Какие условия необходимы и достаточны для обеспечения равноускоренного вращения тела

Обновлено: 07.07.2024

1).\u041a\u0430\u043a\u043e\u0435 \u0434\u0432\u0438\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043d\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u044e\u0442 \u0440\u0430\u0432\u043d\u043e\u0443\u0441\u043a\u043e\u0440\u0435\u043d\u043d\u044b\u043c?

\u0420\u0430\u0432\u043d\u043e\u0443\u0441\u043a\u043e\u0440\u0435\u043d\u043d\u044b\u043c \u043d\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u044e\u0442 \u0434\u0432\u0438\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435, \u043f\u0440\u0438 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u043c \u0443\u0441\u043a\u043e\u0440\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u043d\u043d\u043e \u043f\u043e \u0432\u0435\u043b\u0438\u0447\u0438\u043d\u0435 \u0438 \u043f\u043e \u043d\u0430\u043f\u0440\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u044e.

2).\u0447\u0442\u043e \u0442\u0430\u043a\u043e\u0435 \u0443\u0441\u043a\u043e\u0440\u0435\u043d\u0438\u0435? 3).\u0447\u0442\u043e \u0445\u0430\u0440\u0430\u043a\u0442\u0435\u0440\u0438\u0437\u0443\u0435\u0442 \u0443\u0441\u043a\u043e\u0440\u0435\u043d\u0438\u0435?

\u0423\u0441\u043a\u043e\u0440\u0435\u043d\u0438\u0435 - \u044d\u0442\u043e \u0444\u0438\u0437\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0430\u044f \u0432\u0435\u043b\u0438\u0447\u0438\u043d\u0430, \u0445\u0430\u0440\u0430\u043a\u0442\u0435\u0440\u0438\u0437\u0443\u044e\u0449\u0430\u044f \u0431\u044b\u0441\u0442\u0440\u043e\u0442\u0443 \u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f \u0441\u043a\u043e\u0440\u043e\u0441\u0442\u0438

4).\u0432 \u043a\u0430\u043a\u0438\u0445 \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u044f\u0445 \u0443\u0441\u043a\u043e\u0440\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0440\u0430\u0432\u043d\u043e \u043d\u0443\u043b\u044e?

\u041a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0442\u0435\u043b\u043e \u043d\u0435\u043f\u043e\u0434\u0432\u0438\u0436\u043d\u043e, \u0438\u043b\u0438 \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u043d\u0438 \u0432\u0435\u043b\u0438\u0447\u0438\u043d\u0430 \u043d\u0438 \u043d\u0430\u043f\u0440\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 \u0441\u043a\u043e\u0440\u043e\u0441\u0442\u0438 \u043d\u0435 \u043c\u0435\u043d\u044f\u044e\u0442\u0441\u044f \u0441\u043e \u0432\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u0435\u043c .

5).\u043f\u043e \u043a\u0430\u043a\u043e\u0439 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0435 \u043d\u0430\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442\u0441\u044f \u0443\u0441\u043a\u043e\u0440\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0442\u0435\u043b\u0430 \u043f\u0440\u0438 \u0440\u0430\u0432\u043d\u043e\u0443\u0441\u043a\u043e\u0440\u0435\u043d\u043d\u043e\u043c \u0434\u0432\u0438\u0436\u0435\u043d\u0438\u0438 \u0438\u0437 \u0441\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u043d\u0438\u044f \u043f\u043e\u043a\u043e\u044f?

\u0412 \u043e\u0431\u0449\u0435\u043c \u0432\u0438\u0434\u0435 \u0443\u0441\u043a\u043e\u0440\u0435\u043d\u0438\u0435 a = (v-vo)\/t, \u0433\u0434\u0435 \u0430 - \u0443\u0441\u043a\u043e\u0440\u0435\u043d\u0438\u0435, v - \u0441\u043a\u043e\u0440\u043e\u0441\u0442\u044c \u0432 \u043c\u043e\u043c\u0435\u043d\u0442 \u0432\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u0438 t, vo - \u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u044c\u043d\u0430\u044f \u0441\u043a\u043e\u0440\u043e\u0441\u0442\u044c. \u041f\u0440\u0438 \u0434\u0432\u0438\u0436\u0435\u043d\u0438\u0438 \u0438\u0437 \u0441\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u043d\u0438\u044f \u043f\u043e\u043a\u043e\u044f, vo=0, \u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 a= v\/t

6).\u043f\u043e \u043a\u0430\u043a\u043e\u0439 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0435 \u043d\u0430\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442\u0441\u044f \u0443\u0441\u043a\u043e\u0440\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0442\u0435\u043b\u0430 \u043f\u0440\u0438 \u0443\u043c\u0435\u043d\u044c\u0448\u0435\u043d\u0438\u0438 \u0441\u043a\u043e\u0440\u043e\u0441\u0442\u0438 \u0434\u0432\u0438\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f \u0434\u043e \u043d\u0443\u043b\u044f?

\u0412 \u044d\u0442\u043e\u043c \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435, \u0443\u0436\u0435 v=0, \u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 a= -vo\/t, \u0438 \u0443\u0441\u043a\u043e\u0440\u0435\u043d\u0438\u044f \u043e\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u043f\u043e \u0432\u0435\u043b\u0438\u0447\u0438\u043d\u0435.

7) \u041a\u0430\u043a \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u044c\u043d\u043e \u0443\u0441\u043a\u043e\u0440\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0440\u0438 \u0440\u0430\u0432\u043d\u043e\u0443\u0441\u043a\u043e\u0440\u0435\u043d\u043d\u043e\u043c \u043f\u0440\u044f\u043c\u043e\u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u044b\u043c \u0434\u0432\u0438\u0436\u0435\u043d\u0438\u0438?

\u041f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u044c\u043d\u043e \u043d\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0442\u0430\u043a:

\u043f\u0440\u044f\u043c\u043e\u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u043e\u0435, \u0440\u0430\u0432\u043d\u043e\u0443\u0441\u043a\u043e\u0440\u0435\u043d\u043d\u043e\u0435 \u0434\u0432\u0438\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435.
">]" data-test="answer-box-list">

Движение с ускорением различных объектов окружает нас каждый день. Достаточно лишь вспомнить автомобили, самолеты, велосипеды, вращающиеся колеса и валы, чтобы понять всю важность ускоренного перемещения тел в жизни человека. Для описания этого движения в физике существует специальный раздел, он называется кинематикой. В данной статье рассмотрим, какими формулами описывается перемещение при равноускоренном движении.

Понятие об ускорении, скорости и пути

Прежде чем записывать формулы перемещения при равноускоренном движении, следует дать понятие основным величинам, которые в них фигурируют.

Начнем с пути. Под этой величиной понимают расстояние, которое проходит тело за интервал времени, двигаясь по известной траектории. Чем за более короткое время тело проходит некоторый путь L, тем больше его скорость. Таким образом, скоростью тела является быстрота преодоления им расстояний в пространстве. В данный момент времени расчет скорости выполняют по такой формуле:

Скорость - это вектор, а путь - скаляр. Скорость направлена вдоль касательной, восстановленной к данной точке траектории.

Если наблюдать за телом, движущимся вдоль траектории некоторое время, и в каждой точке траектории измерять его скорость, то окажется, что она постоянно меняется. Изменение скорости характеризуют ускорением. В соответствии с определением ускорения оно вычисляется так:

Ускорение также является величиной векторной, только с направлением скорости оно не имеет ничего общего. Вектор ускорения повернут в сторону изменения скорости за данное время или, что одно и то же, в сторону действующей на тело силы.

Равноускоренное движение в физике

Чтобы понять, что такое равноускоренное перемещение, приведем следующий пример: предположим, что автомобиль находился в покое. Затем он начал движение, постоянно увеличивая свою скорость. Если за равные промежутки времени прирост модуля скорости автомобиля был одинаковым, то можно говорить о равноускоренном движении тела. Иными словами, во время рассматриваемого вида перемещения ускорение является величиной постоянной (a = const).

Не стоит думать, что движение с постоянным ускорением может только увеличивать скорость. В результате такого перемещения скорость тела может также уменьшаться до полной его остановки. Такая ситуация возникает, когда транспортное средство осуществляет процесс торможения. В этом случае ускорение будет направлено против вектора скорости.

В природе распространенным движением с постоянным ускорением является падение тел. До определенных скоростей, когда сопротивлением воздуха можно пренебречь, свободное падения является равноускоренным, причем величина ускорения равна 9,81 м/с2.

Изменение скорости при движении с постоянным ускорением

В отличие от ускорения, скорость при равноускоренном движении постоянной величиной не является. Рассмотрим для простоты перемещение по прямой линии. В случае если вектора величин a¯ и v¯ совпадают, имеет место следующая формула для скорости:

Это выражение предполагает, что до появления ускорения тело уже обладало некоторой скоростью v0.

Данная формула показывает, что скорость линейно возрастает с течением времени. График функции v(t) представляет собой прямую линию, которая пересекает ось y на расстоянии v0 от начала координат.

При равноускоренном движении скорость также может уменьшаться линейно. Для этого необходимо, чтобы вектора ускорения и скорости были противоположными (торможение автомобиля, свободный взлет тела в высоту). Для этого случая можно записать такое выражение:

Как и в предыдущем случае, графиком равенства является прямая, только коэффициент ее наклона к оси x будет не положительным, а отрицательным.

Перемещение при равноускоренном движении

Формула пути однозначно получается, если взять интеграл по времени от скорости. В случае когда скорость тела увеличивается, для пути можно записать следующее выражение:

Видно, что графиком функции L(t) является парабола (ее правая ветвь). То есть пройденный путь с течением времени быстро увеличивается.

Если ускорение приводит к уменьшению скорости, тогда формула перемещения при равноускоренном движении примет вид:

Графиком для этого уравнения тоже будет парабола, однако ее ветвь постепенно приближается к некоторому постоянному значению. Последнее соответствует пройденному пути до остановки движущегося тела.

Движение с постоянным ускорением по окружности

Чтобы полнее охарактеризовать тему, следует также привести формулы перемещения при равноускоренном движении по окружности. В отличие от прямолинейного движения, этот вид перемещения описывается угловыми величинами. Тем не менее угловые величины являются полными аналогами соответствующих линейных характеристик.

Для скорости при равноускоренном движении вращения справедлива формула:

Здесь ω - скорость угловая, которая измеряется в радианах в секунду (рад/с), α - ускорение угловое, оно измеряется в рад/с2.

Аналогом пути для вращения является угол поворота θ. Для него справедлива формула:

Таким образом, при равноускоренном вращении формулы кинематики сохраняют свой вид, но в них стоят уже угловые физические величины.

Вопрос 12. Момент инерции тел.Теорема Штейнера.

Момент инерции - величина, характеризующая распределения масс в теле и являющаяся наряду с массой мерой инертности тела при непоступательном движении.

Момент инерции (I или J) – зависит от массы, и размеров тела, от выбора оси вращения.

Момент инерции материальной точки относительно оси вращения - произведение массы этой точки на квадрат расстояния от оси.

Момент инерции твердого тела - это велина, характеризующая распределение массы в теле и являющаяся мерой инертности тела при вращательном движении.

Формула момента инерции:

Единица измерения СИ: кг·м².

Обозначение: I или J.

Тело	Положение оси вращения	Момент инерции
Полый тонкостенный цилиндр радиуса R	Ось цилиндра	mR 2
Сплошной цилиндр (диск) радиуса R	Ось цилиндра	1/2mR 2
Шар радиуса R	Ось проходит через центр шара	2/5mR 2
Прямой тонкий стержень длины L	Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его середину	1/12mL 2
Прямой тонкий стержень длины L	Ось параллельна стержню	mR 2

Формулировка. Момент инерции относительно произвольной оси определяется как момент инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс + произведение массы тела на квадрат расстояния между данной осью и осью, проходящей через центр масс.

Вопрос 13. Момент силы. Момент импульса.

Момент силы — векторная физическая величина, равная векторному произведению радиус-вектора, (проведенного от оси вращения к точке приложения силы — по определению), на вектор этой силы. Характеризует вращательное действие силы на твёрдое тело.

Размерность - [Н⋅м] (Ньютон на метр) либо кратные значения [кН⋅м]

Если:
M — момент силы (Ньютон · метр),
F — Приложенная сила (Ньютон),
r — расстояние от центра вращения до места приложения силы (метр),
l — длина перпендикуляра, опущенного из центра вращения на линию действия силы (метр),
α — угол, между вектором силы F и вектором положения r,
То

2.	M= F·l= F·r·sin(α)

Моме́нт и́мпульса (кинетический момент, угловой момент, орбитальный момент, момент количества движения) характеризует количествовращательного движения. Величина, зависящая от того, сколько массы вращается, как она распределена относительно оси вращения и с какой скоростью происходит вращение.

Момент импульса материальной точки относительно некоторого начала отсчёта определяется векторным произведением её радиус-вектора иимпульса:

где — радиус-вектор, проведенный из точки O, — импульс материальной точки.

Твердое тело (ТТ)

Для нескольких частиц момент импульса определяется как (векторная) сумма таких членов:

где — радиус-вектор и импульс каждой частицы, входящей в систему, момент импульса которой определяется.

(В пределе количество частиц может быть бесконечным, например, в случае твердого тела с непрерывно распределенной массой или вообще распределенной системы это может быть записано как где — импульс бесконечно малого точечного элемента системы).

Частная формула для ТТ, если ось вращения неподвижна

, J – момент инерции, w – угловая скорость

Вопрос 14.Основной закон динамики вращательного движения.

Основной закон динамики вращательного движения можно получить из второго закона Ньютона для поступательного движения твердого тела

где F – сила, приложенная к телу массой m; а – линейное ускорение тела.

Если к твердому телу массой m в точке А (рис. 5) приложить силу F, то в результате жесткой связи между всеми материальными точками тела все они получат угловое ускорение и соответственные линейные ускорения, как если бы на каждую точку действовала сила . Для каждой материальной точки можно записать:

где m_i – масса i-й точки; – угловое ускорение; r_i – ее расстояние до оси вращения.

Умножая левую и правую части уравнения (1.7) на r_i, получают

где – момент силы – это произведение силы на ее плечо .

Плечом силы называют кратчайшее расстояние от оси вращения “ОО” (рис. 5) до линии действия силы .

Рис. 5. Твердое тело, вращающееся под

действием силы F около оси “ОО”

– момент инерции i-й материальной точки.

Выражение (1.8) можно записать так:

Просуммируем левую и правую части (1.9) по всем точкам тела:

Обозначим через М, а через J, тогда

Мгновенное значение углового ускорения , есть первая производная угловой скорости по времени , то есть

где – элементарное изменение угловой скорости тела за элементарный промежуток времени .

Если в выражение основного закона (1.10) поставить значение мгновенного ускорения (1.11), то

где – импульс момента силы – это произведение момента силы на промежуток времени .

– изменение момента импульса тела, – момент импульса тела есть произведение момента инерции J на угловую скорость , а есть .

Поэтому основной закон динамики вращательного движения твердого тела формулируется так: “Импульс момента силы , действующий на вращательное тело, равен изменению его момента импульса ”:

Вопрос 15.Энергетические характеристики при вращательном движении.

1) Работа.

Рассмотрим работу, совершаемую внешней силой при вращении твердого тела. Пусть сила направлена по касательной к окружности, по которой движется точка приложения силы. Тогда сила параллельна перемещению. Элементарная работа равна:

где - угловое перемещение, соответствующее движению по окружности радиуса ; - момент силы относительно оси . Так как направлении оси и угловой скорости совпадают, то

2) Энергия.

Если рассматриваем движение относительно мгновенной оси.

Выделяем движение центра масс и вращения относительно центра масс.

Полная кинетическая энергия тела равна сумме кинетической энергии поступательного движения его центра масс (центра инерции) и кинетической энергии вращательного движения тела относительно мгновенной оси)*, т.е

Вопрос 16.Момент импульса. Закон сохранения момента импульса. Закон сохранения механической энергии.

Зако́н сохране́ния моме́нта и́мпульса (закон сохранения углового момента) — один из фундаментальных законов сохранения. Математически выражается через векторную сумму всех моментов импульса относительно выбранной оси для замкнутой системы тел и остается постоянной, пока на систему не воздействуют внешние силы. В соответствии с этим момент импульса замкнутой системы в любой системе координат не изменяется со временем.

Закон сохранения момента импульса есть проявление изотропности пространства относительно поворота.

Если M=0,то = 0 => L = const.

M=0 – т.к условие сохранение момента импульсов (сумма моментов внешних сил равна = 0, моментов импульсов отдельных тел (частей тела)

В проекции на ось :

Вопрос 17.Описание движения в неинерциальной системе отсчета.Силы инерции. Запись 2-го закона Ньютона для материальной точки в НИСО.

Чтобы описать движение тел в неинерциальной системе отсчета, необходимо указать способ определения сил инерции. В инерциальной системе отсчета уравнение движения тела имеет вид . С учетом сил инерции в неинерциальной системе отсчета это уравнение примет вид . Отсюда . Разность ускорений равна ускорению, с которым неинерциальная система отсчета движется относительно инерциальной. Это ускорение иногда называют переносным. Таким образом, выражение для сил инерции в движущейся прямолинейно неинерциальной системе отсчета имеет вид , то есть сила инерции направлена противоположно переносному ускорению.

Силы инерции— силы,обусловленные ускоренным движением неинерциальной системы отсчета (НСО) относительно инерциальной системы отсчета (ИСО). Основной закон динамики для неинерциальных систем отсчета: , где
— сила, действующая на тело со стороны других тел;

— сила инерции, действующая на тело относительно поступательно движущейся НСО. — ускорение НСО относительно ИСО. Она появляется, например, в самолете при разгоне на взлетной полосе;

— центробежная сила инерции, действующая на тело относительно вращающейся НСО. — угловая скорость НСО относительно ИСО, — расстояние от тела до центра вращения;

— кориолисова сила инерции, действующая на тело, движущееся со скоростью относительно вращающейся НСО. — угловая скорость НСО относительно ИСО (вектор направлен вдоль оси вращения в соответствии с правилом правого винта).

Второй закон Ньютона будет выглядеть так:

где a I – ускорение тела относительно неинерциальной системы отсчёта .

где - сумма реальных сил, действующих на тело

ПРИМЕР: Лифт . a _{относительно лифта} = 0

Вопрос 22.Основные положения молекулярно-кинетической теории газа. Основное уравнение МКТ.Давление газа с точки зрения МКТ.Молекулярно-кинетичекий смысл температуры.

Основные положения МКТ:

1. Все тела состоят из молекул и атомов

2. Молекулы и атомы участвуют в хаотическом движении

3. Молекулы и атомы взаимодействуют между собой

Понятия:

1. Количество вещества – отношение числа молекул (атомов) в данном теле к числу молекул Na содержащихся в 0,012 кг углерода.

1 моль – это количество вещества, в котором число молекул (атомов)= Na

2. Молярная масса – масса одного моля данного вещества

m₀ – масса одной структурной единицы вещества (молекулы, атома)

Вращательное движение твердого тела – движение, при котором все точки объекта описывают траекторию в виде окружности.

Распространенный случай в физике – вокруг покоящейся оси (рис. 1).

Рис. 1 Вращение твердого тела вокруг оси

Линия, соединяющая неподвижные точки, читается осью вращения. Кинематика перемещения в целом аналогична поступательной. Только путь измеряется не в метрах, а в радианах или градусах.

Последние связаны между собой следующей формулой:

ϕ – угол в радианах (рад);

γ – угол в градусах (°).

Закон и уравнение вращательного движения твердого тела

Законы движения также схожи. Для равноускоренного движения:

ϕ₀ – начальный угол (рад);

ω₀ – начальная угловая скорость (рад/с);

ε – угловое ускорение (рад/с 2 ).

Под положительным понимают перемещение против часовой стрелки.

Угловая скорость

В обычной жизни вращение оценивается в оборотах за единицу времени. За минуту чаще всего. Для расчетов такие характеристики неудобны. Поэтому определяется так:

Скорость в оборотах ν легко связать с угловой:

ν – скорость в оборотах (1/с).

Используется еще одна важная величина – период вращения T. За это время предмет совершает полный поворот:

Угловое ускорение

В уравнении движения был показан частный случай равноускоренного перемещения. Но это не всегда так. Также ε может принимать отрицательные значения в случае замедления.

Линейные величины

При малых величинах пройденный путь (см. рис. 2) будет равен:

где r – расстояние до центра вращения (м).

Рис. 2 Перемещение

Откуда следует линейная скорость:

Вектор, перпендикулярный отрезку, r. То есть расположенный на касательной к окружности вращения.

И, соответственно, ускорение:

Кроме того, передвижение по кривой линии невозможно без центростремительного ускорения:

Возвратно-вращательное движение

Общий случай раскачивания маятника. Анализ подобных противоположных телодвижений пары объектов порождает некоторые парадоксы.

Приверженцы таких рассуждений существуют и доводы имеют право на жизнь. Не все общепринятые взгляды безупречны. Евклидова геометрия тому пример. Теория довольно запутана, и здесь мы ее рассматривать не будем.

С учетом масс

Представив себе, что тело состоит из незначительных масс m_i, получим любопытные результаты. Кинетическая энергия выразится так:

Джоуль (Дж) – единица энергии и работы в системе СИ.

Моментом инерции относительно выбранной оси называется:

или в соответствующей интегральной форме.

Тогда энергия выразится следующим образом:

То есть имеется некий аналог массы. Но последняя является неизменной присущей объекту величиной. Момент же инерции зависит от местонахождения оси.

В реальных условиях распространен случай вращения вокруг оси, включающей центр масс. Найдем его для системы, указанной на рис. 3.

Рис. 3 Определение центра масс.

Определится по формулам:

Вектор, направленный из начала координат в центр масс, в общем случае выразится следующим образом:

Можно перевести в интегральную форму. В присутствии гравитации – заодно и центр тяжести.

Можно сказать, что общее движение предмета включает поступательное и вращательное. Пример – качение чего-то округлого (рис. 4). При этом все перемещение точек можно исчерпывающе изобразить на рисунке. В таком варианте движение называется плоским.

Полная кинетическая энергия равна:

m – масса объекта;

I_C – момент инерции относительно оси, включающей центр масс.

Рис. 4 Качение колеса

Частные случаи вращательного движения

1. Равномерное (рис. 5), с постоянной скоростью, с нулевым ускорением.

Выражается уравнением: φ = φ₀ + ωt

Рис. 5 При ε = 0.

2. Равноускоренное. Рассмотрено ранее. Но все же уместны некоторые пояснения (рис. 6).

Рис. 6 ε = const.

3. Вокруг неподвижной оси. Наиболее распространенный в рассмотрении вариант. Как для реальных нужд, так и в теории.

4. Возвратно-вращательное. В математическом выражении напоминает колебания. При подробном рассмотрении вызывает неудобные вопросы.

Заключение

Для разработчиков оборудования тема отнюдь не праздная. Рассматриваются задачи по передаче силового момента (в частности в ременных механизмах). Разбирается механика работы подшипников, гироскопов.

В артиллерии снаряды стабилизируются вращением. Да и расчеты их на прочность связаны со сложным напряженным состоянием в связи с раскручиванием в стволе.

Орбиты планет имеют отношение к рассматриваемой кинематике.

На самом деле все сферы использования данной темы невозможно перечислить, это действительно нужный раздел.

Вращение тел является одним из важных типов механического движения в технике и природе. В отличие от линейного перемещения, оно описывается собственным набором кинематических характеристик. Одной из них является угловое ускорение. Охарактеризуем эту величину в статье.

Движение вращения

Прежде чем говорить об угловом ускорении, опишем тип движения, к которому оно применяется. Речь идет о вращении, которое представляет собой перемещение тел по круговым траекториям. Чтобы вращение происходило, необходимо выполнение некоторых условий:

наличие оси или точки вращения;
наличие центростремительной силы, которая бы удерживала на круговой орбите тело.

Примерами этого типа движения являются различные аттракционы, например карусель. В технике вращение проявляет себя при движении колес и валов. В природе самым ярким примером этого типа движения является вращение планет вокруг собственной оси и вокруг Солнца. Роль центростремительной силы в названных примерах играют силы межатомного взаимодействия в твердых телах и гравитационное взаимодействие.

Кинематические характеристики вращения

К этим характеристикам относятся три величины: угловое ускорение, угловая скорость и угол поворота. Будем обозначать их греческими символами α, ω и θ соответственно.

Так как тело движется по окружности, то удобно рассчитывать угол θ, на который оно повернется за определенное время. Этот угол выражается в радианах (реже в градусах). Поскольку окружность имеет 2 × pi радиан, то можно записать равенство, связывающее θ с длиной дуги L поворота:

Где r - радиус вращения. Эту формулу несложно получить, если вспомнить соответствующее выражение для длины окружности.

Угловая скорость ω, как и ее линейный аналог, описывает быстроту поворота вокруг оси, то есть она определяется согласно следующему выражению:

Величина ω¯ является векторной. Направлена она вдоль оси вращения. Единицей ее измерения является радиан в секунду (рад/с).

Наконец, угловое ускорение - это физическая характеристика, которая определяет быстроту изменения величины ω¯, что математически записывается так:

Вектор α¯ направлен в сторону изменения вектора скорости ω¯. Далее будет сказано, что угловое ускорение направлено в сторону вектора момента силы. Измеряют эту величину в радианах в квадратную секунду (рад/с 2 ).

Момент силы и ускорение

Если вспомнить закон Ньютона, который связывает в единое равенство силу и линейное ускорение, то, перенеся этот закон на случай вращения, можно записать следующее выражение:

Здесь M¯ - момент силы, представляющий собой произведение силы, которая стремится раскрутить систему, на рычаг - расстояние от точки приложения силы до оси. Величина I является аналогом массы тела и называется моментом инерции. Записанная формула называется уравнением моментов. Из него угловое ускорение можно вычислить так:

Поскольку I - это скаляр, то α¯ всегда направлено в сторону действующего момента силы M¯. Направление M¯ определяется по правилу правой руки или правилу буравчика. Вектора M¯ и α¯ перпендикулярны плоскости вращения. Чем больший момент инерции имеет тело, тем меньшее значение углового ускорения способен сообщить системе фиксированный момент M¯.

Кинематические уравнения

Чтобы понять, какую важную роль играет угловое ускорение для описания движения вращения, запишем формулы, связывающие изученные выше кинематические величины.

В случае равноускоренного вращения справедливы следующие математические соотношения:

Первая формула показывает, что угловая скорость будет расти во времени по линейному закону. Второе выражение позволяет рассчитать угол, на который повернется тело за известное время t. Графиком функции θ(t) является парабола. В обоих случаях угловое ускорение - это постоянная величина.

Если воспользоваться приведенной в начале статьи формулой связи между L и θ, то можно получить выражение для α через линейное ускорение a:

Если α является постоянным, то при возрастании расстояния от оси вращения r будет пропорциональным образом увеличиваться линейное ускорение a. Именно поэтому для вращения пользуются угловыми характеристиками, в отличие от линейных, они не изменяются с увеличением или уменьшением r.

Пример задачи

Металлический вал, вращаясь с частотой 2 000 оборотов в секунду, начал замедлять свое движение и через 1 минуту полностью остановился. Необходимо рассчитать, с каким угловым ускорением происходил процесс торможения вала. Также следует вычислить количество оборотов, которые вал сделал до того, как остановиться.

Процесс замедления вращения описывается таким выражением:

Начальная угловая скорость ω₀ определяется через частоту вращения f таким образом:

Поскольку время торможения нам известно, тогда получаем значение ускорения α:

Это число следует взять со знаком минус, поскольку речь идет о торможении системы, а не об ее ускорении.

Для определения числа оборотов, которые вал сделает во время торможения, применим выражение:

Полученное значение угла поворота θ в радианах просто переводится в число сделанных оборотов валом до его полной остановки с помощью простого деления на 2 × pi:

Таким образом, мы получили все ответы на вопросы задачи: α = -209,33 рад/с 2 , n = 60 001 оборот.

Читайте также: