Как найти более тяжелый шарик используя весы и имея право всего на два взвешивания
Обновлено: 30.06.2024
(За страницами учебника математики)
5-6 класс
Основа хорошего понимания математики – умение считать, думать, рассуждать, находить удачные способы решения задач. Чтобы научиться правильно рассуждать, нужно решать задачи на смекалку. Одним из классов задач такого вида являются задачи на взвешивания.
I. ЗАДАЧИ НА СРАВНЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ВЕСОВ
ЗАДАЧА 3. Арбуз и лимон весят столько, сколько дыня. Два арбуза весят столько, сколько дыня и лимон вместе. Сколько надо лимонов, чтобы уравнять в весе дыню? Ответ: 3.
ЗАДАЧА 4. 4 чашки и 1 кувшин весят столько, сколько весят 17 свинцовых шариков. 1 кувшин весит столько же, сколько 7 свинцовых шариков и 1 чашка. Сколько шариков уравновешивает кувшин?
II. ЗАДАЧИ НА ВЗВЕШИВАНИЯ НА ВЕСАХ С ГИРЯМИ
ЗАДАЧА 6. На одной чашке весов лежит кусок мыла, а на другой три четверти такого куска и еще три четверти килограмма. Весы находятся в равновесии. Сколько весит кусок мыла?
Решение: Разделим кусок мыла на 4 равные части, тогда 4 равные части куска мыла = 3 такие же части мыла + 3/4 кг. Снимем с каждой чашки по 3 части, получим: 1 часть = 3/4 кг, значит, целый кусок весит 3 кг. Ответ: 3 кг.
ЗАДАЧА 7. У хозяйки есть рычажные весы и гиря в 100 г. Как за 3 взвешивания она может отвесить 700 г крупы?
Решение: Здесь придется использовать взвешенную крупу в качестве гири.
ЗАДАЧА 8. На плохо отрегулированных весах бабушка взвесила два пакета сахарного песка – получилось 500 г и 300 г. Когда же она взвесила на тех же весах оба пакета вместе, то получилось 900 г. Определите по этим данным вес каждого пакета.
ЗАДАЧА 9. Докажите, что любой груз в целое число граммов, меньше 7, можно взвесить, имея гирьки в 3 г и 5 г.
III. ЗАДАЧИ НА ВЗВЕШИВАНИЯ НА ВЕСАХ БЕЗ ГИРЬ
Решение: На чашки весов надо положить по одной монете, а третью монету отложить в сторону. При взвешивании получиться два результата – монеты на весах одинакового веса (рис. а) и одна монета на весах тяжелее (рис. б). Если монеты одинакового веса, то фальшивой является третья отложенная монета. Во втором случае фальшивой является более легкая монета.
ЗАДАЧА 12. Буратино имеет четыре одинаковых по виду монеты, одна из которых не золотая, а фальшивая и легче других. Как Буратино определить фальшивую монету? Какое минимальное число взвешиваний ему потребуется?
Решение: Разделим монеты на 2 равных кучки – по 2 монеты. Положим на чаши весов. В более легкой кучке находится фальшивая монета. Теперь кладем на чаши весов по 1 монете из этой кучки – фальшивкой является более легкая. Буратино потребуется два взвешивания.
ЗАДАЧА 13. Имеются чашечные весы без гирь и 5 одинаковых по виду монет, одна из них фальшивая (легче других). За какое минимальное число взвешиваний можно найти фальшивую монету?
Решение: Кладем на каждую чашу весов по 2 монеты. Если вес одинаковый, то оставшаяся монета фальшивая. Если же одна группа из двух монет легче другой, значит, там фальшивая монета. Оставляем более легкую группу из двух монет и кладем на чаши весов по 1 монете – фальшивкой является более легкая. Ответ: за 2 взвешивания.
ЗАДАЧА 14. Имеются 8 с виду одинаковых монет. Одна из них фальшивая и известно, что она легче настоящей. Как с помощью всего лишь двух взвешиваний найти фальшивую монету? В вашем распоряжении только лабораторные весы, которые показывают только больше-меньше.
Решение: Кладем на каждую чашу весов по 3 монеты. Если вес одинаковый, то взвешиваем оставшиеся 2 монеты (по одной на каждую чашу весов) и выявляем фальшивую (более легкую). Если же одна группа из трех монет легче другой, значит, там фальшивая монета. Оставляем более легкую группу из трех монет и кладем на весы по одной монете и кладем на весы по одной монете и действуем по предыдущему алгоритму: если вес одинаков, значит, фальшива третья, а если нет, то та, которая легче.
ЗАДАЧА 15. Из девяти монет одна фальшивая – она легче остальных. Как за два взвешивания на чашечных весах без гирь можно определить фальшивую монету?
Решение: Разделим 9 монет на 3 равных кучки. Положим на чаши весов первую и вторую кучки; по результату этого взвешивания мы точно узнаем, в какой из кучек находится фальшивка (если весы покажут равенство, то она - в третьей кучке). Остается из трех монет определить более легкую: кладем на чаши весов по 1 монете - фальшивкой является более легкая; если же на весах равенство, то фальшивой является третья монета.
ЗАДАЧА 16. Имеется 10 монет. Одна из них фальшивая и легче настоящей монеты. Как, с помощью чашечных весов без гирь, определить какая из монет фальшивая?
Решение: Разделим 10 монет на 2 равных кучки – по 5 монет. Положим на чаши весов. Определим, в какой из этих кучек находится фальшивая монета. Теперь эту кучку делим на 3 кучки – в двух из них по две монеты, в третьей одна монета. Взвешиваем кучки, в которых по две монеты. Если весы покажут равенство, то фальшивка в третьей кучке. Если покажут неравенство, то фальшивая монета в кучке, которая легче. Теперь кладем на чаши весов по 1 монете из этой кучки – фальшивкой является более легкая. Задача решена.
ЗАДАЧА 17. Из 27 монет одна фальшивая – она легче остальных. За какое наименьшее число взвешиваний на чашечных весах без гирь можно определить фальшивую монету?
Решение: Разделим монеты на 3 кучки по 9 монет. Положим на чаши весов первую и вторую кучки; по результату этого взвешивания мы точно узнаем, в какой из кучек находится фальшивка (если весы покажут равенство, то она - в третьей кучке). Теперь, аналогично, разделим выбранную кучку на три части по три монеты, положим на весы две из этих частей и определим, в какой из частей находится фальшивая монета. Наконец, остается из трех монет определить более тяжелую: кладем на чаши весов по 1 монете - фальшивкой является более тяжелая; если же на весах равенство, то фальшивой является третья монета из части. Задача решена.
ВНИМАНИЕ! В следующих задачах неизвестно фальшивая монета легче или тяжелее настоящей.
ЗАДАЧА 18. Из 3 одинаковых с виду монет одна фальшивая, но неизвестно, она тяжелее или легче остальных. Как определить фальшивую монету, сделав не более двух взвешиваний на чашечных весах без гирь?
ЗАДАЧА 19. У Буратино среди 15 одинаковых с виду монет одна фальшивая. Неизвестно, она тяжелее или легче остальных. Как узнать, фальшивая монета тяжелее или легче настоящих, сделав не более двух взвешиваний на чашечных весах без гирь?
Решение: Буратино может разделить свои монеты на три кучки по 7, 4, 4, или по 5, 5, 5, или по 3, 6, 6, или по 1, 7, 7 монет. При первом взвешивании он положит на весы две кучки монет одинаковой величины. Если при этом весы оказались в равновесии, значит, все монеты на весах настоящие, а бракованная монета в оставшейся кучке. Тогда при втором взвешивании на одну чашку весов Буратино положит кучку с бракованной монетой, а на вторую – столько настоящих монет, сколько всего монет он положил на первую чашку, и тогда он сразу определит, легче фальшивая монета, чем настоящие, или тяжелее. Если же при первом взвешивании весы оказались не в равновесии, значит, все монеты в оставшейся кучке настоящие. Тогда Буратино уберет с весов легкую кучку, а монеты из тяжелой кучки разделит на две равные части и положит на весы (если в кучке было 5 или 7 монет, предварительно добавит к ним одну настоящую монету). Если при втором взвешивании весы оказались в равновесии, значит, фальшивая монета легче настоящих, а если нет, то тяжелее. Задача решена.
ЗАДАЧА 20. Из 60 одинаковых по виду монет одна отличается от других по массе. Двумя взвешиваниями определить, легче она или тяжелее остальных.
Решение: Возможны 3 случая: 2 случай: 1-я группа монет легче 2-й группы. Тогда 3-я гр. – настоящая. 1) Разделим детали на 3 группы по 20 штук. Взвесим детали 1-й и 3-й группы. Если весы уравновесятся, то фальшивая монета – во 2-й группе, и она более тяжёлая. 1 случай: их вес одинаков. Тогда фальшивая монета – в 3-й группе. 2) Взвесим монеты 1-й и 2-й группы. Взвесим монеты 1-й и 3-й группы. Если 3-я группа будет легче, значит и фальшивая монета более лёгкая; если 3-я группа будет тяжелее, значит и фальшивая монета более тяжёлая. Если монеты 1-й группы весят меньше монет 3-й группы, то фальшивая монета – в 1-й группе, и она более лёгкая. 3-й случай опишите самостоятельно.
ЗАДАЧА 21. Среди 101 одинаковых по виду монет одна фальшивая, отличающаяся по весу. Как с помощью чашечных весов без гирь за два взвешивания определить, легче или тяжелее фальшивая монета? Находить фальшивую монету не требуется.
Решение: Взвешиваем 50 и 50 монет: два случая. 1 случай. Равенство. Берем оставшуюся монету и ставим ее в левую кучку вместо одной из имеющихся там: а) Левая кучка тяжелее => фальшивая монета тяжелее; б) Левая кучка легче => фальшивая монета легче. 2 случай. Неравенство. Берем более тяжелую кучку и разбиваем ее на две кучки по 25 монет: а) Вес кучек одинаковый => фальшивая монета легче; б) Вес кучек неодинаковый => фальшивая монета тяжелее.
ВНИМАНИЕ! В следующих задачах вид весов изменился!
ЗАДАЧА 22. Имеются три мешка с монетами, в двух из них настоящие монеты весом 10 г каждая, а в одном фальшивые монеты весом 9 г каждая. Есть весы, показывающие общий вес положенных на них монет. Как с помощью одного взвешивания найти, в каком мешке фальшивые монеты, если из любого мешка можно брать любое число монет для взвешивания?
Замечание: Взвешивать одну монету из какого-либо мешка или две монеты из двух разных мешков не стоит, так как может понадобиться еще одно взвешивание (выясните, в каком случае). Взвешивать три монеты – по одной монете из каждого мешка – незачем, их вес известен: 10 + 10 + 9 + = 29 (г.) Придумайте еще какой-нибудь способ взвешивания, чтобы решить задачу.
Решение: Возьмем из первого мешка 1 монету, из второго – 2 монеты, из третьего – 3 монеты. Возможны три случая: 1) фальшивые монеты в первом мешке, тогда вес взятых монет: 1 • 9 + 2 • 10 + 3 • 10 = 59 (г); 2) фальшивые монеты во втором мешке, тогда вес взятых монет: 1 • 10 + 2 • 9 + 3 • 10 = 58 (г); 3) фальшивые монеты в третьем мешке, тогда вес взятых монет: 1 • 10 + 2 • 10 + 3 • 9 = 57 (г).
Заметим, что в первом, втором и третьем случаях вес взятых монет на 1, 2, 3 г отличается от веса такого же количества настоящих монет, т.е. от (1 + 2 + 3) • 10 = 60 (г). Это означает, что, взвесив 6 монет и получив результат 59, 58 или 57 г, мы будем знать, сколько граммов не хватает до 60 г, – это число укажет нам номер мешка с фальшивыми монетами.
Имеется 10 мешков монет. В одном мешке все монеты фальшивые. Подлинная монета весит 10 грамм, а Фальшивая монета весит 9 грамм. Как при помощи одного взвешивания на весах с делениями определить мешок с фальшивыми монетами?
Решение
Для начала надо пронумеровать все мешки от 1 до 10, далее необходимо взять из каждого мешка столько монет, сколько составляет его порядковый номер (от 1 до 10). Если бы все монеты были настоящие, то куча монет бы весила 550 грамм (1 + 2 + 3 . + 10) * 10 = 550. Если мешок с фальшивыми монетами имеет номер N (N = от 1 до 10), то взятые из мешков монеты будут весить на N граммов меньше, следовательно, взятая куча монет будет весить меньше на N грамм. Т.е. на сколько грамм куча по весу отличается от 550 грамм, такой по счету мешок содержит фальшивые монеты.
Восемь мешков
У вас имеется 8 мешков с монетами, по 48 монет в каждом. В пяти мешках настоящие монеты, а в остальных – фальшивые. Фальшивые монеты на 1 грамм легче настоящих. С помощью одного взвешивания на точных весах определите все мешки с фальшивыми монетами, используя минимальное количество монет.
Решение
Новогодние шары
На новогодней ёлке висят три пары шаров: два белых, два голубых и два красных. Внешне шары одинаковые. Однако в каждой паре есть один лёгкий и один тяжёлый шар. Все лёгкие шары весят между собой одинаково, и так же все тяжёлые шары. С помощью двух взвешиваний на чашечных весах определите все лёгкие и все тяжёлые шары.
Решение
Положите один красный и один белый шар на левую чашу весов, а на правую чашу один синий и второй белый шар. Если достигнуто равновесие, то очевидно, что на каждой чаше есть один тяжёлый и один лёгкий шар. Поэтому достаточно сравнить два белых шара, чтобы узнать ответ на интересующий нас вопрос. Однако если после первого взвешивания равновесие не достигнуто, то на той стороне, что тяжелее, лежит тяжёлый белый шар. Следующим логическим шагом будет сравнение веса уже взвешенного красного шара и еще не взвешенного синего шара. После этого Вам будет ясно, какие шары лёгкие, а какие тяжёлые.
Девять мешков
Имеется девять мешков: восемь с песком и один с золотом. Мешок с золотом немного тяжелее. Вам даётся два взвешивания на чашечных весах, чтобы найти мешок с золотом.
Решение
Разделите девять мешков на три группы по три мешка каждая. Взвесьте две группы. Таким образом, Вы узнаете, в какой из групп мешок с золотом. Теперь выберите 2 мешка из той группы, где точно есть мешок с золотом, и взвесьте их.
27 теннисных мячей
Имеется 27 теннисных мячей. 26 весят одинаково, а 27-й немного тяжелее. Какое минимальное количество взвешиваний на чашечных весах гарантирует нахождение тяжёлого мячика?
Решение
Достаточно воспользоваться весами три раза. Разделите 27 мячей на 3 группы, по 9 мячей в каждой. Сравните две группы – тяжелый мячик окажется в той группе, которая перевесит. Если весы достигли равновесия, то тяжёлый мячик в третьей группе. Таким образом, мы определим группу из 9 мячиков, один из которых искомый. Поделите эту группу на 3 подгруппы, по три мячика в каждой. Аналогично первому шагу сравните вес двух любых подгрупп. Теперь сравните два мячика (два из трех, среди которых точно должен быть искомый).
Расколотая гиря
Купец уронил 40-фунтовую гирю, и она раскололась на 4 неравные части. Когда эти части взвесили, то оказалось, что вес каждой из них (в фунтах) – целое число. Более того, с помощью этих частей можно было взвесить на чашечных весах любой вес (представляющий собой целое число) до 40 фунтов. Сколько весила каждая часть?
Решение
Осколки весили: 1 фунт, 3 фунта, 9 фунтов и 27 фунтов, что в сумме дает 40 фунтов.
Гвозди в мешке
В мешке 24 кг гвоздей. Каким образом можно на чашечных весах без гирь отмерить 9 кг гвоздей?
Решение
Один из вариантов: разделите 24 кг на две равные части по 12 кг, уравновесив их на чашах весов. Затем так же разделить 12 кг на две равные части по 6 кг. После этого отложить одну часть, а другую разделить таким же способом на части по 3 кг. Наконец к шестикилограммовой части добавьте эти 3 кг. В результате получится 9 кг гвоздей.
(За страницами учебника математики)
5-6 класс
Основа хорошего понимания математики – умение считать, думать, рассуждать, находить удачные способы решения задач. Чтобы научиться правильно рассуждать, нужно решать задачи на смекалку. Одним из классов задач такого вида являются задачи на взвешивания.
I. ЗАДАЧИ НА СРАВНЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ВЕСОВ
ЗАДАЧА 3. Арбуз и лимон весят столько, сколько дыня. Два арбуза весят столько, сколько дыня и лимон вместе. Сколько надо лимонов, чтобы уравнять в весе дыню? Ответ: 3.
ЗАДАЧА 4. 4 чашки и 1 кувшин весят столько, сколько весят 17 свинцовых шариков. 1 кувшин весит столько же, сколько 7 свинцовых шариков и 1 чашка. Сколько шариков уравновешивает кувшин?
II. ЗАДАЧИ НА ВЗВЕШИВАНИЯ НА ВЕСАХ С ГИРЯМИ
ЗАДАЧА 6. На одной чашке весов лежит кусок мыла, а на другой три четверти такого куска и еще три четверти килограмма. Весы находятся в равновесии. Сколько весит кусок мыла?
Решение: Разделим кусок мыла на 4 равные части, тогда 4 равные части куска мыла = 3 такие же части мыла + 3/4 кг. Снимем с каждой чашки по 3 части, получим: 1 часть = 3/4 кг, значит, целый кусок весит 3 кг. Ответ: 3 кг.
ЗАДАЧА 7. У хозяйки есть рычажные весы и гиря в 100 г. Как за 3 взвешивания она может отвесить 700 г крупы?
Решение: Здесь придется использовать взвешенную крупу в качестве гири.
ЗАДАЧА 8. На плохо отрегулированных весах бабушка взвесила два пакета сахарного песка – получилось 500 г и 300 г. Когда же она взвесила на тех же весах оба пакета вместе, то получилось 900 г. Определите по этим данным вес каждого пакета.
ЗАДАЧА 9. Докажите, что любой груз в целое число граммов, меньше 7, можно взвесить, имея гирьки в 3 г и 5 г.
III. ЗАДАЧИ НА ВЗВЕШИВАНИЯ НА ВЕСАХ БЕЗ ГИРЬ
Решение: На чашки весов надо положить по одной монете, а третью монету отложить в сторону. При взвешивании получиться два результата – монеты на весах одинакового веса (рис. а) и одна монета на весах тяжелее (рис. б). Если монеты одинакового веса, то фальшивой является третья отложенная монета. Во втором случае фальшивой является более легкая монета.
ЗАДАЧА 12. Буратино имеет четыре одинаковых по виду монеты, одна из которых не золотая, а фальшивая и легче других. Как Буратино определить фальшивую монету? Какое минимальное число взвешиваний ему потребуется?
Решение: Разделим монеты на 2 равных кучки – по 2 монеты. Положим на чаши весов. В более легкой кучке находится фальшивая монета. Теперь кладем на чаши весов по 1 монете из этой кучки – фальшивкой является более легкая. Буратино потребуется два взвешивания.
ЗАДАЧА 13. Имеются чашечные весы без гирь и 5 одинаковых по виду монет, одна из них фальшивая (легче других). За какое минимальное число взвешиваний можно найти фальшивую монету?
Решение: Кладем на каждую чашу весов по 2 монеты. Если вес одинаковый, то оставшаяся монета фальшивая. Если же одна группа из двух монет легче другой, значит, там фальшивая монета. Оставляем более легкую группу из двух монет и кладем на чаши весов по 1 монете – фальшивкой является более легкая. Ответ: за 2 взвешивания.
ЗАДАЧА 14. Имеются 8 с виду одинаковых монет. Одна из них фальшивая и известно, что она легче настоящей. Как с помощью всего лишь двух взвешиваний найти фальшивую монету? В вашем распоряжении только лабораторные весы, которые показывают только больше-меньше.
Решение: Кладем на каждую чашу весов по 3 монеты. Если вес одинаковый, то взвешиваем оставшиеся 2 монеты (по одной на каждую чашу весов) и выявляем фальшивую (более легкую). Если же одна группа из трех монет легче другой, значит, там фальшивая монета. Оставляем более легкую группу из трех монет и кладем на весы по одной монете и кладем на весы по одной монете и действуем по предыдущему алгоритму: если вес одинаков, значит, фальшива третья, а если нет, то та, которая легче.
ЗАДАЧА 15. Из девяти монет одна фальшивая – она легче остальных. Как за два взвешивания на чашечных весах без гирь можно определить фальшивую монету?
Решение: Разделим 9 монет на 3 равных кучки. Положим на чаши весов первую и вторую кучки; по результату этого взвешивания мы точно узнаем, в какой из кучек находится фальшивка (если весы покажут равенство, то она - в третьей кучке). Остается из трех монет определить более легкую: кладем на чаши весов по 1 монете - фальшивкой является более легкая; если же на весах равенство, то фальшивой является третья монета.
ЗАДАЧА 16. Имеется 10 монет. Одна из них фальшивая и легче настоящей монеты. Как, с помощью чашечных весов без гирь, определить какая из монет фальшивая?
Решение: Разделим 10 монет на 2 равных кучки – по 5 монет. Положим на чаши весов. Определим, в какой из этих кучек находится фальшивая монета. Теперь эту кучку делим на 3 кучки – в двух из них по две монеты, в третьей одна монета. Взвешиваем кучки, в которых по две монеты. Если весы покажут равенство, то фальшивка в третьей кучке. Если покажут неравенство, то фальшивая монета в кучке, которая легче. Теперь кладем на чаши весов по 1 монете из этой кучки – фальшивкой является более легкая. Задача решена.
ЗАДАЧА 17. Из 27 монет одна фальшивая – она легче остальных. За какое наименьшее число взвешиваний на чашечных весах без гирь можно определить фальшивую монету?
Решение: Разделим монеты на 3 кучки по 9 монет. Положим на чаши весов первую и вторую кучки; по результату этого взвешивания мы точно узнаем, в какой из кучек находится фальшивка (если весы покажут равенство, то она - в третьей кучке). Теперь, аналогично, разделим выбранную кучку на три части по три монеты, положим на весы две из этих частей и определим, в какой из частей находится фальшивая монета. Наконец, остается из трех монет определить более тяжелую: кладем на чаши весов по 1 монете - фальшивкой является более тяжелая; если же на весах равенство, то фальшивой является третья монета из части. Задача решена.
ВНИМАНИЕ! В следующих задачах неизвестно фальшивая монета легче или тяжелее настоящей.
ЗАДАЧА 18. Из 3 одинаковых с виду монет одна фальшивая, но неизвестно, она тяжелее или легче остальных. Как определить фальшивую монету, сделав не более двух взвешиваний на чашечных весах без гирь?
ЗАДАЧА 19. У Буратино среди 15 одинаковых с виду монет одна фальшивая. Неизвестно, она тяжелее или легче остальных. Как узнать, фальшивая монета тяжелее или легче настоящих, сделав не более двух взвешиваний на чашечных весах без гирь?
Решение: Буратино может разделить свои монеты на три кучки по 7, 4, 4, или по 5, 5, 5, или по 3, 6, 6, или по 1, 7, 7 монет. При первом взвешивании он положит на весы две кучки монет одинаковой величины. Если при этом весы оказались в равновесии, значит, все монеты на весах настоящие, а бракованная монета в оставшейся кучке. Тогда при втором взвешивании на одну чашку весов Буратино положит кучку с бракованной монетой, а на вторую – столько настоящих монет, сколько всего монет он положил на первую чашку, и тогда он сразу определит, легче фальшивая монета, чем настоящие, или тяжелее. Если же при первом взвешивании весы оказались не в равновесии, значит, все монеты в оставшейся кучке настоящие. Тогда Буратино уберет с весов легкую кучку, а монеты из тяжелой кучки разделит на две равные части и положит на весы (если в кучке было 5 или 7 монет, предварительно добавит к ним одну настоящую монету). Если при втором взвешивании весы оказались в равновесии, значит, фальшивая монета легче настоящих, а если нет, то тяжелее. Задача решена.
ЗАДАЧА 20. Из 60 одинаковых по виду монет одна отличается от других по массе. Двумя взвешиваниями определить, легче она или тяжелее остальных.
Решение: Возможны 3 случая: 2 случай: 1-я группа монет легче 2-й группы. Тогда 3-я гр. – настоящая. 1) Разделим детали на 3 группы по 20 штук. Взвесим детали 1-й и 3-й группы. Если весы уравновесятся, то фальшивая монета – во 2-й группе, и она более тяжёлая. 1 случай: их вес одинаков. Тогда фальшивая монета – в 3-й группе. 2) Взвесим монеты 1-й и 2-й группы. Взвесим монеты 1-й и 3-й группы. Если 3-я группа будет легче, значит и фальшивая монета более лёгкая; если 3-я группа будет тяжелее, значит и фальшивая монета более тяжёлая. Если монеты 1-й группы весят меньше монет 3-й группы, то фальшивая монета – в 1-й группе, и она более лёгкая. 3-й случай опишите самостоятельно.
ЗАДАЧА 21. Среди 101 одинаковых по виду монет одна фальшивая, отличающаяся по весу. Как с помощью чашечных весов без гирь за два взвешивания определить, легче или тяжелее фальшивая монета? Находить фальшивую монету не требуется.
Решение: Взвешиваем 50 и 50 монет: два случая. 1 случай. Равенство. Берем оставшуюся монету и ставим ее в левую кучку вместо одной из имеющихся там: а) Левая кучка тяжелее => фальшивая монета тяжелее; б) Левая кучка легче => фальшивая монета легче. 2 случай. Неравенство. Берем более тяжелую кучку и разбиваем ее на две кучки по 25 монет: а) Вес кучек одинаковый => фальшивая монета легче; б) Вес кучек неодинаковый => фальшивая монета тяжелее.
ВНИМАНИЕ! В следующих задачах вид весов изменился!
ЗАДАЧА 22. Имеются три мешка с монетами, в двух из них настоящие монеты весом 10 г каждая, а в одном фальшивые монеты весом 9 г каждая. Есть весы, показывающие общий вес положенных на них монет. Как с помощью одного взвешивания найти, в каком мешке фальшивые монеты, если из любого мешка можно брать любое число монет для взвешивания?
Замечание: Взвешивать одну монету из какого-либо мешка или две монеты из двух разных мешков не стоит, так как может понадобиться еще одно взвешивание (выясните, в каком случае). Взвешивать три монеты – по одной монете из каждого мешка – незачем, их вес известен: 10 + 10 + 9 + = 29 (г.) Придумайте еще какой-нибудь способ взвешивания, чтобы решить задачу.
Решение: Возьмем из первого мешка 1 монету, из второго – 2 монеты, из третьего – 3 монеты. Возможны три случая: 1) фальшивые монеты в первом мешке, тогда вес взятых монет: 1 • 9 + 2 • 10 + 3 • 10 = 59 (г); 2) фальшивые монеты во втором мешке, тогда вес взятых монет: 1 • 10 + 2 • 9 + 3 • 10 = 58 (г); 3) фальшивые монеты в третьем мешке, тогда вес взятых монет: 1 • 10 + 2 • 10 + 3 • 9 = 57 (г).
Заметим, что в первом, втором и третьем случаях вес взятых монет на 1, 2, 3 г отличается от веса такого же количества настоящих монет, т.е. от (1 + 2 + 3) • 10 = 60 (г). Это означает, что, взвесив 6 монет и получив результат 59, 58 или 57 г, мы будем знать, сколько граммов не хватает до 60 г, – это число укажет нам номер мешка с фальшивыми монетами.
Имеется 10 мешков монет. В одном мешке все монеты фальшивые. Подлинная монета весит 10 грамм, а Фальшивая монета весит 9 грамм. Как при помощи одного взвешивания на весах с делениями определить мешок с фальшивыми монетами?
Решение
Для начала надо пронумеровать все мешки от 1 до 10, далее необходимо взять из каждого мешка столько монет, сколько составляет его порядковый номер (от 1 до 10). Если бы все монеты были настоящие, то куча монет бы весила 550 грамм (1 + 2 + 3 . + 10) * 10 = 550. Если мешок с фальшивыми монетами имеет номер N (N = от 1 до 10), то взятые из мешков монеты будут весить на N граммов меньше, следовательно, взятая куча монет будет весить меньше на N грамм. Т.е. на сколько грамм куча по весу отличается от 550 грамм, такой по счету мешок содержит фальшивые монеты.
Восемь мешков
У вас имеется 8 мешков с монетами, по 48 монет в каждом. В пяти мешках настоящие монеты, а в остальных – фальшивые. Фальшивые монеты на 1 грамм легче настоящих. С помощью одного взвешивания на точных весах определите все мешки с фальшивыми монетами, используя минимальное количество монет.
Решение
Новогодние шары
На новогодней ёлке висят три пары шаров: два белых, два голубых и два красных. Внешне шары одинаковые. Однако в каждой паре есть один лёгкий и один тяжёлый шар. Все лёгкие шары весят между собой одинаково, и так же все тяжёлые шары. С помощью двух взвешиваний на чашечных весах определите все лёгкие и все тяжёлые шары.
Решение
Положите один красный и один белый шар на левую чашу весов, а на правую чашу один синий и второй белый шар. Если достигнуто равновесие, то очевидно, что на каждой чаше есть один тяжёлый и один лёгкий шар. Поэтому достаточно сравнить два белых шара, чтобы узнать ответ на интересующий нас вопрос. Однако если после первого взвешивания равновесие не достигнуто, то на той стороне, что тяжелее, лежит тяжёлый белый шар. Следующим логическим шагом будет сравнение веса уже взвешенного красного шара и еще не взвешенного синего шара. После этого Вам будет ясно, какие шары лёгкие, а какие тяжёлые.
Девять мешков
Имеется девять мешков: восемь с песком и один с золотом. Мешок с золотом немного тяжелее. Вам даётся два взвешивания на чашечных весах, чтобы найти мешок с золотом.
Решение
Разделите девять мешков на три группы по три мешка каждая. Взвесьте две группы. Таким образом, Вы узнаете, в какой из групп мешок с золотом. Теперь выберите 2 мешка из той группы, где точно есть мешок с золотом, и взвесьте их.
27 теннисных мячей
Имеется 27 теннисных мячей. 26 весят одинаково, а 27-й немного тяжелее. Какое минимальное количество взвешиваний на чашечных весах гарантирует нахождение тяжёлого мячика?
Решение
Достаточно воспользоваться весами три раза. Разделите 27 мячей на 3 группы, по 9 мячей в каждой. Сравните две группы – тяжелый мячик окажется в той группе, которая перевесит. Если весы достигли равновесия, то тяжёлый мячик в третьей группе. Таким образом, мы определим группу из 9 мячиков, один из которых искомый. Поделите эту группу на 3 подгруппы, по три мячика в каждой. Аналогично первому шагу сравните вес двух любых подгрупп. Теперь сравните два мячика (два из трех, среди которых точно должен быть искомый).
Расколотая гиря
Купец уронил 40-фунтовую гирю, и она раскололась на 4 неравные части. Когда эти части взвесили, то оказалось, что вес каждой из них (в фунтах) – целое число. Более того, с помощью этих частей можно было взвесить на чашечных весах любой вес (представляющий собой целое число) до 40 фунтов. Сколько весила каждая часть?
Решение
Осколки весили: 1 фунт, 3 фунта, 9 фунтов и 27 фунтов, что в сумме дает 40 фунтов.
Гвозди в мешке
В мешке 24 кг гвоздей. Каким образом можно на чашечных весах без гирь отмерить 9 кг гвоздей?
Решение
Один из вариантов: разделите 24 кг на две равные части по 12 кг, уравновесив их на чашах весов. Затем так же разделить 12 кг на две равные части по 6 кг. После этого отложить одну часть, а другую разделить таким же способом на части по 3 кг. Наконец к шестикилограммовой части добавьте эти 3 кг. В результате получится 9 кг гвоздей.
Читайте также: