Какие системы счисления применяются в компьютере для предоставления информации

Обновлено: 26.05.2024

Из всех систем счисления особенно проста и поэтому интересна для технической реализации в компьютерах двоичная система счисления.

Какая система счисления используется специалистами для взаимодействия с ПК?

В компьютерах используется двоичная система счисления. . Если числа в десятичной системе записываются с помощью цифр от 0 до 9, то в двоичной – с помощью цифр 0 и 1.

Какие системы счисления не используются специалистами для общения с ПК?

Какая система счисления используется в компьютерах и почему?

Системы счисления - восьмиричная Двоичная система, удобная для компьютеров, для человека неудобна из-за ее громоздкости и непривычной записи. Поэтому в компьютерах используются также восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления. Перевод чисел из десятичной системы в двоичную и наоборот выполняет машина.

Почему в эвм используется двоичная система счисления тест?

Почему в ЭВМ используется двоичная система счисления? А) потому что составляющие технические устройства могут надежно сохранять и распознавать только два различных состояния; . С) потому что ЭВМ умеет считать только до двух; Д) потому что человеку проще общаться с компьютером на уровне двоичной системы счисления.

Что является основанием системы счисления?

Основание системы счисления — это количество цифр в алфавите (мощность алфавита). Различают непозиционные и позиционные системы счисления. В непозиционных системах счисления величина, которую обозначает цифра, не зависит от положения этой цифры в числе.

Что является основанием позиционной системы счисления?

Основание позиционной системы счисления - в широком смысле - конечный набор знаков (цифр), для представления чисел. . Основание показывает, во сколько раз вес каждой цифры в записи числа меньше веса цифры, стоящей в старшем соседнем разряде.

Как перевести 27 в двоичную систему?

Задача: перевести число 27 из десятичной системы счисления в двоичную
Решение:
Ответ: 27₁₀=11011₂

Почему десятичная система счисления?

Основание системы счисления — это количество цифр, которые используются в данной системе счисления для записи чисел. Так как в системе, которую мы рассматриваем, 10 цифр, то она имеет основание 10, поэтому данная система счисления называется десятичной .

Какая система счисления не используется в компьютере?

Непозиционная система счисления – система счисления, в которой значение цифры не зависит от ее позиции в записи числа. Примеры непозиционных систем счисления: унарная (единичная) система счисления, римская система счисления, алфавитная система счисления.

Какая система счисления используется в эвм?

В современных ЭВМ для кодирования чисел используются пози ционные системы счисления (десятичная, восьмеричная, двоичная, шестнадцатеричная, а также двоично-десятичная). В десятичной системе счисления основанием системы является число 10. Для записи любого числа в этой системе используются циф ры от 0 до 9.

Почему двоичная система счисления используется для представления информации в компьютере?

Для представления информации в компьютере используется двоичный код, алфавит которого состоит из двух цифр — 0 и 1. Каждая цифра машинного двоичного кода несет количество информации, равное одному биту. Система счисления — это система записи чисел с помощью определенного набора цифр.

Для чего используется восьмеричная система счисления?

Восьмери́чная систе́ма счисле́ния — позиционная целочисленная система счисления с основанием 8. Для представления чисел в ней используются цифры от 0 до 7. . Восьмеричная система применяется при выставлении прав доступа к файлам и прав исполнения для участников в Linux-системах.

Для чего используется шестнадцатеричная система счисления?

Перед математиками и конструкторами в 50-х встала проблема отыскания таких систем счисления, которые отвечали бы требованиям, как разработчиков ЭВМ, так и создателей программного обеспечения. Одним из итогов этих исследований стало значительное изменение представлений о системах счисления и о методах вычислений. Оказалось, что арифметический счет, которым человечество пользуется с древнейших времен, может совершенствоваться, подчас весьма неожиданно и на удивление эффективно.

Специалисты выделили так называемую “машинную” группу систем счисления и разработали способы преобразования чисел этой группы.

К “машинным” системам счисления относятся:

· Двоичная (используются цифры 0, 1);

· Восьмеричная (используются цифры 0, 1, . 7);

· Шестнадцатеричная (для первых целых чисел от нуля до девяти используются цифры 0, 1, . 9, а для следующих чисел — от десяти до пятнадцати – в качестве цифр используются символы A, B, C, D, E, F).

Официальное рождение двоичной арифметики связано с именем Г.В. Лейбница, опубликовавшего в 1703 г. статью, в которой он рассмотрел правила выполнения арифметических действий над двоичными числами.

Почему люди используют десятичную систему счисления, а компьютеры - двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную?

Люди предпочитают десятичную систему, вероятно, потому, что с древних времен считали по пальцам, а пальцев у людей по десять на руках и ногах. Не всегда и не везде люди пользуются десятичной системой счисления. В Китае, например, долгое время пользовались пятеричной системой счисления.

А компьютеры используют двоичную систему потому, что она имеет ряд преимуществ перед другими системами:

· для ее реализации нужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями (есть ток — нет тока, намагничен — не намагничен и т.п.), а не, например, с десятью, — как в десятичной;

· представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво;

· возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации;

· двоичная арифметика намного проще десятичной.

Недостаток двоичной системы — быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел.

Двоичная система, удобная для компьютеров, для человека неудобна из-за ее громоздкости и непривычной записи.

Перевод чисел из десятичной системы в двоичную и наоборот выполняет машина. Однако, чтобы профессионально использовать компьютер, следует научиться понимать слово машины. Для этого и разработаны восьмеричная и шестнадцатеричная системы.

Числа в этих системах читаются почти так же легко, как десятичные, требуют соответственно в три (восьмеричная) и в четыре (шестнадцатеричная) раза меньше разрядов, чем в двоичной системе (ведь числа 8 и 16 – соответственно, третья и четвертая степени числа 2).

Перевод восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоичную систему очень прост: достаточно каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр) или тетрадой (четверкой цифр).

Чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную или шестнадцатеричную, его нужно разбить влево и вправо от запятой на триады (для восьмеричной) или тетроды (для шестнадцатеричной) и каждую такую группу заменить соответствующей восьмеричной.

Заключение.

Но двоичная система имеет и недостатки:

- ею пользуются только для ЭВМ;

- быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел.

Литература

1. Гашков С.Б. Системы счисления и их применение. МЦНМО, 2004г.

2. Угринович Н.Т. Информатика и информационные технологии. Учебник для 10–11 классов. – М.: Лаборатория Базовых Знаний. 2003.

4.Урнов В.А. и др. Преподавание информатики в компьютерном классе, М.: Просвещение, 1990, стр. 17

5.Заварыкин В.М. Основы информатики и вычислительной техники, М.: Просвещение, 1989, стр.19

6.Гейн А.Г. Основы информатики и вычислительной техники, М.: Просвещение, 1992, стр.231

Системой счисления называется способ изображения чисел с помощью ограниченного набора символов, имеющих определенные количественные значения. Систему счисления образует совокупность правил и приемов представления чисел с помощью набора знаков (цифр).

Различают позиционные и непозиционные системы счисления. В позиционных системах каждая цифра числа имеет определенный вес , который зависит от позиции цифры в последовательности, изображающей число. Позиция цифры называется разрядом. В позиционной системе счисления любое число можно представить в виде:

$A_n=a_ a_ \dots a_i \dots a_0*a_a_\dots a_=a_*N^+a_*N^\dots+a_*N^$

$A_N=\sum_<i=-k>^a_i*N^i$

( 14.1)

где - -я цифра числа;

- количество цифр в дробной части числа;

- количество цифр в целой части числа;

- основание системы счисления.

Основание системы счисления показывает, во сколько раз " вес " -го разряда больше () разряда. Целая часть числа отделяется от дробной части точкой (запятой).

В соответствии с формулой (14.1) это число формируется из цифр с весами разрядов:

$е =2,71828\dots$

Теоретически наиболее экономичной системой счисления для представления значения числа цифрами является система с основанием , находящимся между числами 2 и 3.

Во всех современных ЭВМ для представления числовой информации применяется двоичная система счисления . Это обусловлено:

более простой реализацией алгоритмов выполнения арифметических и логических операций;
более надежной физической реализацией основных функций, так как они имеют всего два состояния (0 и 1);
экономичностью аппаратной реализации всех схем ЭВМ.

При число различных цифр, используемых для записи чисел, ограничено множеством из двух цифр (нуль и единица ). Кроме двоичной системы счисления, широкое распространение получили и производные системы:

Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления являются производными от двоичной, так как и . Они применяются в основном для более компактного изображения двоичной информации, так как запись значения чисел производится существенно меньшим числом знаков

в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления имеют следующее представление :

$А_2 =1100100.101;\\ A_8=144.5;\\ А_ = 64.А;\\ A_2=1*2^6+1*2^5+0*2^4+0*2^3+1*2^2+0*2^1+0*2^0+1*2^+0*2^+1*2^;\\ A_8 =1*8^2+4*8^1+4*8^0+5*8^;\\ A_ =6*16$

В табл. 14.1 приведено сравнительное представление чисел в различных системах счисления: десятичной (10 с/с), двоичной (2 с/с), восьмеричной (8 с/с) и шестнадцатеричной (16 с/с).

По данным этой таблицы можно выявить целый ряд закономерностей:

нуль и единица имеют единственное и одинаковое представление в любых системах счисления;
основание системы счисления в любой системе имеет представление 10;

незначащие нули слева от целой части и справа от дробной части числа не изменяют значений чисел;

В ЭВМ перевод из одной системы в другую осуществляется автоматически, по специальным программам. Правила перевода целых и дробных чисел отличаются.

Необходимо сделать несколько замечаний. В общем случае перевод любого числа с дробью из одной системы счисления в другую может привести к появлению иррациональных чисел, имеющих бесконечное количество разрядов в дробной части чисел. Естественно, что любое техническое устройство, например компьютер , может оперировать только с конечным числом цифр, являющихся старшими, наиболее значимыми разрядами.

Игнорирование, отбрасывание младших разрядов чисел приводит к их округлению. При этом разница между округляемым и полученным числами называется ошибкой округления. Следует учитывать, что округление результатов вычислений по любому неслучайному правилу приводит к ошибкам с ненулевым смещением [83].

Перевод целых чисел

Целое число с основанием переводится в систему счисления с основанием путем последовательного деления числа " />
на основание , записанного в виде числа с основанием , до получения остатка. Полученное частное следует вновь делить на основание , и этот процесс надо повторять до тех пор, пока частное не станет меньше делителя.

Полученные остатки от деления и последнее частное записываются в порядке, обратном полученному при делении. Сформированное число и будет являться числом с основанием .

Перевод дробных чисел

Дробное число с основанием переводится в систему счисления с основанием путем последовательного умножения > на основание , записанное в виде числа с основанием . При каждом умножении целая часть произведения берется в виде очередной цифры соответствующего разряда, а оставшаяся дробная часть принимается за новое множимое. Число умножений определяет разрядность полученного результата, представляющего число " />
в системе счисления .

Так как двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы связаны через степени числа 2, то преобразования между ними можно вы-полнять другим, более простым способом. Для перевода из шестнадцатеричной ( восьмеричной) системы счисления в двоичную достаточно двоичным кодом записать шестнадцатеричные коды цифр тетрадами ( по 4 двоичных разряда) и триадами ( по 3 двоичных разряда) - для восьмеричных цифр. Обратный перевод из двоичного кода производится в обратном порядке: двоичное число разбивается влево и вправо от границы целой и дробной частей на тетрады - для последующей записи цифр в шестнадцатеричном представлении, на триады - для записи их значений восьмеричными цифрами.

Арифметические основы ЭВМ

Представление числовой информации в компьютере

В компьютерах используются три вида чисел: с фиксированной точкой (запятой), с плавающей точкой (запятой) и двоично-десятичное представление. Точка (запятая) - это подразумеваемая граница целой и дробной частей числа, разряды и формулы (4.1).

Все современные компьютеры имеют центральный процессор или центральное процессорное устройство - CPU ( Central Processing Unit ), предназначенное для обработки чисел с фиксированной точкой. Одной из важнейших его характеристик является разрядность - количество двоичных разрядов, представляющих значение числа. Основным достоинством CPU служит простота алгоритмов выполнения операций и, соответственно, высокая скорость операций.

У чисел с фиксированной точкой в двоичном формате предполагается строго определенное место точки (запятой). Обычно это место определяется или перед первой цифрой числа, или после последней цифры числа. Если точка фиксируется перед первой значащей цифрой, то это означает, что число по модулю меньше единицы. Диапазон изменения значений чисел определяется неравенством:

$2^ \le |A_2| \le 1-26$

Если точка фиксируется после последней цифры, то это означает, что -разрядные двоичные числа являются целыми. Диапазон изменения их значений составляет:

$- \le |A_2| \le 2^n-1$

Перед самым старшим из возможных цифровых разрядов двоичного числа фиксируется его знак. Положительные числа имеют нулевое значение знакового разряда, отрицательные - единичные. Каждая цифра двоичного числа " />
занимает один бит соответствующего -разрядного формата.

Существенным недостатком представления чисел с фиксированной точкой служит тот факт, что аппроксимация малых чисел связана с большой относительной ошибкой. Для чисел же, приближающихся по величине к максимально возможным (), относительная ошибка уменьшается. Абсолютная же ошибка представления чисел с фиксированной точкой всегда лежит в одних и тех же пределах независимо от величины чисел.

Другой формой представления чисел является представление их в виде чисел с плавающей точкой (запятой). Представление чисел с плавающей точкой необходимо использовать, когда обрабатываемые числа имеют очень большой диапазон изменения. Эта ситуация типична для научно-технических расчетов (тригонометрические, экспоненты, логарифмы). Поэтому все современные микропроцессоры в качестве дополнения к CPU имеют математические сопроцессоры . Их обычно называют блоками или устройствами с плавающей точкой - FPU ( Floating Point Unit), или числовым расширением процессора - NPX ( Numeric Processor eXtension). Сочетание параллельно работающих CPU и FPU позволяет добиться большей скорости и большей точности вычислений.

Числа с плавающей точкой представляются в виде мантиссы и порядка , иногда это представление называют полулогарифмической формой числа. Например, число =373" />
можно представить в виде , при этом , основание системы счисления подразумевается фиксированным и равным десяти. Для двоичных чисел в этом представлении также формируется и порядок при основании системы счисления, равном двум.

$А_2=\pm р_а; \pm т_а$

что соответствует записи

$A_2=2^<\pm p_a> *(\pm m_a)$

Детализация двоичного представления чисел с плавающей точкой и двоично-десятичная форма чисел подробно освещены в [88]. Поскольку их представление и обработка базируются на двоичной арифметике, рассмотрим правила сложения двоичных цифр.

Все современные ЭВМ имеют достаточно развитую систему команд, включающую десятки и сотни машинных операций. Однако выполнение любой операции основано на использовании простейших микроопераций типа сложения и сдвига. Это позволяет иметь единое арифметико-логическое устройство для выполнения любых операций, связанных с обработкой информации. Сложение двоичных цифр двух чисел и иллюстрируется табл. 14.2.

Здесь показаны правила сложения двоичных цифр , одноименных разрядов с учетом возможных переносов из предыдущего разряда " />
.

Подобные таблицы можно было бы построить для любой другой арифметической и логической операции (вычитание, умножение и т.д.), но именно данные этой таблицы положены в основу выполнения любой операции ЭВМ. Под знак чисел отводится специальный знаковый разряд. Знак "+" кодируется двоичным нулем, а знак "-" - единицей. Действия над прямыми кодами двоичных чисел при выполнении операций создают большие трудности, связанные с необходимостью учета значений знаковых разрядов:

во-первых, следует отдельно обрабатывать значащие разряды чисел и разряды знака;
во-вторых, значение разряда знака влияет на алгоритм выполнения операции, например, сложение может заменяться вычитанием и наоборот.

Во всех ЭВМ без исключения все операции выполняются над числами, представленными специальными машинными кодами. Их использование позволяет обрабатывать знаковые разряды чисел так же, как и цифровые разряды, а также заменять операцию вычитания операцией сложения.

Различают прямой код (П), обратный код (ОК) и дополнительный код (ДК) двоичных чисел.

Заполняем пробелы — расширяем горизонты!

Вопрос представления и кодирования информации в компьютере является очень важным вопросом компьютерной грамотности.

Если есть сигнал — единичка, если нет — нолик

Перечисленные элементы четко распознают только два состояния: включено или выключено, есть сигнал или нет сигнала. Для того чтобы закодировать эти два состояния, достаточно двух цифр: 0 (нет сигнала) и 1 (есть сигнал).

Таким образом, с помощью комбинации 0 и 1 компьютер (с первого поколения и по сей день) способен воспринимать любую информацию: тексты, формулы, звуки и графику.

Иными словами, компьютеры обычно работают в двоичной системе счисления, состоящей из двух цифр 0 и 1. Все необходимые преобразования (в привычную для нас форму или, наоборот, в двоичную систему счисления) могут выполнить программы, работающие на компьютере.

Обычная для нас десятичная форма счисления состоит из десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Кстати, числа 10 в этом списке нет: оно состоит из 0 и 1 — чисел, входящих в десятичную систему счисления.

Что такое бит и что такое байт

Один двоичный знак — 0 или 1 – называется бит (англ. bit – сокращение от английских слов binary digit, что означает двоичная цифра). Бит представляет наименьшую единицу информации. Однако компьютер имеет дело не с отдельными битами, а с байтами.

Байт (англ. byte) – число из восьми бит (различные комбинации из восьми нулей и единиц). Байт является единицей измерения информации.

Последовательностью битов можно закодировать текст, изображение, звук или какую-либо другую информацию. Такой метод представления информации называется двоичным кодированием (binary encoding).

О представлении информации в компьютере

Чтобы перевести в цифровую форму музыкальный звук, можно применить такое устройство, как аналого-цифровой преобразователь. Он из входного звукового (аналогового) сигнала на выходе дает последовательность байтов (цифровой сигнал).

Обратный перевод можно сделать с помощью другого устройства – цифро-аналогового преобразователя, и таким образом воспроизвести записанную музыку.

На самом деле роль преобразователей (аналого-цифрового и цифро-аналогового) выполняют специальные компьютерные программы. Поэтому при использовании компьютера надобности в таких устройствах нет.

Сохранить можно не только текстовую и звуковую информацию. В виде кодов хранятся и изображения. Если посмотреть на рисунок с помощью увеличительного стекла, то видно, что он состоит из точек одинаковой величины и разного цвета – это так называемый растр.

Координаты каждой точки можно запомнить в виде числа, цвет точки – это еще одно число для последующего кодирования. Эти числа могут храниться в памяти компьютера и передаваться на любые расстояния. По ним компьютерные программы способны воспроизвести рисунок на экране монитора или напечатать его на принтере. Изображение можно увеличить или уменьшить, сделать темнее или светлее. Его можно повернуть, наклонить, растянуть.

Мы считаем, что на компьютере обрабатывается изображение. Но на самом деле компьютерные программы изменяют числа, которыми отдельные точки изображения представлены (точнее, сохранены) в памяти компьютера.

Таким образом, компьютер может обрабатывать только информацию, представленную в числовой форме. Вся другая информация (звуки, изображения, показания приборов и т. д.) для обработки на компьютере должна быть предварительно преобразована в числовую форму при помощи соответствующих компьютерных программ.

Кодирование информации вокруг нас

Кодирование информации — это удел не только компьютерной техники. Мы очень часто сталкиваемся с этим явлением, и, порой, этого совсем не замечаем.

В музыке информация много веков кодируется с помощью нотной записи (ноты). Математические формулы используются в математике. В химии применяются химические формулы. Таких примеров кодирования информации можно привести очень много.

Сравнительная простота кодирования обеспечивает все многообразие представляемой в компьютере информации (от простых текстов до сложнейших графических игр и видеофильмов). Это обусловлено высочайшим быстродействием компьютеров и их способностью к почти мгновенной обработке огромных массивов данных.

Читайте также: