Какие наглядные пособия позволяют усвоить принцип построения десятичной системы счисления

Обновлено: 07.07.2024

Представить нашу жизнь без цифр сложно – числа помогают выражать, измерять, отслеживать не только различные физические показатели, но и оценивать знания, степень распространения болезни и многое другое. А как человечество пришло к цифрам, почему все используют одинаковые знаки и существуют ли другие варианты счета.

Именная карта банка для детей
с крутым дизайном, +200 бонусов

Закажи свою собственную карту банка и получи бонусы

План урока:

А описание чисел при помощи специальных знаков и является системой счисления.

Системы счисления – виды, особенности

Система счисления (СС) – способ выражения чисел при помощи специальных правил и знаков, которые называются цифрами.

Все существующие системы делят на 2 группы:

Позиционные системы счисления – такие, в которых, в зависимости от положения, цифры будет иметь разное значение. К этой группе относится арабская СС, в которой на первом месте справа цифра будет обозначать единицы, на втором – десятки, на третьем – сотни и так далее.

Чтобы выразить число 475, достаточно по порядку написать 3 символа, 475, выражая 5 единиц, 7 десятков и 4 сотни.

К этой группе также относятся СС с различными основаниями (2,8,16).

Непозиционные СС – имеет значение именно знак, а не его положение. Единицы, десятки, сотни обозначаются определенными символами. Яркий представитель этой группы – римская СС.

Еще одна особенность – чтобы выразить число и не использовать сотни символов, применяется прибавление и вычитание. Написать 475 римскими знаками можно так CCCCXXXXXXXIIIII, но это нерационально. Если отнимать или прибавлять цифры, получится меньшее количество символов – CDLXXV. Цифра слева означает, что ее нужно отнять от большего числа, а справа – прибавить.

8 – VIII или IIX

Правильным считается тот вариант, при котором получается меньше символов.

Интересно. Первой позиционной СС была вавилонская и была она шестнадцатиричная! А в 19 веке использовали двенадцатеричную СС.

Алфавит СС – знаки, которые используются для обозначения цифр.

Основание – количество знаков, которыми кодируются числа. Еще оно показывает отличие между цифрами на разных позициях. Основание – целое число, начиная с 2.

Важно. Если в тексте идет речь о различных системах, то чтобы уточнить, какая используется основа, ставится подстрочный знак: 1254₈, 01100111₂. Примеры? Если же обозначения нет, по умолчанию это десятичная (12549).

Разряд – положение, позиция обозначения цифры в числе. Пример?

Непозиционные СС, их особенности

Первоначально древние люди ставили отметки (черточки-зарубки, точки), чтобы обозначить количество того или иного предмета. Отклики этого подхода все еще встречаются (полоски у военных, счетные палочки).

Постепенно от единиц они переходили к группам предметов по 3, 5, 10 единиц. Постепенно такие группы стали обозначаться определенными символами, что позволило сократить размер записи.

Римская СС

В ней определенным цифрам отвечают латинские буквы. Их сумма и будет числом.

Основные рекомендации при пользовании римскими цифрами:

Символы следует писать по убыванию слева направо.
Нежелательно записывать подряд более 3 одинаковых знаков.
Положение цифры обозначает, какой ее вклад – отрицательный, если она стоит слева от большего числа, положительный – справа.

Таблица римских цифр

Недостаток этой СС в том, что для больших чисел недоступны операции сложения или другие, ещё она сложная и громоздкая. Зато римские цифры отлично вписались там, где нужна нумерация и эстетика: циферблаты, номера глав, списки, серии документов.

Основные позиционные СС, правила перевода

Двоичная система счисления

Систему, на которой основывается работа компьютеров, придумал гениальный немецкий ученый Г.В. Лейбниц (еще до 19 века!). Он придумал и описал СС, в которой все вычисления проводятся при помощи двух простейших символов – 0 и 1.

Компьютер, как механическое устройство, получает команды в виде двоичной кодировки. Он не в силах понять сложные задания, человеческую речь, музыку или тысячи оттенков, а переводя/кодируя всю необходимую информацию при помощи 0 и 1 (сеть, отсутствие сети), можно передать ему любые команды или информацию. Естественно, такие задания выглядят как огромные массивы двух знаков.

Алгоритм перевода чисел из десятичной в двоичную систему:

Деление на основу СС до тех пор, пока не останется в остатке значение меньше значения основы.
Записать остатки, от последнего к первому.
Первый ноль можно не писать.

0 111 0100 1100₂

Обычно мы пользуемся свернутой формой записи чисел, то есть без разбивки на разряды и умножения на основу.

А чтобы было легче, пользуются готовой таблицей степеней 2.

Альтернативный способ преобразования для гуманитариев

Для начала нужно написать степени двойки, начиная с самой большой:

Далее нужно отнимать от числа максимальную степень двойки и напротив нее ставить 1, если есть в исходном варианте или 0, если его нет.
Перевод числа 579

Обратно еще проще. Подсчитать количество знаков – это будет степень 2 в степени -1. И так далее. А проще при помощи той же таблицы:

Если же оно на 1 больше, то число будет начинаться и заканчиваться на 1, а внутри – сплошные 0.

Основой такой системы является 8, а числа восьмеричной системы 0-7. Данная система счисления является позиционной и целочисленной. Применяется в сферах, связанных с цифровыми технологиями, особенно в Linux-программном обеспечении (права доступа, исполнения).

Пример: Перевести 579₈ из десятичной в восьмеричную систему счисления:

Обратный перевод из восьмеричной СС в десятичную:

1103₈ = 1∙8 3 +1∙8 2 +0∙8 1 +3∙8 0 = 512+64+0+3 = 579₁₀

Альтернативный вариант таблицы степеней

Шестнадцатеричная СС

Стандарт Юникод использует 4 и более символов 16-ой СС.

Для записи цвета из красного, зеленого и синего (R, G и B) также используют эту систему.

Алгоритм преобразования чисел в 16СС

Способ преобразования аналогичный предыдущим – расписывание числа как многочлена с учетом степеней 16. Для этого число делится на 16, в итоге – перечень остатков от деления, записанных наоборот.

В сети есть калькуляторы, способные выполнять преобразование чисел в различные СС и обратно (некоторые даже с детальным описанием процесса).

Арифметика для 2СС

Принципы выполнения простейших арифметических операций одинаковы для любых позиционных систем, независимо от основы:

Особенности арифметики СС с разными основами:

при сложении чисел двух 1 в двоичной системе переполняется младший разряд (сумма = или ˃ основания СС), то единица переходит к большему разряду;
если есть 0-1=1, идет заимствование из старшего разряда;
умножать 2СС удобнее всего в столбик, учитывая 4 основные правила;
заем единиц в 2СС при отнимании/делении, тогда она дает промежуточным разрядам по 1, а для занимаемого разряда сразу 11.

Примеры арифметических операций:

Для удобства разработаны готовые таблицы сложения в различных системах:

С их помощью можно быстро суммировать в различных СС.

Сложение для разных СС на примере 15 и 6:

Если необходимо сложить числа из разных систем, их приводят к одной основе. Самым простым вариантом будет перевод в десятичную систему, решение простого примера и перевод результата в любую из систем.

Переводим число 56 в восьмеричную через двоичную:

Сравнение систем

СС могут быть с произвольной основой, но популярны 2,8,10,16-ые.

Сравнительная таблица разных систем счисления:

Перевод числа 75 в разные системы:

Правила перевода из двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной в 10СС:

Исходный вариант следует разделить на тройки цифр, с крайней справа. Если не хватает, старший разряд дополнить 0. Далее под каждой триадой ставится подходящий символ из 8‑ой системы.

Рассмотрим перевод на примере числа 579, которое соответствует 1001000011₂

001 001 000 011

Правила перевода из двоичной в шестнадцатеричную систему счисления:

Число разбивается по 4 знака, начиная справа (с меньшего разряда). Если не будет хватать символов у старшего разряда, тетраду дополняют нулями.

Сравнительный перевод дробей в СС

Чтобы перевести правильные дроби из 10-ой СС в другие позиционные, следует придерживаться правила, которое хорошо видно на примере перевода числа 0,35:

Удобно писать над каждой цифрой порядок, а дальше ее умножить на основу СС в степени разряда.

Перевод целых и дробей в 2СС, 8СС, 16СС:

Таблицы истинности

При помощи тех же нулей и единиц создаются таблицы истинности логических выражений, в которых описаны всевозможные варианты.

Основные логические операции

Например, конъюнкция является одной из логических операций. Она является истиной только в том случае, если два высказывания имеют истинные значения.

Логические переменные таблицы истинности обозначают p и q, а их значения выражают при помощи 0 и 1, где 0 – ложь, 1 – истина:

Фрагмент таблицы истинности для конъюнкции.

Так выражаются условия для всех логических операций.

Применяются таблицы истинности еще с начала 20 века в алгебре, логике, программировании.

Именная карта банка для детей
с крутым дизайном, +200 бонусов

Закажи свою собственную карту банка и получи бонусы

План урока:

А описание чисел при помощи специальных знаков и является системой счисления.

Системы счисления – виды, особенности

Все существующие системы делят на 2 группы:

Позиционные системы счисления – такие, в которых, в зависимости от положения, цифры будет иметь разное значение. К этой группе относится арабская СС, в которой на первом месте справа цифра будет обозначать единицы, на втором – десятки, на третьем – сотни и так далее.

Чтобы выразить число 475, достаточно по порядку написать 3 символа, 475, выражая 5 единиц, 7 десятков и 4 сотни.

К этой группе также относятся СС с различными основаниями (2,8,16).

Непозиционные СС – имеет значение именно знак, а не его положение. Единицы, десятки, сотни обозначаются определенными символами. Яркий представитель этой группы – римская СС.

8 – VIII или IIX

Правильным считается тот вариант, при котором получается меньше символов.

Алфавит СС – знаки, которые используются для обозначения цифр.

Разряд – положение, позиция обозначения цифры в числе. Пример?

Непозиционные СС, их особенности

Римская СС

В ней определенным цифрам отвечают латинские буквы. Их сумма и будет числом.

Основные рекомендации при пользовании римскими цифрами:

Символы следует писать по убыванию слева направо.
Нежелательно записывать подряд более 3 одинаковых знаков.
Положение цифры обозначает, какой ее вклад – отрицательный, если она стоит слева от большего числа, положительный – справа.

Таблица римских цифр

Основные позиционные СС, правила перевода

Двоичная система счисления

Алгоритм перевода чисел из десятичной в двоичную систему:

Деление на основу СС до тех пор, пока не останется в остатке значение меньше значения основы.
Записать остатки, от последнего к первому.
Первый ноль можно не писать.

0 111 0100 1100₂

Обычно мы пользуемся свернутой формой записи чисел, то есть без разбивки на разряды и умножения на основу.

А чтобы было легче, пользуются готовой таблицей степеней 2.

Альтернативный способ преобразования для гуманитариев

Для начала нужно написать степени двойки, начиная с самой большой:

Если же оно на 1 больше, то число будет начинаться и заканчиваться на 1, а внутри – сплошные 0.

Пример: Перевести 579₈ из десятичной в восьмеричную систему счисления:

Обратный перевод из восьмеричной СС в десятичную:

1103₈ = 1∙8 3 +1∙8 2 +0∙8 1 +3∙8 0 = 512+64+0+3 = 579₁₀

Альтернативный вариант таблицы степеней

Шестнадцатеричная СС

Стандарт Юникод использует 4 и более символов 16-ой СС.

Для записи цвета из красного, зеленого и синего (R, G и B) также используют эту систему.

Алгоритм преобразования чисел в 16СС

Арифметика для 2СС

Особенности арифметики СС с разными основами:

при сложении чисел двух 1 в двоичной системе переполняется младший разряд (сумма = или ˃ основания СС), то единица переходит к большему разряду;
если есть 0-1=1, идет заимствование из старшего разряда;
умножать 2СС удобнее всего в столбик, учитывая 4 основные правила;
заем единиц в 2СС при отнимании/делении, тогда она дает промежуточным разрядам по 1, а для занимаемого разряда сразу 11.

Примеры арифметических операций:

Для удобства разработаны готовые таблицы сложения в различных системах:

С их помощью можно быстро суммировать в различных СС.

Сложение для разных СС на примере 15 и 6:

Переводим число 56 в восьмеричную через двоичную:

Сравнение систем

СС могут быть с произвольной основой, но популярны 2,8,10,16-ые.

Сравнительная таблица разных систем счисления:

Перевод числа 75 в разные системы:

Правила перевода из двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной в 10СС:

Рассмотрим перевод на примере числа 579, которое соответствует 1001000011₂

001 001 000 011

Правила перевода из двоичной в шестнадцатеричную систему счисления:

Сравнительный перевод дробей в СС

Удобно писать над каждой цифрой порядок, а дальше ее умножить на основу СС в степени разряда.

Перевод целых и дробей в 2СС, 8СС, 16СС:

Таблицы истинности

Основные логические операции

Фрагмент таблицы истинности для конъюнкции.

Так выражаются условия для всех логических операций.

Применяются таблицы истинности еще с начала 20 века в алгебре, логике, программировании.

Все вычисления в математике выполняются в позиционной десятичной системе счисления. Кратко об особенностях десятичной системы можно прочитать в данной статье.

Что такое десятичная система счисления

В десятичной системе для представления чисел использует десять арабских цифр от 0 до 9, соответственно основанием десятичной системы счисления является число 10.

Историки, изучающие культуру древнего востока, в Индии обнаружили плиту с начертанием числа в позиционной десятичной системе. Возраст найденного артефакта составляет порядка 1,5 тысяч лет. Здесь же в древней Индии впервые используется ноль, как самостоятельная цифра.

Рис. 1. Индийские цифры, эволюция индийских цифр.

Развернутая форма представления десятичного числа

Важным понятием в позиционном подходе представления чисел является понятие разряда. Различают разряды единиц, десятков, сотен, тысяч и так далее. Любое десятичное число можно представить, в так называемом развернутом виде, когда число записывается в виде суммы разрядных слагаемых, представленных в виде произведения значащей цифры разряда и числа десять в степени соответствующего разряда.

Например, десятичное число 46758 в развернутом виде будет выглядеть следующим образом:

46758 = 4 * 10^4 + 6 * 10^3 + 7 * 10^2 + 5 * 10^1 + 8 * 10^0

46758 = 4 * 10000 + 6 * 1000 + 7 * 100 + 5 * 10 + 8 * 1

Прямой перевод числа из десятичной системы

Перевод целого десятичного числа в какую-либо систему счисления выполняется путем поочередного деления самого числового значения, а затем полученных частных на основание системы счисления, в которую производится перевод.

Например, для перевода десятичного числа в двоичную систему выполняют деление на два, в восьмеричную – на восемь, в шестнадцатеричную – на шестнадцать. В принципе, десятичное число можно перевести и в пятеричную и семеричную системы, выполнив деление на пять или семь.

Выполнив первый шаг деления на, например, два, остаток запоминают, а полученное частное снова делят на основание. Эту операцию выполняют до тех пор, пока последнее частное не будет меньше или равно делителю.

Записывать сформированное число в новой системе счисления необходимо начиная с итогового частного и затем друг за другом выписывая остатки от деления от последнего к первому.

Например, прямой перевод числа 27 из десятичной системы в двоичную выполняют так:

27 / 2 = 13 и остаток 1

13 / 2 = 6 и остаток 1

6 / 2 = 3 и остаток 0

3 / 2 = 1 и остаток 1

Таким образом, 27 в двоичном формате это число 11011.

Для перевода чисел в пределах можно пользоваться таблицей соответствия десятичных и двоичных чисел

Рис. 2. Таблица соответствия двоичных и десятичных чисел.

Обратный перевод числа в десятичную систему

Для перевода чисел в десятичную систему удобно пользоваться развернутой формой. При этом числовые значения записываются в виде суммы произведений цифр разрядов на основание текущей системы счисления в степени разряда.

Например, двоичное число 11011 можно представить так:

1 * 2^4 + 1 * 2^3 + 0 * 2^2 + 1 * 2^1 + 1 * 2^0 = 1 * 16 + 1 * 8 + 0 * 4 + 1 * 2 + 1 * 1 =27

Для упрощения вычислений удобно пользоваться таблицей степени двойки

Рис. 3. Степени двойки.

Что мы узнали?

В десятичной позиционной системе для представления числовых значений используются десять арабских цифр. Числа в такой системе можно представлять в развернутом виде. Перевод десятичных чисел в другую систему выполняется путем поочередного деления на основание новой системы счисления. Обратный перевод удобно выполнять с использованием развернутой формы записи числа.

Информатика

Использование десятичной системы счисления в информатике 8 класса не является общим заблуждением, поскольку она применяется также для кодирования информации. У нее вспомогательная роль, так как электронные вычислительные машины (ЭВМ) не обрабатывают ее напрямую, а декодируют в различные формы представления чисел. Чтобы понять суть, необходимо разобраться в некоторых теоретических аспектах.

Общие сведения

Привычной формой представления числовых величин является десятичная система счисления. Для изучения какой-либо темы специалисты рекомендуют внимательно ознакомиться с терминологией. Система счисления (СС) — набор математических символов (цифр, букв, различных элементов), при помощи которых можно записать какую-либо количественную характеристику.

Каждая форма представления имеет определенные характеристики. К ним относятся следующие:

мощность,
алфавит,
основание,
тип кодирования.

Мощность — это количество информации, которое может закодировать система исчисления. Алфавитом называется определенное множество (набор) символов математического типа, используемых для записи величин. Очень часто он представлен в виде таблицы, состоящей из двух столбцов (в первом — величина системы, а во второй — ее перевод в понятный для человека формат).

Не все ученики понимают, что такое основание системы счисления. Чтобы понять суть этого термина, нужно знать определение. Основанием СС является некоторая величина, представленная в числовом формате и характеризующая саму форму представления. Для сравнения: у десятичной оно равно 10, у двоичной — двойке и т. д.

Классификация форм представления

Системы счисления в зависимости от размещения и значимости разрядов делятся на две группы. К ним относятся следующие:

Первые состоят из цифр и элементов английского алфавита. Их размещение выполнено в разрядной сетке, каждый элемент которой имеет определенный индекс значимости. Например, дано искомое число 879. С ним необходимо выполнить самостоятельный опыт, позволяющий понять зависимость положения цифр от их расположения. Для этого нужно записать значения, полученные при их комбинации, а именно:

Всего должно получиться пять величин. После составления списка нужно воспользоваться калькулятором. На нем необходимо отнимать каждое из чисел от исходного значения. После проведения опыта можно сделать вывод о том, что размещение цифр влияет на значение величины, т. к. числа не равны между собой. О последнем факте свидетельствуют значения, отличные от нуля, т. к. разность равных величин эквивалента 0.

К позиционным формам представления можно отнести следующие системы счисления: двоичную, троичную, пятеричную, шестеричную, семеричную, восьмеричную, десятичную и шестнадцатеричную. Все они, кроме десятичной, образуют группу недесятичных систем. Однако на практике часто применяются двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная (HEX).

К унарным принадлежат системы, у которых разряды не зависят от положения. Простой пример из жизни – подсчет количества ведер картошки при сборе урожая посредством палочек или крестиков. Последние всегда равны одному значению, а при их перестановке ничего не изменяется.

Структура числа

Структура числа — это его форма представления в виде разрядной сетки. Последняя состоит из цифр (в hex могут присутствовать еще и литеры английского алфавита), расположенных на определенных позициях.

Не все ученики понимают четкое отличие числа от цифры. Следует отметить, что последняя применяется для построения чисел. Это утверждение позволяет понять, сколько цифр в десятичной системе счисления. Ответ очевиден — их всего десять, а именно: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Для более удобной записи следует применять интервалы, т. е. [0;9].

единиц – этому значению эквивалентна цифра 6,
десятков — восемь,
сотен — две,
тысяч — одна.

Теперь все четыре компонента нужно сложить в одно целое, т. е. первому элементу списка эквивалентна десятка в нулевой степени (единицы, поскольку любое число с нулевым показателем равно 1), второму – 10^1, третьему —10^2 и четвертому – 10^3.

Перед каждой десяткой должен стоять определенный коэффициент, эквивалентный цифре в числе, а именно: 6*10^0 + 8*10^1 + 2*10^2 + 1*10^3=6+80+200+1000=1286. Далее необходимо разобрать применение десятичной системы в информатике.

Такое же правило касается и двузначного кода. Например, числа [1110001] и [1100011] являются различными. Чтобы в этом убедиться, необходимо величины перевести в десятичную форму, то можно сделать вывод: 113 > 99. Очень часто преподаватели дают задание молодым математикам написать реферат о десятичной форме числа. Этот прием позволяет понять саму суть темы.

Применение в информатике

Десятичная форма практически не применяется в информатике в явном виде. Все алгоритмы, разработанные специалистами, позволяют только понять суть кодирования и декодирования информации в компьютерах и прочих устройствах вычислительной техники.

Следует отметить, что результат вычислений, который выдает ЭВМ при расчетах, в десятичном представлении необходим только человеку для удобства. Десятичная система является вспомогательной при реализации алгоритмов перевода числовых элементов из одной формы в другую.

Кроме того, в интернете существует много различных приложений для конвертации одной формы величин в другую. Специалисты рекомендуют использовать эти средства только для проверки результата на начальной стадии обучения.

Пример решения задачи

В информатике существует определенный тип задач. Они позволяют подготовить учеников к более сложным дисциплинам. Примером одной из них является программирование. Для написания программ нужно предварительно разработать соответствующий алгоритм.

Для примера требуется составить порядок действий для написания программы разложения любого числа на компоненты разрядной сетки. Методика выглядит следующим образом:

Следует отметить, что методика позволяет работать с десятизначными числами и более. Количество цифр не имеет значения. Это значит, что алгоритм можно применять для любых величин с неограниченным количеством знаков. Математики рекомендуют самостоятельно придумать числа и прогнать их по алгоритму.

Таким образом, десятичная система применяется в информатике для выполнения промежуточных вычислений, понятных пользователю персонального компьютера или другого типа вычислительных устройств.

Читайте также: