Как обозначается общая сумма выплат

Обновлено: 25.06.2024

Эта статья о суммах нескольких элементов. Для более элементарных аспектов см. Дополнение . Чтобы узнать о бесконечных суммах, см. Серии (математика) . Для использования в других целях, см Суммирование (значения) .

Суммирования бесконечных последовательностей называются сериями . Они связаны с концепцией лимита и не рассматриваются в этой статье.

Суммирование явной последовательности обозначается как последовательность сложений. Например, суммирование [1, 2, 4, 2] обозначается 1 + 2 + 4 + 2 и дает 9, то есть 1 + 2 + 4 + 2 = 9 . Поскольку сложение является ассоциативным и коммутативным , скобки не нужны, и результат один и тот же независимо от порядка слагаемых. Суммирование последовательности только одного элемента приводит к получению самого этого элемента. Суммирование пустой последовательности (последовательности без элементов) по соглашению приводит к 0.

Очень часто элементы последовательности определяются с помощью регулярного шаблона в зависимости от их места в последовательности. Для простых шаблонов суммирование длинных последовательностей может быть представлено с заменой большинства слагаемых эллипсами. Например, суммирование первых 100 натуральных чисел может быть записано как 1 + 2 + 3 + 4 + + 99 + 100 . В противном случае суммирование обозначается с использованием обозначения Σ , где - увеличенная заглавная греческая буква сигма . Например, сумму первых n натуральных чисел можно обозначить как ∑ ∑ я знак равно 1 п я . ^ я.>

Для длинных суммирований и суммирований переменной длины (определяемых с помощью эллипсов или обозначений Σ) поиск выражений результата в замкнутой форме является общей проблемой . Например,

Хотя такие формулы не всегда существуют, было обнаружено множество формул суммирования, при этом некоторые из наиболее распространенных и элементарных из них перечислены в оставшейся части этой статьи.

СОДЕРЖАНИЕ

Обозначение

Обозначение заглавной буквы

Математические обозначения используется символ , который компактно представляет суммирование многих подобных слагаемых: символ суммирования , , увеличенный вид вертикального капитала греческой буквы сигма . Это определяется как ∑

Вот пример суммирования квадратов:

∑ я знак равно 3 6 я 2 знак равно 3 2 + 4 2 + 5 2 + 6 2 знак равно 86. ^ i ^ = 3 ^ + 4 ^ + 5 ^ + 6 ^ = 86.>

В целом, в то время как любая переменная может быть использована в качестве индекса суммирования ( при условии , что никакой неоднозначности не понесены), некоторые из наиболее распространенных из них включают в себя буквы , такие как , , , и ; последнее также часто используется для оценки сверху суммирования. я j k п

В качестве альтернативы, индекс и границы суммирования иногда не включаются в определение суммирования, если контекст достаточно ясен. Это особенно актуально, когда индекс работает от 1 до n . Например, можно написать так:

Часто встречаются обобщения этой нотации, в которых предоставляется произвольное логическое условие, и предполагается, что сумма берется по всем значениям, удовлетворяющим условию. Например:

является суммой всех ( целых чисел ) в указанном диапазоне, ж ( k ) k

является суммой всех элементов в наборе , а ж ( Икс ) Икс S

Есть также способы обобщить использование многих сигма-знаков. Например,

Аналогичное обозначение применяется, когда дело доходит до обозначения произведения последовательности , которое похоже на его суммирование, но которое использует операцию умножения вместо сложения (и дает 1 для пустой последовательности вместо 0). Используется та же основная структура с увеличенной формой греческой заглавной буквы пи , заменяющей . ∏ ∑

Особые случаи

Можно суммировать менее 2 чисел:

Если в суммировании есть одно слагаемое , то оцененная сумма равна . Икс Икс
Если в суммировании нет слагаемых, то оцененная сумма равна нулю , потому что ноль - это тождество для сложения. Это называется пустой суммой .

Эти вырожденные случаи обычно используются только тогда, когда обозначение суммирования дает вырожденный результат в частном случае. Например, если в приведенном выше определении имеется только один член в сумме; если , то нет. п знак равно м п знак равно м - 1

Формальное определение

Суммирование может быть определено рекурсивно следующим образом:

Обозначения теории меры

В обозначениях теории меры и интегрирования сумма может быть выражена в виде определенного интеграла ,

Исчисление конечных разностей

Для функции f , определенной над целыми числами в интервале [ m , n ] , выполняется следующее уравнение:

ж ( п ) - ж ( м ) знак равно ∑ я знак равно м п - 1 ( ж ( я + 1 ) - ж ( я ) ) . ^ (f (i + 1) -f (i)).>

ж ′ ( Икс ) знак равно Lim час → 0 ж ( Икс + час ) - ж ( Икс ) час >>

Пример применения вышеуказанного уравнения следующий:

Используя биномиальную теорему , это можно переписать как:

Вышеупомянутая формула чаще используется для инвертирования разностного оператора , определяемого следующим образом: Δ

Δ ( ж ) ( п ) знак равно ж ( п + 1 ) - ж ( п ) ,

где f - функция, определенная на неотрицательных целых числах. Таким образом, при такой функции F , проблема в том , чтобы вычислить antidifference из F , функции такой , что . То есть эта функция определена с точностью до константы и может быть выбрана как F знак равно Δ - 1 ж f> Δ F знак равно ж F ( п + 1 ) - F ( п ) знак равно ж ( п ) .

F ( п ) знак равно ∑ я знак равно 0 п - 1 ж ( я ) . ^ f (i).>

Не всегда существует выражение в замкнутой форме для такого суммирования, но формула Фаульхабера обеспечивает замкнутую форму в случае, когда и, по линейности , для каждой полиномиальной функции от n . ж ( п ) знак равно п k >

Аппроксимация определенными интегралами

Многие такие приближения могут быть получены с помощью следующей связи между суммами и интегралами , которая имеет место для любой возрастающей функции f :

∫ s знак равно а - 1 б ж ( s ) d s ≤ ∑ я знак равно а б ж ( я ) ≤ ∫ s знак равно а б + 1 ж ( s ) d s . ^ f (s) \ ds \ leq \ sum _ ^ f (i) \ leq \ int _ ^ f (s) \ ds.>

и для любой убывающей функции f :

∫ s знак равно а б + 1 ж ( s ) d s ≤ ∑ я знак равно а б ж ( я ) ≤ ∫ s знак равно а - 1 б ж ( s ) d s . ^ f (s) \ ds \ leq \ sum _ ^ f (i) \ leq \ int _ ^ f (s) \ ds.>

Для более общих приближений см. Формулу Эйлера – Маклорена .

Для суммирования, в котором слагаемое задается (или может быть интерполировано) интегрируемой функцией индекса, суммирование можно интерпретировать как сумму Римана, входящую в определение соответствующего определенного интеграла. Поэтому можно ожидать, например, что

так как правая часть по определению является пределом для левой части. Однако для данного суммирования n фиксировано, и мало что можно сказать об ошибке в приведенном выше приближении без дополнительных предположений относительно f : очевидно, что для сильно осциллирующих функций сумма Римана может быть сколь угодно далека от интеграла Римана. п → ∞

Идентичности

В приведенных ниже формулах используются конечные суммы; для бесконечного суммирования или конечного суммирования выражений, включающих тригонометрические функции или другие трансцендентные функции , см. список математических рядов .

Общая идентичность

Степени и логарифм арифметических прогрессий

Индекс суммирования в показателях

В следующих суммированиях предполагается , что a отличается от 1.

Биномиальные коэффициенты и факториалы

Существует очень много тождеств суммирования, включающих биномиальные коэффициенты (целая глава Конкретной математики посвящена только основным методам). Вот некоторые из самых основных.

Что такое расчетный листок по зарплате

Это документ, в котором приводится полная расшифровка начислений в пользу работника и удержаний из заработной платы. Правовым основанием для составления и выдачи расчетного листка является статья 136 ТК РФ. Она гласит, что при выплате зарплаты работодатель должен известить сотрудника: о ее составных частях; о размерах иных начисленных сумм (в т.ч. компенсации за нарушение сроков выплат сумм, причитающихся работнику); об удержаниях и об общей сумме, подлежащей выплате. А ниже в статье 136 ТК РФ сказано, что форма расчетного листка утверждается работодателем.

Таким образом, извещать работников о начислениях и удержаниях нужно с помощью расчетного листка.

Ведите табель и рассчитывайте зарплату в веб‑сервисе Попробовать бесплатно

Для кого нужно сделать расчетный лист

Кто составляет расчетный лист

В Трудовом кодексе и других нормативных актах не сказано, кто именно составляет и выдает расчетные листки от имени работодателя. Соответственно, компания вправе самостоятельно назначить ответственных лиц. Это могут быть как сотрудники бухгалтерии, так и работники кадровой или иной службы. При этом допустимо разделение функций. Так, составлять зарплатные квитки может одно подразделение (например, бухгалтерия), а выдавать или рассылать — другие подразделения или лица (ИТ-служба, кассир, непосредственный руководитель и проч.).

Законодательство не требует заверять расчетные листки подписью лица, ответственного за их выдачу, либо руководителя организации, а также ставить на них печать. В то же время работодатель вправе утвердить форму листка, которая содержит такие обязательные реквизиты, как подпись и (или) печать. Это не является нарушением.

Составляйте кадровые документы в веб‑сервисе по готовым шаблонам Составить бесплатно

Образец расчетного листка по зарплате

Как уже упоминалось, форму зарплатного квитка утверждает работодатель (ст. 136 ТК РФ). Для этого нужно издать приказ или распоряжение. Применение неутвержденной формы является нарушением трудового законодательства. Работодатель, допустивший такое нарушение, может быть оштрафован на основании части 1 статьи 5.27 КоАП РФ (см. постановление Верховного суда РФ от 23.12.10 № 75-АД10-3).

Образец расчетного листка

Структурное подразделение, должность _________________________________

Работник ____________________ Табельный номер __________

Период начисления __________________(указывается месяц)

Всего начислено: _________________ руб.

в том числе (по видам выплат):

в том числе (по видам удержаний):

Общая сумма, подлежащая выплате за (указывается месяц): ____________________руб.

Всего выплачено ____________________ руб.,

по расчетной ведомости

от _________ № __

по расчетной ведомости

от _________ № __

в натуральной форме

Правила формирования расчетного листка

Согласно части 1 статьи 136 ТК РФ, в расчетном листке указывается следующая информация:

о составных частях заработной платы работника за соответствующий период;
о размерах иных начисленных сумм. К ним, в частности, относится денежная компенсация за нарушение работодателем установленного срока выплаты зарплаты, оплаты отпуска, выплат при увольнении и др.;
о размерах и основаниях произведенных удержаний;
об общей денежной сумме, подлежащей выплате.

Даже если зарплата всегда выдается вовремя, расчетный листок должен содержать реквизит, поле или место для указания информации о сумме начисленной компенсации за нарушение работодателем срока выплаты. Ведь эта информация включается в листок в силу прямого указания статьи 136 ТК РФ. Если в утвержденной форме расчетного листка нет такого реквизита (поля, места), это обстоятельство может стать основанием для применения штрафа, предусмотренного частью 1 статьи 5.27.1 КоАП (постановление Верховного суда от 03.08.17 № 73-АД17-2).

Как передать расчетный лист работнику

Срок выдачи зарплатных квитков

Однако Минтруд в письме от 24.05.18 № 14-1/ООГ-4375 разъяснил следующее: при применении систем оплаты труда, в которых работникам устанавливаются оклады или месячные тарифные ставки, допустимо оформлять расчетные листки с указанием начисленной месячной заработной платы. Другими словами, таким работникам квиток с расшифровкой начислений и удержаний можно выдавать один раз в месяц. Аналогичный вывод содержится в письме Роструда от 17.09.21 № ПГ/26944-6-1.

А вот при выплате отпускных составлять расчетные листки не нужно. Это связано с тем, что отпуск оплачиваются исходя из среднего заработка. А значит, такая оплата не является выплатой зарплаты. Поэтому нет и оснований выдавать квитки с расшифровкой зарплаты при перечислении отпускных (письмо Роструда от 24.12.07 № 5277-6-1).

Подтверждение выдачи расчетных листков

Как уже говорилось, Трудовой кодекс не регулирует порядок передачи работникам листков с расшифровкой зарплаты. В том числе, не регламентирован вопрос о необходимости подтверждения факта выдачи этого документа. Но поскольку за его невыдачу установлена ответственность, все же целесообразно иметь такое подтверждение.

Понятно, что если зарплатные квитки направляются работникам в электронной форме, то соответствующий факт будет зафиксирован самой системой рассылки (в электронной почте, логах корпоративного портала).

Если нет подтверждающих документов, факт выдачи зарплатных листков можно подтвердить свидетельскими показаниями работников (решение Интинского городского суда Республики Коми от 10.04.18 № 2-166/2018).

Ответственность работодателя

Невыдача расчетных листков может стать поводом для привлечения виновных к административной ответственности за нарушение трудового законодательства. На основании части 1 статьи 5.27 КоАП РФ штраф на юрлиц составит от 30 000 до 50 000 руб., на ИП и должностных лиц компании — от 1 000 до 5 000 руб.

Вместо штрафа малому или среднему предприятию могут вынести предупреждение. Эта льгота действует, если нарушение совершено впервые и отсутствует имущественный ущерб (ст. 4.1.1 КоАП РФ).

При повторном нарушении штрафы вырастут и составят: для организаций — от 50 000 до 70 000 руб.; для ИП и должностных лиц — от 10 000 до 20 000 руб. (ч. 2 ст. 5.27 КоАП РФ). Вместо штрафа руководителя компании, допустившего повторное нарушение, могут дисквалифицировать на срок от одного года до трех лет.

Читайте также: