Паспорт конуса что это

где функция " width="" height="" />
является для любого действительного числа α .

Развёртка

Развёртка прямого кругового конуса

Прямой круговой конус как h — высота конуса от центра основания до вершины — является r — радиус в основании конуса. l — образующая конуса.

В создании r и l . Радиус основания r определяет в развертке круг основания конуса, а l , являющаяся радиусом в φ = 360°·(r/l) .

С имеющимися и полученными значениями можно нарисовать Вариации и обобщения

Дорожные конусы встречаются повсеместно на дорогах и улицах городов, потому что вряд ли есть столь же удобный и недорогой альтернативный способ организации временной и постоянной разметки в самых разных случаях.

Изготовленные из различных полимерных составов, пластиковые конусы легко разместить на любой поверхности – асфальт, плитка, грунт, газон. Использование специальных инструментов и техники не потребуется. Коническая форма удобна для хранения, ведь полые внутри конусы можно штабелировать. Отсутствие углов – это безопасность для людей и для автомобилей. Опять же геометрическая форма конуса обеспечивает устойчивость конструкции. Максимально просто и максимально функционально – вот что можно сказать про дорожные конусы.

Определение и элементы конуса

Под конусом понимают тело, состоящее из круга и точки, которая удалена от его поверхности на определённое расстояние.

При этом точка соединяется с основанием посредством проведения лучей, которые называются образующими. Линия, соединяющая центр круга с удалённой точкой, является высотой данной фигуры.

Обратите внимание!

Также существует такое понятие, как ось конуса. Это линия, проходящая через его центр и совпадающая с высотой. Образующие строятся относительно оси.

Хотелось бы рассмотреть ещё несколько понятий по этой теме:

1. Под конусностью понимают отношение диаметра основания фигуры и её высоты:

Конусность отвечает за угол наклона образующих. Чем больше данный параметр, тем острее угол.

2. Осевое сечение предполагает наличие плоскости, которая будет рассекать фигуру, проходя через ось:

3. Касательная— это плоскость, которая соприкасается с образующей конуса. При этом важно, чтобы она была перпендикулярна осевому сечению.

Наклонное сечение конуса

ЦЕЛЬ И ПОСТАНОВКА ЗАДАНИЯ. Чтобы научиться строить наклонное сечение конуса, внимательно изучите последовательность построения, а затем сделайте рисунок сечения конуса наклонными плоскостями.

РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ЗАДАНИЯ

Сечение конуса наклонной плоскостью, параллельной одной образующей его боковой поверхности, – парабола, если же секущая плоскость рассекает все образующие, в сечении получается эллипс. Рассмотрите ортогональную проекцию такого сечения на рис. 5.173. Обратите внимание, что центр эллипса сечения не лежит на оси вращения конуса (в отличие от цилиндра) – это хорошо видно на ортогональной проекции (рис. 5.174). С этим связаны некоторые различия в построении наклонного сечения конуса и цилиндра. Однако эти построения во многом схожи, поэтому сечение конуса представлено менее подробно и в меньшем количестве рисунков-стадий.

Начните рисунок наклонного сечения конуса с построения вспомогательных вертикальных сечений, проходящих через вертикальную ось конуса. Вспомогательное сечение 7 перпендикулярно наклонной секущей плоскости (рис. 5.175). Линия пересечения этого вспомогательного сечения с наклонной плоскостью – прямая а – фиксирует продольные габариты эллипса (точки А и В). Середина отрезка АВ – точка О – центр эллипса сечения. Вспомогательное сечение 2 перпендикулярно сечению 7 (рис. 5.176). Линия пересечения наклонной секущей плоскости со вспомогательной плоскостью

2 – прямая b – фиксирует точки С и D, через которые проходит эллипс сечения. Однако точки С и D не задают поперечных габаритов эллипса сечения. Чтобы найти эти габариты необходимо еще одно – третье вспомогательное сечение. Вспомогательное сечение 3 перпендикулярно первому и второму сечению и проходит параллельно основанию конуса через точку О (рис. 5.177). Линия пересечения наклонной секущей плоскости со вспомогательной плоскостью – прямая с – фиксирует поперечные габариты эллипса сечения – точки Е и F. Для более точного построения эллипса проведите через точки А. В, Е и F дополнительные линии, как бы описывая вокруг будущего эллипса прямоугольник. Теперь впишите в этот прямоугольник эллипс, который должен касаться сторон прямоугольника в точках А, В, Е и F, проходить через точки С и D, а также касаться образующих конуса (рис. 5.178).

Как правило, в рисунке каждый выбирает сам, какое количество точек для построения эллипса сечения является достаточным. Для начинающего может быть необходимо построить все перечисленные точки, опытному рисовальщику достаточно двух точек, определяющих продольные габариты. Для закрепления пройденного материала постройте еще одно наклонное сечение конуса (рис. 5.179).

Как и в сечении цилиндра, эллипс наклонного сечения конуса будет изображаться на перспективном рисунке как эллипс. Однако следует заметить, что на вашем рисунке его оси (как и в цилиндре) не совпадают с осями, определяемыми габаритными точками. Это хорошо видно на примере сечения конуса, изображенного на рис. 5.180. Оси, относительно которых эллипс симметричен на перспективном рисунке, выделены толстой линией.

Свойства кругового конуса

Выделяют несколько особенностей, которыми обладает фигура данного типа:

1. Образующие кругового конуса равны друг другу.
2. Чтобы найти центр тяжести фигуры, нужно её высоту поделить на четыре части.
3. Место пересечения плоскости сечения и основы образует параболу. Если через вершину тела провести плоскость сечения, то получится равнобедренный треугольник.

Интересный факт!

Если вращать прямоугольный треугольник вокруг одного из катетов, то получится конус. При этом важно, чтобы угол вращения был не менее 360 градусов.

Размеры, мм

Внутренние конусы

Для конусов с лапкой

Для конусов с резьбовым отверстием

1. ГОСТ предусматривает размеры и для конусов инструментальных наружных.

Объём усечённого конуса

Это часть прямого конуса, которая находится в пространстве между основой и плоскостью, параллельной этому основанию. В общем виде выглядит следующим образом:

Объём данного тела можно вычислить по формуле:

Важно! S и S1 это площади соответствующих основ, которые равняются ПR2 и ПR12 При нахождении этих значений поможет онлайн калькулятор.

Виды дорожных конусов

Литые конусы из пластика – чем они вообще могут различаться, кроме расцветок? На самом деле различия есть, их немало.

Прежде всего конусы отличаются размером. Можно выделить 3 группы в зависимости от высоты:

• Небольшие конусы высотой 320 мм. Чаще всего их используют для направления потоков людей, обозначения зон, где проход запрещен и других случаев, где обычно не задействован транспорт.
• Средние конусы – 520 мм. Служат для разграничения парковочных площадок и дорог.
• Большие конусы – от 750 мм. Удобны для крупногабаритного транспорта и техники.

Самый ходовой размер конуса, который повсеместно используется в городах – 520 мм. Конусы такой высоты одинаково удобны для автомобилей и пешеходов. Именно такие конусы производит НПС-Автоматика. Продукция полностью соответствует ГОСТу, имеет паспорт и сертификат качества. В ассортименте представлены оранжевые конусы без полос, с белыми и светоотражающими наклейками.

• Конусы без контрастных полос. В основном используются на парковках, а также их можно увидеть на концертах и фестивалях, в парках и других общественных местах.
• Конусы с белыми полосами. Количество полос будет зависеть от размера – у конусов высотой 520 мм их две. Наклейки создают контраст, повышают видимость конусов для водителей.
• Конусы со светоотражающими полосами. Отличаются повышенной видимостью в темное время суток, незаменимы для обозначения и ограничения опасных зон.

Различаются конусы также степенью упругости. Важная характеристика, которая напрямую влияет на срок их службы.

• Мягкие конусы отличаются устойчивостью к ударам и деформациям, способны возвращать исходную форму в случае наезда, не повреждают кузов и детали автомобиля. Идеальны для использования в условиях большого количества машин, например, на парковках. Также незаменимы для учебных площадок автошкол, где наезд на дорожные конусы происходит постоянно.
• Жёсткие конусы имеют более плотную структуру, устойчивы к ударам, однако в случае деформации уже не способны к восстановлению исходной формы. На практике срок их службы короче, чем у гибких аналогов, однако неоспоримыми преимуществами являются низкая цена и легкий вес конструкции.

Площадь усечённого конуса

Для нахождения данного параметра нужно воспользоваться формулами:

• площади боковой поверхности усечённого конуса Sбок;
• полной площади усечённой фигуры Sпол, которая равна сумме площадей двух оснований и площади боковой поверхности:

Здесь l — длина образующей, а R и r — радиусы большего и меньшего оснований соответственно.

Виды тел вращения. Цилиндр, конус, усеченный конус.

Цилиндр — фигура, которая получается путем врашения прямоугольника вокруг одной из его сторон.

1. Круги называются основаниями цилиндра, а отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей кругов, — образующими цилиндра.

2. Основания цилиндра равны и лежат в параллельных плоскостях. У цилиндра образующие параллельны и равны.

3. Цилиндр называется прямым, если его образующие перпендикулярны плоскостям оснований.

4. Радиусом цилиндра называется радиус его основания.

5. Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями оснований.

6. Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центры оснований.

7. Сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось цилиндра, называется осевым сечением.

8. Равностороний цилиндр – цилиндр у которого образующая равна диаметру основания.

Конус – фигура, которая получается путем вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов.

КатетаSO, называемого осью конуса, S называется вершиной конуса. Круг с центром O и радиусом OA называется основанием конуса. Отрезок, соединяющий вершину конуса с какой-нибудь точкой окружности основания, называется образующей конуса. На чертеже SA – образующая конуса. Радиус основания конуса называется радиусом конуса.Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из вершины конуса на его основание. Осевым сечением конуса называется сечение конуса плоскостью, проходящей через его высоту.

Равностороний конус – это конус осевое сечение которого есть равностороний треугольник.

где R-радиус основания,
l-
длина образующей.

V=1/3 Sосн.h=1/3 πR2h

Усеченный конус — называется часть конуса, ограниченная его основанием и сечением, плоскость которого параллельна плоскости основания.Образующая и высота усеченного конуса являются частями образующей и высоты полного конуса.

Боковая поверхность усеченного конуса Sб = π(R + r)l,

где R и r – радиусы оснований,
l
– образующая конуса.

Полная поверхность находится по формуле

Sп = π(Rl + rl + R2 + r2).

Площади поверхностей тел вращения

Цилиндр

Теорема.Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности его основания на высоту (Sбок.=2πRh )

Док-во

Пусть Рnи Hсоответственно периметр основания и высота вписаной в цилиндр правильной n-угольной призмы. Тогда площадь боковой поверхности этой призмы равна Sбок=PnH. Предположим, что nнеограниченно растет, тогда периметр Pnстремится к длине окружности C=2πR, а H- неизменяется. Таким образом площадь боковой поверхности призмы стремится кчислу 2πRH, т.е. к площади боковой поверхности цилиндра.

Конус

Теорема.Площадь боковой поверхности конуса равно произведению половины длины окружности основания на длину образующей (Sбок.=πRl,

где R-радиус основания,
l-
длина образующей).

Док-во

Пусть Pn и l-

соответственно периметр основания и длина апофемы правильной n-угольной пирамиды вписанной в конус. Площадь боковой поверхности этой пирамиды равна
Sбок.пов.=Pnl,
предположим что n увеличивается неограниченно сверху. Тогда периметр Pn стремится к длине окружности 2πR, а длина апофемы к длине образующей конуса. Значит площадь боковой поверхности вписанной пирамиды стремится к
πRl
, т.е. к площади боковой поверхности конуса.

Усеченный конус

Боковая поверхность усеченного конуса Sб = π(R + r)l,

где R и r – радиусы оснований,
l
– образующая конуса.

Полная поверхность находится по формуле

Sп = π(Rl + rl + R2 + r2).

Объемы тел вращения.

Объем цилиндра

Объем цилиндра равен произведению площади его основания на высоту. V=πR2H

Док-во

Пусть Snи Hсоответственно площадь основания и высота вписаной в цилиндр правильной n-угольной призмы. Тогда объем этой призмы равен Vn=SnH. Предположим, что nнеограниченно растет, тогда Snстремится к площади окружности S=πR2, а H- неизменяется. Таким объем призмы стремится кчислу πR2H, т.е. к объему цилиндра.

Объем конуса

Объем конуса равен одной третьи произведения площади основания конуса на его высоту.V=1/3 Sосн.h=1/3 πR2h

Док-во

Пусть Sn и h-

соответственно площадь основания и высота правильной n-угольной пирамиды вписанной в конус. Объем этой пирамиды равна
V=nh,
предположим что n увеличивается неограниченно сверху. Тогда площадьSn стремится к площади окружности πR2, а h-высота остается неизменной. Значит объем вписанной пирамиды стремится к 1/3 πR2h, т.е. к объему конуса.

Объем усеченного конуса

Объем шара

V= R3

Размеры и допуски углов наружных и внутренних конусов

* Размер для справок.

** Z — базорасстояние конуса задает­ся в стандартах на конкретную про­дукцию

1 — основная плоскость; 2 — базовая плоскость

конуса ATDпо ГОСТ 8908

Условное обозначение конусов по ГОСТ 15945 с добавлением степени точности конуса:

Конус 50 АТ5 ГОСТ 15945-82

Предельные отклонения базорасстояния конуса Z следует выбирать из ряда: ± 0,4; ± 0,2; ± 0,1; ± 0,05мм.

Так как все образующие конуса равны, то его осевым сечением является равнобедренный треугольник, боковыми сторонами которого являются образующие конуса, а основанием — диаметр конуса. При этом все осевые сечения конуса — равные равнобедренные треугольники . На рисунке 168 осевым сечением конуса является треугольник ABP ( АР = ВР ). Угол АPВ называют углом при вершине осевого сечения конуса .

Конус, в осевом сечении которого правильный треугольник, называется равносторонним конусом.

Если секущая плоскость проходит через вершину конуса, пересекает конус, но не проходит через его ось, то в сечении конуса также получается равнобедренный треугольник (см. рис. 168: △ DCP ).

Так как конус — тело вращения, то любое сечение конуса плоскостью, перпендикулярной его оси (т. е. параллельной основанию конуса), есть круг, а сечение боковой поверхности конуса такой плоскостью — окружность этого круга; центром круга (окружности) является точка пересечения оси конуса и секущей плоскости (рис. 169).

Если секущая плоскость не параллельна плоскости основания конуса и не пересекает основание, то сечением боковой поверхности конуса такой плоскостью является эллипс (рис. 170). Поэтому эллипс называют коническим сечением .

Если сечением цилиндрической поверхности плоскостью может быть либо окружность, либо эллипс, либо две параллельные прямые, то сечением конической поверхности плоскостью может быть либо окружность (секущая плоскость перпендикулярна оси конической поверхности вращения и не проходит через её вершину, рис. 171, a ), либо эллипс (секущая плоскость не перпендикулярна оси конической поверхности и пересекает все её образующие, рис. 171, б ), либо парабола (секущая плоскость параллельна только одной образующей конической поверхности, рис. 171, в ), либо гипербола (секущая плоскость параллельна оси конической поверхности, рис. 171, г ), либо пара пересекающихся прямых (секущая плоскость проходит через вершину конической поверхности, рис. 171, д ). Поэтому невырожденные кривые второго порядка — окружность, эллипс, параболу и гиперболу называют коническими сечениями или коротко — кониками .

 ЗАДАЧА (3.047). Высота конуса равна радиусу R его основания. Через вершину конуса проведена плоскость, отсекающая от окружности основания дугу: а) в 60 ° ; б) в 90 ° . Найти площадь сечения.

Решени е. Рассмотрим случай а). Пусть плоскость α пересекает поверхность конуса с вершиной Р по образующим РА и РВ (рис. 172); △ АВР — искомое сечение. Найдём площадь этого сечения.

Хорда АВ окружности основания стягивает дугу в 60 ° , значит, △ AOB — правильный и АВ = R .

Если точка С — середина стороны АB, то отрезок PC — высота треугольника АВР. Поэтому S △ ABP = АВ • РC. Имеем: ОР = R (по условию); в △ A OB : ОС = ; в △ ОСР : CP = = .

Тогда S △ ABP = АВ • РС = .

Ответ: а) .

18.3. Касательная плоскость к конусу

Определение. Касательной плоскостью к конусу называется плоскость, проходящая через образующую конуса перпендикулярно осевому сечению, проведённому через эту образующую.

Говорят, что плоскость α касается конуса по образующей РА (рис. 173): каждая точка образующей РА является точкой касания плоскости α и данного конуса.

Через любую точку боковой поверхности конуса проходит только одна его образующая. Через эту образующую можно провести только одно осевое сечение и только одну плоскость, перпендикулярную плоскости этого осевого сечения. Следовательно, через каждую точку боковой поверхности конуса можно провести лишь одну плоскость, касательную к данному конусу в этой точке.

18.4. Изображение конуса

Для изображения конуса достаточно построить: 1) эллипс, изображающий окружность основания конуса (рис. 174); 2) центр О этого эллипса; 3) отрезок ОР, изображающий высоту конуса; 4) касательные прямые РА и PB из точки Р к эллипсу (их проводят с помощью линейки на глаз).

Для достижения наглядности изображения невидимые линии изображают штрихами.

Необходимо заметить, что отрезок АВ, соединяющий точки касания образующих и окружности основания конуса, ни в коем случае не является диаметром основания конуса, т. е. этот отрезок не содержит центра О эллипса. Следовательно, △ АBP — не осевое сечение конуса. Осевым сечением конуса является △ ACP, где отрезок AC проходит через точку О, но образующая PC не является касательной к окружности основания.

18.5. Развёртка и площадь поверхности конуса

Пусть l — длина образующей, R — радиус основания конуса с вершиной Р .

Поверхность конуса состоит из боковой поверхности конуса и его основания. Если эту поверхность разрезать по одной из образующих, например по образующей PA (рис. 175), и по окружности основания, затем боковую поверхность конуса развернуть на плоскости (рис. 176, a ), то получим развёртку поверхности конуса (рис. 176, б ), состоящую из: а) кругового сектора, радиус которого равен образующей l конуса, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса; б) круга, радиус которого равен радиусу R основания конуса. Угол сектора развёртки боковой поверхности конуса называют углом развёртки конуса ; его численная величина равна отношению длины окружности основания конуса к его образующей (радиусу сектора развёртки):

α = .

За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь её развёртки. Выразим площадь боковой поверхности конуса через длину l его образующей и радиус R основания.

Площадь боковой поверхности — площадь кругового сектора радиуса длины l — вычисляется по формуле

S бок = α • l 2 , (1)

где α — величина угла (в радианах) сектора — развёртки. Учитывая, что α = , получаем:

Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема 27. Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую. ▼

Площадь полной поверхности конуса равна сумме площадей его боковой поверхности и основания, т. е.

S кон = π Rl + π R 2 . (3)

Следствие. Пусть конус образован вращением пря м оугольного треугольника ABC вокруг катета АС (рис. 177). Тогда S бок = π • BC • АВ. Если D — середина отрезка АВ, то AB = 2 AD, поэтому

S бок = 2 π ВС • AD. (4)

Проведём DE ⟂ АB ( E ∈ l = AС ) . Из подобия прямоугольных треугольников ADE и ACB (у них общий угол А ) имеем

= ⇒ BC • AD = DE • АС. (5)

Тогда соотношение (4) принимает вид

S бок = (2 π • DE ) • AC, (6)

т. е. площадь боковой поверхности конуса равна произведению высоты конуса на длину окружности, радиус которой равен длине серединного перпендикуляра, проведённого из точки на оси конуса к его образующей.

Это следствие будет использовано в п. 19.7.

18.6. Свойства параллельных сечений конуса

Теоремa 28. Если конус пересечён плоскостью, параллельной основанию, то: 1) все образующие и высота конуса делятся этой плоскостью на пропорциональные части; 2) в сечении получается круг; 3) площади сечения и основания относятся, как квадраты их расстояний от вершины.

Доказательств о. 1) Пусть конус с вершиной Р и основанием F пересечён плоскостью α , параллельной плоскости β основания конуса и расположенной между Р и β (рис. 178).

Проведём высоту РО конуса, где точка О — центр круга F. Так как РО ⟂ β , α || β , то α ⟂ РО. Значит, в сечении конуса плоскостью α получается круг с центром в точке O 1 = α ∩ РО. Обозначим этот круг F 1 .

Рассмотрим гомотетию с центром P, при которой плоскость β основания данного конуса отображается на параллельную ей плоскость α (при гомотетии плоскость, не проходящая через центр гомотетии, отображается на параллельную ей плоскость).

Так как при гомотетии её центр является неподвижной точкой, прямая, проходящая через центр гомотетии, отображается на себя, а пересечение двух фигур — на пересечение их образов, то гомотетия отображает основание F конуса на его параллельное сечение — круг F 1 , при этом центр О основания отображается на центр О 1 круга F 1 (почему?). Кроме того, если РХ — произвольная образующая конуса, где Х — точка окружности основания, то при гомотетии точка X отображается на точку X 1 = РX ∩ α . Учитывая, что отношение длин гомотетичных отрезков равно коэффициенту гомотетии, получаем:

= = k, (*)

где k — коэффициент гомотетии , т. е. параллельное сечение конуса делит его образующие и высоту на пропорциональные части.

А поскольку гомотетия является подобием, то круг F 1 , являющийся параллельным сечением конуса, подобен его основанию.

Вследствие того что отношение площадей гомотетичных фигур равно квадрату коэффициента гомотетии и k = PO 1 : Р О , где РO 1 и PO — расстояния соответственно параллельного сечения и основания пирамиды от её вершины, то

S сечен : S основ = k 2 = : PO 2 .

18.7. Вписанные в конус и описанные около конуса пирамиды

Определение. Пирамида называется вписанной в конус, если у них вершина общая, а основание пирамиды вписано в основание конуса. В этом случае конус называется описанным около пирамиды.

Для построения изображения правильной пирамиды, вписанной в конус:

— строят изображение основания пирамиды — правильного многоугольника, вписанного в основание конуса;

— соединяют отрезками прямых вершину конуса с вершинами построенного многоугольника;

— выделяют видимые и невидимые (штрихами) линии изображаемых фигур.

На рисунках 179—182 изображена вписанная в конус пирамида, в основаниях которой лежит:

Содержание

Связанные определения

• Отрезок, соединяющий вершину и границу основания, называется образующей конуса.
• Объединение образующих конуса называется образующей (или боковой) поверхностью конуса. Образующая поверхность конуса является конической поверхностью.
• Отрезок, опущенный перпендикулярно из вершины на плоскость основания (а также длина такого отрезка), называется высотой конуса.
• Угол раствора конуса — угол между двумя противоположными образующими (угол при вершине конуса, внутри конуса).
• Если основание конуса имеет центр симметрии (например, является кругом или эллипсом) и ортогональная проекция вершины конуса на плоскость основания совпадает с этим центром, то конус называется прямым. При этом прямая, соединяющая вершину и центр основания, называется осью конуса.
• Косой (наклонный) конус — конус, у которого ортогональная проекция вершины на основание не совпадает с его центром симметрии.
• Круговой конус — конус, основание которого является кругом.
• Прямой круговой конус (часто его называют просто конусом) можно получить вращением прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей катет (эта прямая представляет собой ось конуса).
• Конус, опирающийся на эллипс, параболу или гиперболу, называют соответственно эллиптическим, параболическим и гиперболическим конусом (последние два имеют бесконечный объём).
• Часть конуса, лежащая между основанием и плоскостью, параллельной основанию и находящейся между вершиной и основанием, называется усечённым конусом, или коническим слоем.

Свойства

• Если площадь основания конечна, то объём конуса также конечен и равен трети произведения высоты на площадь основания.

где S — площадь основания, H — высота. Таким образом, все конусы, опирающиеся на данное основание (конечной площади) и имеющие вершину, находящуюся на данной плоскости, параллельной основанию, имеют равный объём, поскольку их высоты равны.

где S₁ и S₂ — площади соответственно верхнего (ближнего к вершине) и нижнего оснований, h и H — расстояния от плоскости соответственно верхнего и нижнего основания до вершины.

• Пересечение плоскости с прямым круговым конусом является одним из конических сечений (в невырожденных случаях — эллипсом, параболой или гиперболой, в зависимости от положения секущей плоскости).

Уравнение конуса

Уравнения, задающие боковую поверхность прямого кругового конуса с углом раствора 2Θ , вершиной в начале координат и осью, совпадающей с осью Oz :

где константы a, с определяются пропорцией Отсюда видно, что боковая поверхность прямого кругового конуса представляет собой поверхность второго порядка (она носит название коническая поверхность). В общем виде коническая поверхность второго порядка опирается на эллипс; в подходящей декартовой координатной системе (оси Ох и Оу параллельны осям эллипса, вершина конуса совпадает с началом координат, центр эллипса лежит на оси Oz ) её уравнение имеет вид

причём a/c и b/c равны полуосям эллипса. В наиболее общем случае, когда конус опирается на произвольную плоскую поверхность, можно показать, что уравнение боковой поверхности конуса (с вершиной в начале координат) задаётся уравнением где функция является однородной, то есть удовлетворяющей условию для любого действительного числа α .

Развёртка

Прямой круговой конус как тело вращения образован прямоугольным треугольником, вращающимся вокруг одного из катетов, где h — высота конуса от центра основания до вершины — является катетом прямоугольного треугольника, вокруг которого происходит вращение. Второй катет прямоугольного треугольника r — радиус в основании конуса. Гипотенузой прямоугольного треугольника является l — образующая конуса.

В создании развёртки конуса могут использоваться всего две величины r и l . Радиус основания r определяет в развертке круг основания конуса, а сектор боковой поверхности конуса определяет образующая боковой поверхности l , являющаяся радиусом сектора боковой поверхности. Угол сектора в развёртке боковой поверхности конуса определяется по формуле:

φ = 360°·(r/l) .

С имеющимися и полученными значениями можно нарисовать развёртку конуса на бумаге или другом материале, чтобы из развёртки получить конус как наглядное пособие или промышленное изделие.

Вариации и обобщения

См. также

Литература

• Геометрические тела
• Алгебраическая геометрия

Wikimedia Foundation . 2010 .

Полезное

Смотреть что такое "Конус" в других словарях:

КОНУС — (лат. conus; греч. konos). Тело, ограниченное поверхностью, образующейся от обращения прямой, коей один конец неподвижен (вершина конуса), а другой двигается по окружности данной кривой; с виду похож на сахарную голову. Словарь иностранных слов,… … Словарь иностранных слов русского языка

КОНУС — муж. тело в виде сахарной головы, круглый клин: правильный конус образуется от обращенья прямоугольного треугольника вокруг одной из коротких сторон, как около оси; если конец неподвижного вверху отвеса обвести по окружности круга, то отвес… … Толковый словарь Даля

КОНУС — (лат. conus от греч. konos) (в элементарной геометрии), геометрическое тело, образованное вращением прямоугольного треугольника около одного из его катетов (рис.); объем конуса равен V=1/3?r2h, а площадь боковой поверхности S=?rl. Боковая… … Большой Энциклопедический словарь

КОНУС — КОНУС, в геометрии фигура, очерчиваемая линией, так называемой образующей, которая соединяет точку, движущуюся по замкнутой кривой на плоскости, с фиксированной точкой (вершиной) вне этой плоскости. В правильном круговом конусе вершина лежит… … Научно-технический энциклопедический словарь

КОНУС — КОНУС, конуса, муж. (греч. konos). 1. Геометрическое тело, создаваемое вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов (мат.). || Всякое физическое тело, близкое по форме геометрическому конусу. «Предо мной свой белый конус ты… … Толковый словарь Ушакова

КОНУС — (Cone) конус, поднимаемый на мачте в качестве сигнала вершиной вверх (одновременно ряд коротких сирен или пушечный выстрел). Этот сигнал может быть поднят каждым кораблем соединения и обозначает требование, чтобы все корабли, дав полный ход назад … Морской словарь

конус — шатер, горнитос, зандр, пролювий Словарь русских синонимов. конус сущ., кол во синонимов: 7 • горнитос (1) • зандр … Словарь синонимов

КОНУС — (1) в элементарной геометрии геометрическое тело, ограниченное поверхностью, образуемой движением прямой (образующей конуса) через неподвижную точку (вершину конуса) вдоль направляющей (основание конуса). Образуемая поверхность, заключённая между … Большая политехническая энциклопедия

КОНУС — КОНУС, а, муж. 1. Геометрическое тело, образованное вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. 2. Предмет такой формы. К. террикона. | прил. конусный, ая, ое. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова

КОНУС — пароструйный прибор, при помощи к рого создается искусственным путем вытяжка в атмосферу продуктов сгорания из дымовой коробки паровоза. К. представляет собой раструб, к рым заканчиваются паровыпускные трубы из цилиндров паровозной машины. Струя… … Технический железнодорожный словарь

Конус — (прямой круговой) геометрическое тело, образуемое вращениемпрямоугольного треугольника около одного из катетов. Гипотенузаназывается образующей; неподвижный катет высотой; круг, описываемыйвращающимся катетом основанием. Боковая поверхность К.… … Энциклопедия Брокгауза и Ефрона

Читайте также:

  
• Как найти депортированных родственников
  
• Как сменить фамилию в паспорте на девичью фамилию мамы
  
• Какие услуги предоставляет франция
  
• Имеют ли право дпс не пристегиваться
  
• Как отключить программное обеспечение на айфоне