Четыре заряда равных по величине находятся в вершинах квадрата если зарядам предоставить возможность
Обновлено: 28.06.2024
Пример 1. В вершинах квадрата со стороной 0,1 м помещены заряды по 0,1 нКл. Определите напряженность и потенциал поля в центре квадрата, если один из зарядов отличается по знаку от остальных.
Найдите: Е, j.
Решение. Напряженность поля, создаваемого системой зарядов, равна геометрической сумме напряженностей полей, создаваемых каждым из зарядов:
Как видно из рисунка
а так как Е1 = Е4, то Е = 2Е1 или , где e - диэлектрическая проницаемость (для воздуха e = 1), – расстояние от центра квадрата до заряда.
Потенциал j поля, создаваемого системой зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов j полей, создаваемых каждым из зарядов:
Учитывая знаки зарядов, имеем j = j3 + j4, а так как j3 = j4, то j = 2j3.
Пример 2. Определите поток вектора напряженности электрического поля сквозь замкнутую шаровую поверхность, внутри которой находятся три точечных заряда +2, -3 и +5 нКл. Рассмотрите случаи, когда система зарядов находится в вакууме и в воде.
Решение. В общем виде поток вектора напряженности ФЕ сквозь поверхность s равен
где Еn - проекция вектора Е на нормаль n к поверхности, Еn = Е cosa.
Для шаровой поверхности, в центре которой помещен точечный заряд, a = 0, cosa = 1, следовательно, Еn = Е. в каждой точке шаровой поверхности Е - величина постоянная и определяется по формуле:
тогда поток вектора напряженности ФЕ сквозь шаровую поверхность будет иметь вид:
Подставляя (1) в (2), после преобразований для одного точечного заряда получаем
На основании теоремы Остроградского - Гаусса для системы зарядов полный поток вектора напряженности сквозь замкнутую поверхность произвольной формы (в том числе и шаровой) равен:
Подставим в (3) числовые значения, получим:
а) в случае, когда заряды находятся в вакууме (e1 = 1):
б) в случае, когда заряды находятся в воде (e2 = 81):
Пример 3. Под действием силы притяжения 1 мН диэлектрик между обкладками конденсатора находится под давлением 1 Па. Определите энергию, объемную плотность энергии поля конденсатора, если расстояние между обкладками 1 мм.
Дано: F = 10 –3 Н; р = 1 Па; d = 10 –3 м.
Найдите:W, w.
Решение. Известно, что давление
где F - сила, s - площадь. Сила F, с которой притягиваются обкладки конденсатора
Энергия поля конденсатора
Учитывая, что U = E×d, где U - напряжение на обкладках конденсатора, а , получим:
W = 10 -3 ×10 -3 = 10 -6 (Дж).
Объемная плотность энергии:
Пример 4. сила тока в проводнике меняется со временем по закону I = I0e - a t . Начальная сила тока I0 = 20A, a = 10 2 c -1 , R = 2 Ом. Определите теплоту, выделившуюся в проводнике за время t = 10 -2 с.
Найдите:Q.
Решение. В условии задачи задан закон изменения силы тока:
По закону Джоуля – Ленца количество теплоты, выделяемое в проводнике при пропускании силы тока, определяется следующим выражением:
Проинтегрировав полученное выражение, получим:
После подстановки численных значений:
Пример 5. Лампа накаливания потребляет ток, равный 0,6 А. Температура вольфрамовой нити диаметром 0,1 мм равна 2200°С. Ток подводится медным проводом сечением 6 мм 2 . Определите напряженность электрического поля: 1) в вольфраме (удельное сопротивление при 0°С ρв = 55 нОм·м, температурный коэффициент сопротивления α = 0,0045°С -1 ); 2) в меди (ρм = 17 нОм·м).
Дано: I = 0,6 А; d = 10 -4 м ; t = 2200 К; s = 6×10 -6 м2 ; t0 = 0 К; ρв0 = 55×10 -9 Ом·м; α = 0,0045°С -1 ; ρм0 = 17×10 -9 Ом·м.
Найдите: Е.
Решение. Напряженность поля в проводниках можно найти из закона Ома в дифференциальной форме:
здесь – напряженность электрического поля, – вектор плотности тока, γ - удельная электропроводность проводника, γ = 1/ρ, где ρ – удельное сопротивление проводника. Для вольфрама удельное сопротивление указано в условии задачи при температуре 0°С. но поскольку температура равна 2200° С, то его удельное сопротивление находится из соотношения:
Плотность тока найдем по известной силе тока (одинаковой для меди и вольфрама) и площади поперечного сечения проводников:
Документ из архива "Все решенные билеты с задачами и теорией", который расположен в категории "контрольные работы и аттестации". Всё это находится в предмете "физика" из второго семестра, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "контрольные работы и аттестации", в предмете "физика" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "Все решенные билеты с задачами и теорией"
Текст из документа "Все решенные билеты с задачами и теорией"
3.При прохождении в некотором веществе пути l интенсивность света I уменьшается в 2 раза. Во сколько раз уменьшается I при прохождении пути 3l?
4.Сила тока в проводнике сопротивлением R=20 Ом нарастает в течение времени ∆t=2с по линейному закону от I1=0А до Imax=6А. Определить количество теплоты Q1, выделившееся в этом проводнике за первую секунду и Q2 − за вторую, а также найти отношение этих количеств теплот Q2/Q1.
3.Свет с длиной волны λ=0,55 мкм падает нормально на поверхность стеклянного (n=1,5) клина. В отраженном свете наблюдают систему интерференционных полос, причем, расстояние между соседними темными полосами ∆x=0,21 мм. Определить угол между гранями клина. (1 рад=3,4́ · 10 3 )
а стеклянный клин с углом и показателем преломления n = 1,5 нормально падает монохроматический свет с длиной волны = 0,6 мкм (см. рис.5). Определить расстояние между двумя соседними интерференционными минимумами в отраженном свете х.
Используем формулы (2.2а) и (2.4) для интерференционных минимумов в отраженном свете в точках А и С с порядковыми номерами m и (m + 1):
Из прямоугольного треугольника АСЕ на рис.5 можно найти длину катета :
Вычитая (3.4) из (3.5), найдем длину катета :
Подставляя (3.7) в (3.6), найдем :
Ответ: 0,687 мм
4.Пространство между обкладками плоского конденсатора заполнено последовательно двумя диэлектрическими слоями 1 и 2 толщины d1 и d2 и проницаемости ε1 и ε2. Площадь каждой обкладки равна S. Найти плотность σ* связанных зарядов на границе раздела слоев, если напряжение на конденсаторе равно U и электрическое поле направлено от слоя 1 к слою 2.
3.В некоторой точке А внутри однородного диэлектрика с проницаемостью ε =2,5 плотность стороннего заряда ρ=50 мкл/м 3 . Найти в этой точке плотность связанных зарядов.
Величина ρ’=- ρ(e-1)/e=-30 мкКл/м^3
4.Металлический шар радиусом R=3см несет заряд Q=20 нКл. Шар окружен слоем парафина(ε =2) толщиной d =2 см. Определить энергию W электрического поля, заключенную в слое диэлектрика.
3.Длинный цилиндр радиусом R=4 см из диэлектрика (ε =4) заряжен по объему с постоянной объемной плотностью ρ =2 · 10 -8 Кл/м 3 . Найдите энергию поля, локализованного внутри цилиндра, приходящуюся на единицу его длины.
4.Какой разностью потенциалов надо ускорить протон, чтобы его энергия оказалась достаточной для достижения поверхности ядра железа? Заряд ядра железа в 26 раз больше заряда протона (≈|e|), а его радиус равен R=4,0 · 10 -15 м. Считайте ядро однородно заряженным шаром.
V2-перпендикулярно,V1-параллельно,альфа-угол между скоростью и параллельной составляющей
Подставляем период в формулу для шага.выражаем оттуда тангенс.ищем угол.из формулы (1) находим скорость V2
Отсюда ищем V подставив известный угол.Кинетическую энергию ищем по формуле.
4.Четыре равных точечных заряда Q расположены в вершинах квадрата со стороной b. а) Чему равна электрическая энергия системы? б) Какую потенциальную энергию будет иметь пятый заряд Q, помещенный в центре квадрата (относительно φ∞=0 на бесконечности).
ЗАРЯД В ЦЕНТРЕ ИМЕЕТ ПРОТИВОПОЛОЖНЫЙ ЗНАК
Второй раз энергия найдена неверно
3.На длинный соленоид, имеющий диаметр сечения d=5 см и содержащий n=20 витков на 1 см длины, плотно надет круговой виток из медного провода сечением S=1,0 мм2. Найти ток в витке, если ток в обмотке соленоида увеличивают с постоянной скоростью I = 100 А/С. Магнитным полем индукционного тока пренебречь. Удельное сопротивление меди ρ =16 нОм · м.
4.В модели атома водорода Бора электрон вращается вокруг ядра (протона) по круговой орбите радиусом r. Определите r, зная, что энергия ионизации (т.е. энергия, необходимая для отрыва электрона) по результатам измерения равна Eион=-13,6 эВ.
3.На дифракционную решетку с периодом 2 мкм падает нормально свет, пропущенный сквозь светофильтр. Фильтр пропускает волны длиной от 500 до 600 нм. Будут ли спектры различных порядков накладываться друг на друга?
Запишем условие наложения двух соседних спектров k и (k+1) порядков для данных длин волн λ2 и λ1. Они должны быть видны под одним углом . Отсюда
.
Спектры данных линий могут перекрываться, начиная с k = 6. Определим максимальный порядок kmax, который дает данная решетка:
.
Для длины волны λ1
.
Для длины волны λ2
, (так как k целое число).
Следовательно, спектры длин волн λ1 и λ2 в данной решетке не перекрываются.
4.Провод с сопротивлением R=1,00 Ом растянули по длине втрое. Чему теперь равно его сопротивление?
3.Какова линейная дисперсия дифракционной решетки для длины волны 0,589 мкм в спектре 2-го порядка, если постоянная решетки 4 мкм, а фокусное расстояние проецирующей линзы 50 см.
4. На тонкой нити длиной l =8см равномерно распределен заряд Q1=350мкКл действующий силой F=120 мкН на точечный заряд Q2 находящийся на продолжении той же нити на расстоянии r=6см от ее середины. Определить значение точечного заряда Q2, если вся система находится в воздухе.
3. Расстояние между вторым и четвертым светлыми кольцами Ньютона в отраженном свете равно ∆r=0,9 мм. Определите радиус девятого темного кольца.
4. Определить потенциал электрического поля в центре кольца с внутренним радиусом R1=20,9 см и внешним радиусом R2=40см, если на нем равномерно распределен заряд Q=0,6 мкКл.
3.Магнитный поток через неподвижный контур с сопротивлением R изменяется в течение времени τ по закону Ф=αt(t-τ), где α - известная постоянная. Найти количество теплоты, выделившееся в контуре за это время. Магнитным полем индукционного тока пренебречь.
4.Бесконечная плоскость заряжена отрицательно с поверхностной плотностью σ=35,4нКл/м 2 . По направлению силовой линии поля, созданного плоскостью, летит электрон. Определить минимальное расстояние lmin на которое может подойти к плоскости электрон, если на расстоянии l0=5см он имел кинетическую энергию Т=80 эВ.
3. Провод, имеющий форму параболы y=кх 2 , находится в однородном магнитном поле В, перпендикулярном плоскости Оху. Из вершины параболы перемещают поступательно и без начальной скорости проводящую перемычку (параллельную оси (Ох) с постоянным ускорением а. Найти ЭДС индукции в образовавшемся контуре, как функцию у.
4. Определить заряд Q прошедший по проводу с сопротивлением R=3 Ом при равномерном нарастании напряжения на концах провода от U0 =2B до U=4B в течение t=20 с.
3. Ток текущий по длинному прямому соленоиду, радиус сечения которого R, меняют так, что магнитное поле внутри соленоида возрастает со временем по закону В = βt 2 , где β — постоянная. Найти плотность тока смещения как функцию расстояния г от оси соленоида.
4. Система состоит из шара радиуса R, заряженного сферически - симметрично, и окружающей среды, заполненной зарядом с объемной плотностью ρ=α/г, где α - постоянная, г - расстояние от центра шара. Пренебрегая влиянием вещества, найти заряд шара, при котором модуль напряженности электрического поля вне шара не зависит от r. Чему равна эта напряженность?
3.В длинном соленоиде с радиусом сечения α и числом витков n на единицу длины изменяют ток с постоянной скоростью I А/С. Найти напряженность вихревого электрического поля как функцию расстояния г от оси соленоида. Изобразить примерный график этой зависимости.
4.Пусть электрон, движущийся со скоростью ν0=1,0 *10 7 м/с (ν0= ν0i) влетает (x=y=0) в однородное электрическое поле Е, направленное под прямым углом к ν0. Требуется найти уравнение траектории (y=y(x)) электрона в электрическом поле.
3.При нормальном падении света с длиной волны λ=450 нм на плоско-выпуклую линзу, находящуюся на плоской стеклянной поверхности, наблюдатель видит 33 светлых и 33 темных кольца Ньютона. Насколько линза толще в центре, чем по краям?
1 Два одинаковых точечных заряда q взаимодействуют в вакууме с силой F=0,1 Н. Расстояние между зарядами r = 6 м. Найти эти заряды.
Решение:
По закону Кулона , где
2 Какое число N электронов содержит заряд в одну единицу заряда в системе единиц СИ (1 Кл)? Элементарный заряд
Решение:
электронов.
3 Два точечных заряда q1 и q 2 находятся на расстоянии r друг от друга. Если расстояние между ними уменьшается на величину Δ r = 50 см, то сила взаимодействия F увеличивается в два раза. Найти расстояние r.
Решение:
4 Тонкая шелковая нить выдерживает максимальную силу натяжения Т=10 мН. На этой нити подвешен шарик массы m = 0,6 г, имеющий положительный заряд q 1 = 11 нКл. Снизу в направлении линии подвеса к нему подносят шарик, имеющий отрицательный заряд q 2 = -13 нКл. При каком расстоянии r между шариками нить разорвется?
Решение:
5 Отрицательный точечный заряд Q расположен на прямой, соединяющей два одинаковых положительных точечных заряда q. Расстояния между отрицательным зарядом и каждым из положительных относятся между собой, как 1:3. Во сколько раз изменится сила, действующая на отрицательный заряд, если его поменять местами с ближайшим положительным?
Решение:
Положительные заряды q могут быть расположены как по обе стороны от отрицательного заряда Q, так и по одну сторону от него. Отношение сил в первом и втором случаях:
где r – расстояние от заряда Q до ближайшего положительного заряда q.
6 Два отрицательных точечных заряда q 1 = — 9 нКл и q 2 = — 36 нКл расположены на расстоянии r=3м друг от друга. Когда в некоторой точке поместили заряд q 0 , то все три заряда оказались в равновесии. Найти заряд q 0 и расстояние между зарядами q 1 и q 0 .
Решение:
Обозначим модуль силы буквой F с двумя индексами, первый из которых показывает, на какой заряд действует сила, а второй со стороны какого заряда она действует (например, F 01 –сила, действующая на заряд q 0 со стороны заряда q 1 ). Возьмем в качестве координатной оси ОХ прямую, проходящую через заряды q 1 и q 2 (рис. 324). За начало отсчета О примем точку, где находится заряд q 1 а за положительное направление от заряда q 1 к заряду q 2 . Закон Кулона (в нашей записи) дает возможность определить лишь модуль вектора силы, а знак проекции вектор будет, как обычно, положительным, если сила направлена в положительном направлении оси ОХ, и отрицательным в противном случае.
На каждый из трех зарядов действуют со стороны двух других по две силы. Для равновесия необходимо, чтобы эти две силы были противоположными по направлению. Легко видеть, что это условие выполняется лишь в случае, когда заряд q 0 находится на оси ОХ между зарядами q 1 и q 2 и имеет противоположный по сравнению с q 1 , и q 2 знак. Пусть расстояние между зарядами q 1 и q 0 равно х (0 0 действуют силы
б) на q 1 действуют силы
в) на q 2 действуют силы
При равновесии всех трех зарядов:
а)–F 01 +F 02 = 0; б) -F 12 + F 10 = 0; в) F 21 -F 20 = 0.
Условие а) приводит к квадратному уравнению относительно х:
Для корней этого уравнения
выполняются условия: 0 x 1 x 2 |q1|; x 2 >r при |q2|
Условие б) дает отсюда
7 Три одинаковых точечных заряда q = 20 нКл расположены в вершинах равностороннего треугольника. На каждый заряд действует сила F=10mH. Найти длину а стороны треугольника.
Решение:
Каждый заряд q взаимодействует с двумя другими зарядами q, расположенными на расстоянии а от рассматриваемого (рис. 325).
Поэтому на любой заряд действуют две равные по модулю силы . Равнодействующая этих сил (проекция векторной суммы этих сил на диагональ параллелограмма)
; отсюда
8 Три одинаковых точечных заряда q1=q2 =q3 = 9 нКл расположены в вершинах равностороннего треугольника. Какой точечный заряд q0 нужно поместить в центре треугольника, чтобы система находилась в равновесии?
Решение:
На заряд q1 действуют две равные по модулю силы со стороны зарядов q2 и q3, а также сила со стороны заряда q0 (рис.326). Ввиду равенства зарядов q1=q2=q3 = q получаем . На заряд q0 действуют три равные по модулю силы, равнодействующая которых равна нулю.
9 Четыре одинаковых точечных заряда q= 1 0 нКл расположены в вершинах квадрата со стороной a=10см. Найти силу, действующую со стороны трех зарядов на четвертый.
Решение:
Решение:
После соприкосновения шарика В с шариком А заряд q перераспределится между шариками поровну и шарик В будет подниматься вверх. Равновесие силы тяжести и силы Кулона наступит при ; отсюда h = 9 см.
12 Вокруг отрицательного точечного заряда q0=-5 нКл равномерно движется по окружности под действием силы притяжения маленький заряженный шарик. Чему равно отношение заряда шарика к его массе, если угловая скорость вращения шарика ω = 5 рад/с, а радиус окружности R = 3 см?
Решение:
13 Два одинаковых шарика массы т = 9 г находятся друг от друга на расстоянии r, значительно превышающем их размеры. Какие равные заряды необходимо поместить на шариках, чтобы сила их кулоновского взаимодействия уравновешивала силу гравитационного притяжения?
Решение:
, где -гравитационная постоянная.
14 Найти силы взаимодействия двух точечных зарядов q1 =4 нКл и q2=6 нКл в вакууме и в керосине (диэлектрическая проницаемость e = 2) на расстоянии r = 20 см.
Решение:
Силы взаимодействия зарядов в вакууме и в керосине .
Следует отметить, что силы, приложенные к различным по модулю зарядам, равны по модулю и противоположны по направлению. На экзаменах нередко ошибаются, утверждая, что к большему заряду приложена большая сила. Это противоречит не только закону Кулона, но и третьему закону Ньютона.
15 Два точечных заряда, находясь в воздухе на расстоянии r1 = 5 см, взаимодействуют друг с другом с силой F1 = 120мкН, а находясь в некоторой непроводящей жидкости на расстоянии r2 = 10см, – с силой F2=15мкH. Какова диэлектрическая проницаемость жидкости?
Решение:
16 Найти расстояние r1 между двумя одинаковыми точечными зарядами, находящимися в масле (диэлектрическая проницаемость ? = 3), если сила взаимодействия между ними такая же, как в вакууме на расстоянии r2 = 30 см.
Решение:
17 Два одинаковых заряженных шарика, подвешенных на нитях равной длины в одной точке, разошлись в воздухе на некоторый угол 2 α . Какова должна быть плотность ρ материала шариков, чтобы при погружении их в керосин (диэлектрическая проницаемость ε = 2) угол между нитями не изменился? Плотность керосина
Решение:
До погружения в керосин на шарики действуют (рис. 329, а): сила тяжести mg, сила натяжения нити Т, сила кулоновского отталкивания , где m — масса шарика, q — его заряд и r – расстояние между шариками. При равновесии шарика суммы проекций сил на вертикальное и горизонтальное направления равны нулю:
(1)
При погружении шариков в керосин сила Кулона ; сила Архимеда и направлена вверх (рис. 329,б).
Условие равновесия сил теперь примет вид
(2)
Из (1) и (2) имеем
отсюда
18 Два одинаковых заряженных шарика подвешены на нитях равной длины в одной точке и погружены в жидкость. Плотности материала шариков и жидкости равны ρ и ρж . При какой диэлектрической проницаемости жидкости угол расхождения нитей в жидкости и в воздухе будет один и тот же?
Решение:
(см. задачу 17).
19 Одноименные точечные заряды q1 и q2 расположены в вершинах равностороннего треугольника со стороной r в однородной среде с диэлектрической проницаемостью ε . Найти суммарную силу F, действующую на точечный заряд q3, расположенный в третьей вершине треугольника.
Решение:
20 Три точечных заряда, расположенных друг от друга на расстояниях r12, r13 и r23, взаимодействуют в вакууме с силами F12, F13 и F23 соответственно. Найти через известные величины выражение для третьего заряда.
Решение:
Обозначим заряды через q1, q2 и q3. Тогда по закону Кулона
Исключая из этих уравнений q1 и q2, найдем
21 С какой силой взаимодействовали бы в вакууме два одинаковых точечных заряда q=1Кл, находясь на расстоянии r = 0,5 км друг от друга?
Решение:
Сила взаимодействия . Эта сила довольно велика: она приблизительно равна силе, с которой притягивается к Земле тело массы m = 3600 кг.
22 Два одинаковых шарика подвешены в воздухе на нитях так, что их поверхности соприкасаются. После того как каждому шарику был сообщен заряд q = 0,4 мкКл, шарики разошлись на угол 2α = 60°. Найти массу шариков, если расстояние от центров шариков до точки подвеса l=0,2 м.
Решение:
На каждый шарик действуют: сила натяжения нити Т, сила тяжести mg и сила кулоновского отталкивания , где (рис. 330). При равновесии шарика суммы проекций сил на вертикальное и горизонтальное направления равны нулю (см. задачу 17 ):
Исключив из этих уравнений Т и учитывая выражения для F и r, получим
23 Составлен прибор из двух одинаковых проводящих шариков массы m = 15 г, один из которых закреплен, а другой подвешен на нити длины l=20 см. Шарики, находясь в соприкосновении, получают одинаковые заряды, вследствие чего подвижный шарик отклоняет нить на угол 2α = 60° от вертикали. Найти заряд каждого шарика.
Решение:
На подвижный шарик действуют: сила тяжести mg, сила кулоновского отталкивания F и сила натяжения нити Т (рис. 331). При равновесии шарика суммы проекций сил на горизонтальное и вертикальное направления равны нулю:
Fcosα – Tsin2α =0,
Fsinα + T cos2α — mg=0.
Исключая из этих уравнений T находим
Используя известную формулу , получаем
Как видно из рис. 331, расстояние между шариками r=2lsin a .
Следовательно,
Отсюда
24 Шарик, несущий заряд q = 50 нКл, коснулся внутренней поверхности незаряженной проводящей сферы радиуса R = 20 см. Найти поверхностную плотность заряда на внешней поверхности сферы.
Решение:
Заряд шарика q полностью перейдет на внешнюю поверхность сферы и распределится по ней равномерно. Поэтому поверхностная плотность заряда на сфере .
25 Найти поверхностную плотность заряда на внешней поверхности проводящей сферы радиуса R = 20 см, если в центре сферы на изолирующей палочке находится шарик, несущий заряд q= 50нКл. Будет ли изменяться поверхностная плотность при изменении положения шарика внутри сферы?
Решение:
При внесении шарика с зарядом q внутрь проводящей сферы на внешней поверхности сферы появляются индуцированные заряды того же знака, что и заряд q, а на внутренней – противоположного знака (рис. 332). Поверхностная плотность заряда на сфере
При изменении положения шарика электрическое поле внутри сферы будет меняться, но это не скажется на распределении зарядов на внешней поверхности сферы и их плотность будет прежней.
Пример 1.
Расстояние между двумя жестко закрепленными точечными зарядами +3Q и - Q равно a = 0,20 м. На каком расстоянии от заряда нужно поместить третий заряд +Q, чтобы он находился в равновесии?
Свяжем с линией, соединяющей заряды, ось x, начало O которой совместим с первым зарядом (см. рисунок). Можно на оси выделить три области 1, 2 и 3.
Из качественных соображений, очевидно, что в областях 1 и 2 равновесие заряда +Q не возможно. Можно надеяться только в области 3 , т.е. при x > a, найти такую точку расположения заряда +Q, в которой равнодействующая всех сил, действующих на этот заряд, будет равняться нулю.
Используя условия равновесия сил, находим
откуда следует квадратное уравнение , корни которого
Из двух значений оправдан только корень со знаком плюс. Следовательно, имеем x1 = 2,36a, так как для него x > a. Таким образом, x1 = 0,472 м или в точке, отстоящей на 0,27 м вправо от второго заряда.
Пример 2.
В вершинах квадрата находятся положительные одинаковые заряды Q по 3,3 10 -9 Кл. Какой отрицательный заряд Qx нужно поместить в центр квадрата для того, чтобы вся система зарядов находилась в равновесии?
Каждый из зарядов в вершинах квадратов находится в эквивалентных условиях, поэтому достаточно рассмотреть равновесие лишь одного (любого) заряда. Введем как промежуточный параметр сторону квадрата a.
На любой из 4-х зарядов со стороны других трех зарядов действуют силы отталкивания, равнодействующая которых направлена по диагонали квадрата в сторону от центра. Значение этой силы
Сила притяжения к заряду Qx составит . Для равновесного положения любого из зарядов Q необходимо равенство этих сил, откуда следует, что
; Qx = -3,2 10 -9 Кл.
Полезно отметить, что длина а стороны квадрата никакой роли при этом не играет.
Пример 3.
Два точечных одинаковых по знаку и модулю заряда Q1 = Q2 = Q жестко закреплены на расстоянии l друг от друга. На линии, соединяющей заряды в точке между зарядами, находится третий точечный заряд q противоположного знака. Материальный носитель этого заряда имеет массу m и имеет возможность без трения двигаться вдоль линии, соединяющей заряды Q1 и Q2 (конструктивно заряд q можно представить как однородно заряженный диэлектрический шар с диаметральным отверстием, через которое проходит прочная диэлектрическая нить, связывающая заряды Q1 и Q2.
Свяжем с линией, соединяющей заряды Q1, Q2 и q ось x; начало оси x совместим с равновесным положением заряда q, т.е. с серединой отрезка l. Покажите, что если вывести заряд q из положения равновесия, т.е. отклонить на расстояние x
Под действием этой силы движения материального носителя заряда q будет описываться динамическим уравнением классической механики
или
Эти уравнения суть дифференциального уравнения одномерного классического гармонического осциллятора. Решение уравнения есть гармоническая функция
,
где A и - постоянные интегрирования (находятся из начальных условий), а - собственная частота гармонических колебаний;
Взаимодействие точечного заряда с равномерно распределенным
Пример 4.
Отрезок тонкой проволоки или диэлектрической нити длиной l сообщен заряд Q и придана форма дуги окружности радиуса R. В центре O этой окружности помещен точечный заряд q. Найдите силу взаимодействия заряженной дуги и точечного заряда q.
Разбиваем дугу на множество квазиточечных элементов длиной dl, на каждом из которых сосредоточен квазиточечный заряд ( - линейная плотность заряда).
Из середины произвольного элемента dl в точку O проводим радиус-вектор r (см. рисунок), | r | = R и . Тогда по закону Кулона сила dF взаимодействия точечных зарядов q и будет равна .
Для определения Fx и Fy необходимо просуммировать (интегрировать) элементарные вклады dFx и dFy
Здесь существенным является то обстоятельство, что в математической физике является алгебраической величиной, т.е. характеризуемой модулем и знаком. Принято считать, что углы, отсчитываемые (например, от оси x, как на рисунке) по ходу часовой стрелки - отрицательные, против хода - положительные. Направление обхода при интегрировании выбираем против хода часовой стрелки (на рисунке показано линией со стрелкой).
Тогда имеем при таком соглашении, что и . Получаем окончательный результат
Учтено, что sin - нечетная функция, а cos - четная функция. Приведенные соотношения являются ответами к задаче.
Проанализируем частные случаи:
1) Если (полуокружность), то и , Fy = 0;
2) Если ; (окружность), то Fx = Fy = 0.
Пример 5.
Тонкий жесткий диэлектрический диск радиуса R заряжен равномерно зарядом Q с поверхностной плотностью заряда. На оси х диска на расстоянии а от центра диска находится точечный заряд q. Определите силу взаимодействия этого заряда с заряженным диском.
Разобьем диск на соосные концентрические кольца радиусов r . Элементарная сила взаимодействия заряженного кольца с точечным зарядом q равна
Далее интегрируем это выражение по r в пределах от 0 до R и получаем ответ
Проанализируем частные случаи:
1) Пусть а
Это важный результат, пригодный для решения многих модельных задач.
2) Если a >> R, то заряженный диск подобен точечному заряду . Из формулы ответа, используя формулы приближенных вычислений R/a
Разбиваем стержень на множество элементов длиной dx каждый. На каждом таком элементе находится квазиточечный заряд , который действует на заряд Q2 с элементарной силой .
Векторы этих сил dF2x направлены вдоль оси x и будут силами отталкивания, если заряды Q1 и Q2 одного знака. Результирующая сила направлена вдоль оси x, и ее значение найдется суммированием всех dF2x, т. е.
Для интегрирования введем новую переменную y = l1 + b - x, так что dx = dy и пределы интегрирования: при x = 0, y = l1 + b, при x = l1; y = b. Таким образом, получаем окончательный результат
Пример 7.
Плоский конденсатор представляет собою две тонкие протяженные металлические пластины 1 и 2 расположенные параллельно друг другу. Пластины заряжены равномерно одинаковыми по модулю, но противоположными по знаку зарядами с поверхностными плотностями , и, следовательно, притягиваются друг к другу. Определите силу давления p на пластины.
На квазиточечный заряд , расположенный на элементарной поверхности площадью dS2 2-й пластины, действует со стороны 1-ой пластины элементарная сила . Сила давления на 2-ю пластину равна, следовательно,
Силы давления на обе пластины одинаковы по модулю, но противоположны по знаку. Для реальных конденсаторов сила давления может оказаться столь большой, что диэлектрик с проницаемостью , заполняющей пространство между обкладками конденсатора, будет механически разрушен.
Читайте также: