На доске записаны двадцать уравнений. Учащиеся получают карточки, на каждой из которых по 3 уравнения. Каждое уравнение имеет свой порядковый номер. Кто выполнил одно из заданий выходит к доске и записывает ответ. Одновременно в таблице находит букву соответствующую ответу и записывает рядом с ответом.

На дополнительной доске записаны уравнения – дополнительные задания для учащихся, которые заканчивают каждый вид работы раньше:

2) (4x+5) 2 =5x 2 +4x

3) (3x-5) 2 -(2x+4) 2 =(x+3) 2

4) (8x-1) (3x+5) -(2x-1) (8x+6) =33x+53

III. Историческая справка о квадратных уравнениях (подготовлена учеником).

Необходимость решать квадратные уравнения еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики.

Квадратные уравнения вавилоняне умели решать еще около 2000 лет до н. э. правило решения этих уравнений, изложенное в Вавилонских текстах, совпадает по существу с современными, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила.

Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в”Книге абака”, написанной в 1202 году итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и Германии, Франции и других странах Европы.

Но общее правило решения квадратных уравнений, при всевозможных комбинациях коэффициентов b и c было сформулировано в Европе лишь в 1544 году М. Штифелем.

IV. Фронтальная работа с классом.

1. Решим задачу с помощью квадратного уравнения №651.

Спортивная площадка площадью 1800м 2 имеет форму прямоугольника, длина которого на 5м больше ширины. Найдите размеры площадки.

Пусть Xм ширина площадки, тогда x+5м ее длина. По условию задачи площадь спортивной площадки равна 1800м 2 .

Составим и решим уравнение.

X₁=-45 (не удовлетворяет условию задачи)

X₂=40 (м) – ширина участка.

40+5=45(м) – длина участка.

Ответ: 40м и 45м.

2. Пользуясь теоремой, обратной теореме Виета, составьте квадратное уравнение имеющее корни 6 и -1.

x 2 -5x-6=0 – искомое уравнение.

V. Самостоятельная работа (разноуровневые задания).

Решение квадратных уравнений по карточкам-тестам (Приложение №1).

Учащиеся решают квадратные уравнения в тетради, затем находят правильные ответ в тестах подчеркивают его.

VI. Подведение итогов урока.

Читайте также: