Как правильно оформить решение дробно рациональных уравнений

Обновлено: 03.05.2024

Первым этапом решения уравнения является приведение его к нужному виду с помощью разрешенных преобразований.

1. Любое слагаемое в уравнении можно перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный. Это относится как к числам:

$ 2x+1=2 \\ 2x=2-1 \\ 2x=1 $

Так и к выражениям, содержащим переменные:

2. Можно умножать и делить левую и правую части уравнения на одно и то же ненулевое число или выражение (при умножении на ноль уравнение теряет смысл; а делить на ноль нельзя). Умножение помогает избавиться от знаменателей:

$ \frac+2=\frac \big| \cdot 15 \\ 3x+30=10 $

А деление – уменьшить коэффициент в уравнении:

3. Можно раскрывать скобки и упрощать выражения в обеих частях:

Рациональные уравнения

Уравнение называется рациональным, если содержит переменную в целой степени, например, 1, 2, -5. Чаще всего встречаются следующие типы рациональных уравнений:

4. Уравнения высших степеней

Линейные уравнения

Линейным называется уравнение, содержащее переменную в первой степени. С помощью преобразований его можно привести к виду

$ ax=b, $ где $ a \neq 0, b $ ‒ некоторые числа.

Для решения достаточно поделить обе части равенства на $ a $:

1. Приведем выражение к виду $ ax=b $. Для этого раскроем скобки и соберем слагаемые, содержащие переменные, с одной стороны равенства, а не содержащие – с другой.

$ 3x-15-5=-x \rightarrow 3x-20=-x \rightarrow 3x-20+x=0 \rightarrow 4x-20=0 \rightarrow 4x=20 $

2. Разделим обе части равенства на коэффициент при x.

$ 4x=20 \rightarrow x=5 $

Уравнение будет линейным, даже если в нем присутствуют дроби. Главное, чтобы переменной не было в знаменателе. Рассмотрим еще один пример:

1. Умножим обе части равенства на общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, чтобы избавиться от дробей.

$ \frac -1= \frac \big| \cdot 6 \rightarrow 2x-6=15 $

2. Приведем выражение к виду $ ax=b $.

3. Разделим обе части равенства на коэффициент при x.

Квадратные уравнения

Квадратным называется уравнение, содержащее переменную во второй степени. В общем виде оно выглядит следующим образом:

$ ax^ + bx+с=0, $ где $ a \neq 0, b, c $ – некоторые числа.

Корни уравнения можно определить с помощью дискриминанта $ D=b^-4ac $ по

Если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет один корень. Если же дискриминант меньше нуля, то корней нет.

1. Преобразуем уравнение к стандартному виду, перенеся все слагаемые в левую часть:

2. Определим дискриминант полученного уравнения:

$ D=1^ -4 \cdot 1 \cdot (-6)=25=5^ $

3. С помощью дискриминанта найдем корни по формулам:

В некоторых случаях (например, $ a=1 $ ) корни проще искать по теореме Виета, решая подбором систему уравнений:

Применим эту теорему для нахождения корней уравнения $ x^-5x+6=0 $

1. Составим систему:

$ \begin x_ \cdot x_ = 6 \\ x_ + x_ = 5 \end $

2. Подберем $ x_, x_ $ так, чтобы оба равенства выполнялись. В данном случае подходят числа $ x_=2,x_=3 $ .

Кубические уравнения

Общий вид уравнения третьей степени представлен ниже:

$ ax^+bx^+cx+d=0 $, где $ a \neq 0, b, c, d $ - некоторые числа.

Целые корни такого уравнения (в случае, если коэффициенты тоже целые) находятся среди делителей свободного члена $ d $.

У уравнения $ x^ -3x^-4x+12=0 $ свободный член $ d=12 $. Его делителями являются числа $ \pm 1, \pm2, \pm 3, \pm 4 $. Для того, чтобы определить, какие из этих чисел являются решениями, подставим их по очереди в исходное уравнение. Если при этом получится верное равенство, то поздравляю, вы нашли корень.

Проверим: $ x=1:-1-3+4+12=12 \neq 0 $. Не является корнем.

Возможна ситуация, когда ни один из делителей корнем не будет. В таком случае говорят, что исходное уравнение не имеет целых решений.

После того, как будет определено хотя бы одно решение, можно понизить степень уравнения, превратив его в квадратное. Для этого разделим столбиком исходное уравнение на выражение $ (x-a) $, где $ a $ – корень.

Алгоритм деления многочлена на многочлен столбиком.

1. Упрощаем выражение и переносим все слагаемые влево.

2. Записываем выражения как для деления в столбик:

3. Определяем выражение, на которое нужно умножить старший коэффициент в делителе, чтобы получить старший коэффициент в делимом. В данном примере это $ x^$.

$ \_x^-3x^-4x+12| \underline \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\quad x^ $

$ \_x^-3x^-4x+12| \underline \\ \underline\qquad\qquad\quad x^ \\ \qquad -x^-4x $

5. Повторяем процедуру до тех пор, пока не получим разность, равную 0.

$ \_x^-3x^-4x+12| \underline \\ \underline\qquad\qquad\quad x^-x-6 \\ \qquad \_-x^-4x \\ \qquad\quad -x^+2x \\ \qquad\qquad\qquad \_-6x+12 \\ \qquad\qquad\qquad\quad \underline \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\quad\quad 0 $

6. -Проверяем ответ. Произведение частного и делителя должно совпасть с делимым.

Корни квадратного уравнения $ x^-x-6=0 $ можно определить с помощью дискриминанта или по теореме Виета.

$ \beginx_ \cdot x_ = -6 \\ x_ + x_ = 1 \end \\ \beginx_ = 3 \\ x_ = 2 \end$

Значит, уравнение $ x^-3x^-4x+12=0 $ имеет три решения: $ x=-2, x=2, x=3 $.

Как действовать в частном случае, когда $ b=c=0 $, рассмотрим в следующем разделе.

Уравнения высших степеней

В таком уравнении переменная может содержаться в любой степени. Рассмотрим пример:

1. Соберем слагаемые, содержащие переменную с одной стороны, а не содержащие – с другой:

2. Упростим уравнение с помощью разрешенных преобразований:

3. Извлечем корень 3 степени из обеих частей равенства. Обратите внимание, что в данном случае не важно, какой знак имеет число, так как степень нечетная.

Точно так же можно решить уравнение с любой, даже самой страшной, степенью.

4. Разделим обе части уравнения на 2. Чтобы уравнение имело решения, необходимо, чтобы справа стояло неотрицательное число, так как степень переменной четная.

5. Извлечем корень 8 степени из обеих частей равенства. В силу четности степени, уравнение будет иметь два решения:

Дробно-рациональные уравнения

Данный тип уравнений отличается тем, что содержит в знаменателе выражение с переменной. Поэтому может возникнуть опасная ситуация – переменная примет такое значение, что знаменатель обратиться в ноль. Чтобы этого не произошло, заранее исключим из рассмотрения нули знаменателя и определим область допустимых значений:

$ \frac = \frac \\ \beginx-2 \neq 0\\x+4 \neq 0\end \\ \beginx \neq 2\\x \neq -4\end $

То есть решением данного уравнения может быть любое число кроме 2 и -4.

Алгоритм решения дробно-рационального уравнения рассмотрим на примере:

1. Определим область допустимых значений:

$ \beginx-5 \neq 0\\x \neq 0 \\ x(x-5) \neq 0\end \\ \beginx \neq 5\\ x \neq 0\end$

2. Умножим обе части равенства на общий знаменатель всех дробей и сократим одинаковые выражения в числителе и знаменателе там, где это возможно:

3. Упрощаем уравнение с помощью разрешенных преобразований:

$ x^-3x+x-5=x+5 \rightarrow x^-2x-5-x-5=0 \rightarrow x^-3x-10=0 $

4. Определяем тип получившегося уравнения (линейное, квадратное или кубическое) и решаем подходящим методом. В данном случае получилось квадратное уравнение, причем коэффициент при $ x^ $ равен 1. Значит, удобно использовать теорему Виета:

Подходит пара чисел -2 и 5.

5. Исключаем те значения корней, которые обращают в ноль знаменатель, то есть не входят в область допустимых значений (ОДЗ).

Рациональные уравнения — это уравнения, содержащие в себе рациональные выражения.

Рациональными выражениями при этом являются выражения, которые возможно записать в виде обыкновенной дроби вида $\frac$, при этом $m$ и $n$ — целые числа и $n$ не может быть равно нулю. К рациональным выражениям относятся не только выражения, содержащие дроби вида $\frac$, но и выражения, содержащие только целые числа, так как любое целое число можно представить в виде неправильной дроби.

Теперь рассмотрим более подробно, что же такое рациональные уравнения.

Как мы уже упомянули выше, рациональные уравнения — это уравнения, содержащие в себе рациональные выражения и переменные.

Соответственно тому, на каком именно месте стоит переменная в рациональном уравнении, оно может быть либо дробным рациональным уравнением, либо целым рациональным уравнением.

Дробные уравнения могут содержать дробь с переменной только в какой-то одной части уравнения, тогда как целые уравнения не содержат дробных выражений с переменной.

Целые рациональные уравнения примеры: $5x+2= 12$; $3y=-7(-4y + 5)$; $7a-14=256$.

Дробно-рациональные уравнения примеры: $\frac+\frac=\frac$; $\frac=5$;

Стоит отметить, что дробно-рациональными уравнениями называются только уравнения, содержащие дробь в знаменателе, так как уравнения, содержащие дробные выражения без переменных, легко сводятся к линейным целым уравнениям.

Как решать рациональные уравнения?

В зависимости от того, имеете ли вы дело с целым рациональным уравнением или с дробным, применяются несколько разные алгоритмы для решения.

Алгоритм решения целых рациональных уравнений

1. В начале необходимо определить наименьший общий знаменатель для всего равенства.
2. Затем нужно определить множители, на которые нужно домножить каждый член равенства.
3. Следующий этап — приведение к общему знаменателю всего равенства.
4. Наконец, осуществление поиска корней полученного целого рационального равенства.

Готовые работы на аналогичную тему

Сначала найдём общий множитель — в данном случае это число $4$. Для того чтобы избавиться от знаменателя, домножим левую часть на $\frac$, получаем:

$10x+18=x$ — полученное уравнение является линейным, его корень $x=-2$.

Как решать дробно-рациональные уравнения?

В случае с дробными рациональными уравнениями порядок решения похож на алгоритм для решения целых рациональных, то есть сохраняются пункты 1-4, но после нахождения предполагаемых корней в случае использования неравносильных преобразований корни требуется проверить, подставив в уравнение.

Решите дробно-рациональное уравнение: $\frac+\frac=\frac$

Для того чтобы привести дробь к общему знаменателю, здесь это $x \cdot (x-5)$, домножим каждую дробь на единицу, представленную в виде необходимого для приведения к общему знаменателю множителя:

Теперь, когда вся дробь имеет общий знаменатель, от него можно избавиться:

Воспользуемся теоремой Виета для решения получившегося квадратного уравнения:

$\begin x_1 + x_2 = 3 \\ x_1 \cdot x_2 = -10 \\ \end$

Так как преобразование, использовавшееся для упрощения уравнения, не является равносильным, полученные корни необходимо проверить в исходном уравнении, для этого подставим их:

$\frac=\frac$ — следовательно, корень $x_2=-2$ — верный.

Здесь сразу видно, что в знаменателе образуется нуль, следовательно, корень $x_1=5$ — посторонний.

Необходимо помнить, что в случае, если уравнение, содержащее в левой или правой части выражение вида $\frac$ равно нулю, равен нулю может быть только числитель дроби. Это происходит из-за того, что, если где-то в знаменателе образуется нуль, проверяемый корень не является корнем уравнения, так как всё равенство теряет смысл в этом случае. Корни, приводящие знаменатель к нулю, называются посторонними.

В случае если дробно-рациональное уравнение имеет довольно сложную форму, для его дальнейшего упрощения и решения возможно использовать замену части уравнения на новую переменную, наверняка вы уже видели примеры таких дробно-рациональных уравнений:

Для упрощения решения введём переменную $t= x^2+3x$:

Общий знаменатель здесь $5 \cdot (t-3)(t+1)$, домножим на необходимые множители все части уравнения чтобы избавиться от него:

Через дискриминант вычислим корни:

Так как мы использовали неравносильные преобразования, необходимо проверить полученные корни в знаменателе, они должны удовлетворять условию $5(t-3)(t+1)≠0$. Оба корня соответствуют этому условию.

Теперь подставим полученные корни вместо $t$ и получим два уравнения:

По теореме Виета корни первого уравнения $x_1=-4; x_2=1$, корни второго же вычислим через дискриминант и имеем $x_=\frac>>$.

Все корни уравнения составят: $x_1=-4; x_2=1, x_=\frac>>$.

Преобразования для упрощения формы уравнения

Как вы уже могли увидеть выше, для решения рациональных уравнений используют различные преобразования.

Различают преобразования уравнений двух видов: равносильные (тождественные) и неравносильные.

Преобразования называются равносильными, если они приводят к уравнению нового вида, корни которого такие же, как у первоначального.

Тождественные преобразования, которые можно использовать для изменения вида первоначального уравнения без каких-либо проверок в дальнейшем, следующие:

• Умножение или деление всего уравнения на какое-либо число, отличное от нуля;
• Перенос частей уравнения из левой части в правую и наоборот.

Неравносильными преобразованиями называются преобразования, в ходе которых могут появиться посторонние корни. К неравносильным преобразованиям относят:

• Возведение обеих частей уравнения в квадрат;
• Избавление от знаменателей, содержащих переменную;

Корни рациональных уравнений, решённых с помощью неравносильных преобразований, необходимо проверять подстановкой в исходное уравнение, так как при неравносильных преобразованиях могут появиться посторонние корни. Не всегда неравносильные преобразования приводят к появлению посторонних корней, но всё же необходимо это учитывать.

Решение рациональных уравнений со степенями больше двух

Наиболее часто используемыми методами для решения уравнений со степенями больше двух являются метод замены переменной, рассмотренный нами выше на примере дробно-рационального уравнения, а также метод разложения на множители.

Рассмотрим более подробно метод разложения на множители.

Пусть дано уравнение вида $P(x)= 0$, при этом $P(x)$ — многочлен, степень которого больше двух. Если данное уравнение возможно разложить на множители так, что оно принимает вид $P_1(x)P_2(x)P_3(x)..\cdot P_n(x)=0$, то решением данного уравнения будет множество решений уравнений $P_1(x)=0, P_2(x)=0, P_3(x)=0. P_n(x)=0$.

Решите уравнение: $x^3+2x^2+3x+6=0$

Вынесем общие множители:

После разложения на множители нужно решить уравнения $x+2=0$ и $x^2+3=0$. Корень первого $x=-2$, второе уравнение корней не имеет, поэтому $x=-2$ — в данном случае окончательный ответ.

Уравнения, в которых коэффициент при переменной со старшей степенью равен единице, называются приведёнными.

Для приведённых уравнений справедливо следующее:

Если такое уравнение с целыми коэффициентами при переменных имеет рациональный корень, то этот корень непременно является целым числом.

Благодаря такому свойству этих уравнений их можно решать перебором целых делителей свободного члена.

Для тех, кто не помнит: свободный член уравнения — это член уравнений, не содержащий при себе в качестве множителя переменную. При этом найдя один из корней такого уравнения, его можно использовать для дальнейшего разложения уравнения на множители.

Делителями свободного члена будут числа $±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12$ и $±24$. При их проверке подходящим корнем оказался $x=2$. Это значит, что данный многочлен можно разложить с использованием этого корня: $(x-2)(x^2+6+12)=0$.

Многочлен во второй паре скобок корней не имеет корней, значит, единственным корнем данного уравнения будет $x=2$.

Другим типом уравнений со степенью больше двух являются биквадратные уравнения вида $ax^4+bx^2+ c=0$. Такие уравнения решаются путём замены $x^2$ на $y$, применив её, получаем уравнение вида $ay^2+y+c=0$, а после этого полученное значение новой переменной используют для вычисления исходной переменной.

Также существует ещё один тип уравнений, называемый возвратным. Такие уравнения выглядят так: $ax^4+bx^3+cx^2+bx+a=0$. Такое название они имеют из-за повторения коэффициентов при старших степенях и младших.

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Выбранный для просмотра документ открытый урок.doc

МОУ «Ракитянская средняя общеобразовательная школа № 3

Урок алгебры

Тип урока: Закрепление знаний и способов действий

Формы работы: Парная, индивидуальная, групповая

Оборудование: 1. Презентация урока

2. Тексты заданий к проверке домашнего задания, работе

в группах, рефлекия

3. Оценочный лист

4. Открытки – мозаика

Способствовать выработке умений и навыков решать дробные рациональные уравнения, созданию условий для взаимоконтроля, самоконтроля усвоения знаний и умений;

способствовать закреплению навыка решения линейных уравнений и квадратных уравнений по формуле;

применять приемы: обобщения, сравнения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию, развитию математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти;

содействовать воспитанию интереса к математике, активности, организованности, умения общаться, любви к родному краю.

Организационный момент

Ребята, сегодня урок алгебры буду вести я. Меня зовут Светлана Николаевна. Я надеюсь, что урок пройдет в теплой дружеской атмосфере и мы, не смотря на все трудности, вместе добьемся цели.

«Уравнение – это золотой ключ,

открывающий все математические

И вы наверное поняли, чтобы проникнуть во все математические сезамы, необходимо научиться решать уравнения.

1. Закрепление решения дробных рациональных уравнений, попутно повторить решение квадратных и линейных уравнений.

Я предлагаю следующую последовательность урока:

1. На этапе проверки домашнего задания проведем тестирование по теории и практике.

2. Актуализация знаний пройдет в форме фронтального опроса.

3. Затем Вас ожидает разноуровневая самостоятельная работа.

4. Итогом урока является оформление оценочного листа и выставление полученных Вами оценок.

Проверка домашнего задания.

Для проверки домашнего задания я предлагаю вам ТЕСТ, в котором вы проверите себя по основным правилам. (работа в парах). Каждой паре предлагается 1 задание. Букву правильного ответа вписываем на доске в таблицу.

а) 64; 0,25; - 4; 7; 1.

Укажите квадратное уравнение, записанное в стандартном виде:

а) ах 2 + b х + с = 0;

б) b х + ах 2 + с = 0.

3. Назовите коэффициенты квадратного уравнения 5х 2 – 13х + 9 = 0

х) a = 5 , b = - 13 , c = 9

б) a = 5 , b = 9 , c = - 13

4. Правильно ли составлено уравнение, у которого первый коэффициент

3, второй коэффициент (- 5), свободный член 17:

б) - 5х 2 + 3х + 17 = 0;

а) 3х 2 – 5х + 17 = 0

5. Какое из уравнений является дробным рациональным:

6. Каков общий знаменатель у дробей: и

а) (х + 2); б) (х – 2); н) (х + 2) (х – 2)

7. Какова область допустимых значений выражения

8. Каковы корни уравнения х (х + 4) = 0

б) х = 0 и х = 4; я) х = 0 и х = - 4.

Задания при проверке показывают на экране.

Актуализация опорных знаний

Памятка для решения дробных рациональных уравнений

Алгоритм решения дробных рациональных уравнений

Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение.

Задать ОДЗ (область допустимых значений). Для этого приравнять знаменатель к нулю и решить полученное уравнение.

Умножить обе части уравнения на общий знаменатель.

Найти дополнительные множители к дробям.

Решить получившееся целое уравнение.

Исключить из корней те, которые обращают общий знаменатель в нуль.

В. Для вычисления квадратов чисел от 10 до 99 какой таблицей будем пользоваться?

О. Таблицей квадратов натуральных чисел, которая находится на форзаце учебника

Работа в группах

У вас на столе находятся карточки с заданиями разных уровней: красный цвет – 5; зеленый – 4; желтый – 3. Вы выбираете сами себе уравнение. Решаете его самостоятельно. Можно в группе решить уравнение и другого уровня. Итог этой работы заключается в следующем: группой решить все уравнения и по ответам собрать свою мозаику. Приклеить ее на лист. Т.к. вы работаете в группах, то друг другу помогаете и по ответам, полученным при решении уравнений вы должны собрать мозаику, где обозначены пейзажи нашего поселка.

Карточка 1 (красная)

Карточка 2 (зеленая)

Карточка 3 (желтая)

Домашнее задание: п.24, повторить п.21, № 595 (а) – 1вариант, (б) – 2 вариант, № 641 (а, б) по вариантам, № 665 *

(МУЗЫКА В РЕФЛЕКСИИ)

Какие фотографии у вас получились я прошу прикрепить их на доску. Подводя итог этой проделанной работе я хотела бы напомнить вам о той дате, которую мы будем праздновать 9 Мая и Желаю вам быть патриотами Родины и настоящими гражданами России.

Подведем итог своей деятельности.

Учащиеся подсчитывают количество баллов и поставьте оценку в оценочный лист. Эти листы сдается учителю.

Урок подходит к концу. Спасибо огромное за работу. Мне было легко работать с вами. А что вы можете сказать об уроке, о вашем состоянии на уроке? Прошу найти на столе карточки с рефлексией и назвать одним предложением ваше настроение. Достигли ли мы целей урока, все ли было понятно, и т.д. (по 1 ученику от группы)

Я успеваю улыбнуться

Сколько слов и надежд

Давайте горевать и плакать откровенно

Ой, как хорошо, хоть песни пой

Доволен я своей судьбой

Неприятность эту мы переживём

Ах, зачем же этот день кончается

Не надо зла таить

Всё пока ещё в полном порядке

Кап-кап-кап из глаз на платье

Проверка домашнего задания

Работа по карточкам

Выбранный для просмотра документ презентация.ppt

Описание презентации по отдельным слайдам:

2 слайд

3 слайд

3. Выпишите коэффициенты квадратного уравнения 5х2 – 13х + 9 = 0 х) a = 5, b = - 13, c = 9 б) a = 5, b = 9, c = - 13 4. Правильно ли составлено уравнение, у которого первый коэффициент 3, второй коэффициент ( - 5), свободный член 17: б) - 5х2 + 3х + 17 = 0; а) 3х2 – 5х + 17 = 0

4 слайд

5. Какое из уравнений является дробным рациональным: а) р) . 6. Каков общий знаменатель у дробей: и а) (х + 2); б) (х – 2); н) (х + 2) (х – 2)

5 слайд

7. Какова область допустимых значений выражения а) х ≠ 0 б) х ≠ 0 и х ≠ 2 8. Каковы корни уравнения х (х + 4) = 0 б) х = 0 и х = 4; я) х = 0 и х = - 4.

6 слайд

АЛГОРИТМ Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение. Задать ОДЗ (область допустимых значений). Для этого приравнять знаменатель к нулю и решить полученное уравнение. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель. Найти дополнительные множители к дробям. Решить получившееся целое уравнение. Исключить из корней те, которые обращают общий знаменатель в нуль.

7 слайд

Групповая работа красный цвет – 5; зеленый – 4; желтый – 3.

9 слайд

Рефлексия Я успеваю улыбнуться Сколько слов и надежд Давайте горевать и плакать откровенно Ой, как хорошо, хоть песни пой Доволен я своей судьбой Неприятность эту мы переживём Ах, зачем же этот день кончается Не надо зла таить Всё пока ещё в полном порядке Кап-кап-кап из глаз на платье

10 слайд

Пожелания друзьям Желаю вам цвести, расти, Копить, крепить здоровье, Оно для дальнего пути Главнейшее условие. Пусть каждый день и каждый час Вам новое добудет, Пусть добрым будет ум у вас, И сердце умным будет. Вам от души желаю я, Друзья, всего хорошего. А все хорошее, друзья, Дается нам недешево. С. Маршак

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

• подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
• по всем предметам 1-11 классов

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• ЗП до 91 000 руб.
• Гибкий график
• Удаленная работа

"Описание материала:

Эпиграф урока настроил учащихся на рабочий лад, ребятам объяснен ход проведения урока. Работа учащихся оценивалась в количественном балле, которые выставлялись в оценочные листы в течение всего урока. Проверка домашнего задания осуществлялась в форме тестов (парная форма работы) (задания всем предоставлены индивидуальные). Актуализация опорных знаний была проведена в форме устного опроса по памяткам решения дробных рациональных уравнений. Закрепление знаний, умений и навыков учащихся проводится в групповой форме. Учащимся были предложены дифференцированные задания, они выбирали себе их самостоятельно.

Если правильно решены уравнения, то по ответам получается пейзаж поселка Ракитное. (Реализация цели: любовь к родному краю). На этапе подведения итогов урока учащиеся сами оценили свой труд на уроке (шкала перевода баллов была представлена в презентации). В оценочный лист выставлены оценки.

где f(x) и g(x) — рациональные выражения, хотя бы одно из которых содержит алгебраическую дробь (то есть в таких уравнениях в знаменателе есть переменная).

В общем виде дробно-рациональные уравнения решают по следующей схеме:

1) Все слагаемые переносим в одну сторону.

2) Дроби приводим к НОЗ (наименьшему общему знаменателю).

3) После упрощения решаем уравнение типа «дробь равна нулю«.

В частных случаях дробно-рациональные уравнения могут быть решены с помощью замены переменной либо разложением на множители.

Начнем с рассмотрения примеров общего случая.

Решить дробно-рациональные уравнения:

Переносим все слагаемые в левую часть уравнения и приводим дроби к наименьшему общему знаменателю:

Находим значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль, и исключаем их из области допустимых значений:

Теперь находим значения переменных, при которых числитель обращается в нуль:

Это — квадратное уравнение. Его корни

Оба корня удовлетворяют условиям x≠2, x≠ -4.Ответ: 5; -6.

Переносим все слагаемые в одну сторону и приводим дроби к наименьшему общему знаменателю:

— при этих значениях переменной знаменатель обращается в нуль, поэтому их исключаем из ОДЗ.

Из двух корней квадратного уравнения

— второй не входит в ОДЗ. Поэтому в ответ включаем лишь первый корень.

Переносим все слагаемые в одну сторону и приводим дроби к НОЗ:

Значение переменной, при котором знаменатель обращается в нуль, исключаем из ОДЗ:

— частный случай линейного уравнения. Оно имеет бесконечное множество решений: какое бы число мы не подставили вместо x, получим верное числовое равенство. Единственное значение x, который не входит в множество решений данного уравнения — 3.

Ответ: x — любое число, кроме 3.

Переносим все слагаемые в левую часть и приводим дроби к наименьшему общему знаменателю:

— при этих значениях переменной дробь не имеет смысла, поскольку знаменатель обращается в нуль.

Первым этапом решения уравнения является приведение его к нужному виду с помощью разрешенных преобразований.

1. Любое слагаемое в уравнении можно перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный. Это относится как к числам:

$ 2x+1=2 \\ 2x=2-1 \\ 2x=1 $

Так и к выражениям, содержащим переменные:

2. Можно умножать и делить левую и правую части уравнения на одно и то же ненулевое число или выражение (при умножении на ноль уравнение теряет смысл; а делить на ноль нельзя). Умножение помогает избавиться от знаменателей:

$ \frac+2=\frac \big| \cdot 15 \\ 3x+30=10 $

А деление – уменьшить коэффициент в уравнении:

3. Можно раскрывать скобки и упрощать выражения в обеих частях:

Рациональные уравнения

Уравнение называется рациональным, если содержит переменную в целой степени, например, 1, 2, -5. Чаще всего встречаются следующие типы рациональных уравнений:

4. Уравнения высших степеней

Линейные уравнения

Линейным называется уравнение, содержащее переменную в первой степени. С помощью преобразований его можно привести к виду

$ ax=b, $ где $ a \neq 0, b $ ‒ некоторые числа.

Для решения достаточно поделить обе части равенства на $ a $:

1. Приведем выражение к виду $ ax=b $. Для этого раскроем скобки и соберем слагаемые, содержащие переменные, с одной стороны равенства, а не содержащие – с другой.

$ 3x-15-5=-x \rightarrow 3x-20=-x \rightarrow 3x-20+x=0 \rightarrow 4x-20=0 \rightarrow 4x=20 $

2. Разделим обе части равенства на коэффициент при x.

$ 4x=20 \rightarrow x=5 $

Уравнение будет линейным, даже если в нем присутствуют дроби. Главное, чтобы переменной не было в знаменателе. Рассмотрим еще один пример:

1. Умножим обе части равенства на общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, чтобы избавиться от дробей.

$ \frac -1= \frac \big| \cdot 6 \rightarrow 2x-6=15 $

2. Приведем выражение к виду $ ax=b $.

3. Разделим обе части равенства на коэффициент при x.

Квадратные уравнения

Квадратным называется уравнение, содержащее переменную во второй степени. В общем виде оно выглядит следующим образом:

$ ax^ + bx+с=0, $ где $ a \neq 0, b, c $ – некоторые числа.

Корни уравнения можно определить с помощью дискриминанта $ D=b^-4ac $ по

Если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет один корень. Если же дискриминант меньше нуля, то корней нет.

1. Преобразуем уравнение к стандартному виду, перенеся все слагаемые в левую часть:

2. Определим дискриминант полученного уравнения:

$ D=1^ -4 \cdot 1 \cdot (-6)=25=5^ $

3. С помощью дискриминанта найдем корни по формулам:

В некоторых случаях (например, $ a=1 $ ) корни проще искать по теореме Виета, решая подбором систему уравнений:

Применим эту теорему для нахождения корней уравнения $ x^-5x+6=0 $

1. Составим систему:

$ \begin x_ \cdot x_ = 6 \\ x_ + x_ = 5 \end $

2. Подберем $ x_, x_ $ так, чтобы оба равенства выполнялись. В данном случае подходят числа $ x_=2,x_=3 $ .

Кубические уравнения

Общий вид уравнения третьей степени представлен ниже:

$ ax^+bx^+cx+d=0 $, где $ a \neq 0, b, c, d $ - некоторые числа.

Целые корни такого уравнения (в случае, если коэффициенты тоже целые) находятся среди делителей свободного члена $ d $.

У уравнения $ x^ -3x^-4x+12=0 $ свободный член $ d=12 $. Его делителями являются числа $ \pm 1, \pm2, \pm 3, \pm 4 $. Для того, чтобы определить, какие из этих чисел являются решениями, подставим их по очереди в исходное уравнение. Если при этом получится верное равенство, то поздравляю, вы нашли корень.

Проверим: $ x=1:-1-3+4+12=12 \neq 0 $. Не является корнем.

Возможна ситуация, когда ни один из делителей корнем не будет. В таком случае говорят, что исходное уравнение не имеет целых решений.

После того, как будет определено хотя бы одно решение, можно понизить степень уравнения, превратив его в квадратное. Для этого разделим столбиком исходное уравнение на выражение $ (x-a) $, где $ a $ – корень.

Алгоритм деления многочлена на многочлен столбиком.

1. Упрощаем выражение и переносим все слагаемые влево.

2. Записываем выражения как для деления в столбик:

3. Определяем выражение, на которое нужно умножить старший коэффициент в делителе, чтобы получить старший коэффициент в делимом. В данном примере это $ x^$.

$ \_x^-3x^-4x+12| \underline \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\quad x^ $

$ \_x^-3x^-4x+12| \underline \\ \underline\qquad\qquad\quad x^ \\ \qquad -x^-4x $

5. Повторяем процедуру до тех пор, пока не получим разность, равную 0.

$ \_x^-3x^-4x+12| \underline \\ \underline\qquad\qquad\quad x^-x-6 \\ \qquad \_-x^-4x \\ \qquad\quad -x^+2x \\ \qquad\qquad\qquad \_-6x+12 \\ \qquad\qquad\qquad\quad \underline \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\quad\quad 0 $

6. -Проверяем ответ. Произведение частного и делителя должно совпасть с делимым.

Корни квадратного уравнения $ x^-x-6=0 $ можно определить с помощью дискриминанта или по теореме Виета.

$ \beginx_ \cdot x_ = -6 \\ x_ + x_ = 1 \end \\ \beginx_ = 3 \\ x_ = 2 \end$

Значит, уравнение $ x^-3x^-4x+12=0 $ имеет три решения: $ x=-2, x=2, x=3 $.

Как действовать в частном случае, когда $ b=c=0 $, рассмотрим в следующем разделе.

Уравнения высших степеней

В таком уравнении переменная может содержаться в любой степени. Рассмотрим пример:

1. Соберем слагаемые, содержащие переменную с одной стороны, а не содержащие – с другой:

2. Упростим уравнение с помощью разрешенных преобразований:

3. Извлечем корень 3 степени из обеих частей равенства. Обратите внимание, что в данном случае не важно, какой знак имеет число, так как степень нечетная.

Точно так же можно решить уравнение с любой, даже самой страшной, степенью.

4. Разделим обе части уравнения на 2. Чтобы уравнение имело решения, необходимо, чтобы справа стояло неотрицательное число, так как степень переменной четная.

5. Извлечем корень 8 степени из обеих частей равенства. В силу четности степени, уравнение будет иметь два решения:

Дробно-рациональные уравнения

Данный тип уравнений отличается тем, что содержит в знаменателе выражение с переменной. Поэтому может возникнуть опасная ситуация – переменная примет такое значение, что знаменатель обратиться в ноль. Чтобы этого не произошло, заранее исключим из рассмотрения нули знаменателя и определим область допустимых значений:

$ \frac = \frac \\ \beginx-2 \neq 0\\x+4 \neq 0\end \\ \beginx \neq 2\\x \neq -4\end $

То есть решением данного уравнения может быть любое число кроме 2 и -4.

Алгоритм решения дробно-рационального уравнения рассмотрим на примере:

1. Определим область допустимых значений:

$ \beginx-5 \neq 0\\x \neq 0 \\ x(x-5) \neq 0\end \\ \beginx \neq 5\\ x \neq 0\end$

2. Умножим обе части равенства на общий знаменатель всех дробей и сократим одинаковые выражения в числителе и знаменателе там, где это возможно:

3. Упрощаем уравнение с помощью разрешенных преобразований:

$ x^-3x+x-5=x+5 \rightarrow x^-2x-5-x-5=0 \rightarrow x^-3x-10=0 $

4. Определяем тип получившегося уравнения (линейное, квадратное или кубическое) и решаем подходящим методом. В данном случае получилось квадратное уравнение, причем коэффициент при $ x^ $ равен 1. Значит, удобно использовать теорему Виета:

Подходит пара чисел -2 и 5.

5. Исключаем те значения корней, которые обращают в ноль знаменатель, то есть не входят в область допустимых значений (ОДЗ).

Читайте также:

  
• Напишите историческую справку по одному из видов спорта
  
• Что означает обезличивание персональных данных в договоре
  
• Нормативные правовые акты устанавливающие виды поощрения муниципального служащего
  
• Как оформить школьное место ребенку
  
• Срок регистрации договора водопользования в государственном водном реестре