Система аксиом является непротиворечивой если из нее нельзя вывести заведомо ложное утверждение
Обновлено: 02.07.2024
Mathematical term; any set of axioms from which some or all axioms can be used in conjunction to logically derive theorems
В математике и логике , аксиомой система является любой набор из аксиом , из которых некоторые или все аксиомы могут быть использованы в сочетании с логически вытекают теоремы . Теория является последовательной , относительно-самодостаточной совокупностью знаний , которые , как правило , содержит аксиоматическую систему и все его производные теоремы. [1] Полностью описанная аксиоматическая система - это особый вид формальной системы . Формальная теория - это аксиоматическая система (обычно формулируемая в рамках теории моделей).), который описывает набор предложений, замкнутый с точки зрения логической импликации. [2] Формальное доказательство является полным исполнением в математическом доказательстве в формальной системе.
СОДЕРЖАНИЕ
Аксиоматическая система называется непротиворечивой, если в ней нет противоречий . То есть невозможно вывести как утверждение, так и его отрицание из аксиом системы. Последовательность - ключевое требование для большинства аксиоматических систем, поскольку наличие противоречия позволяет доказать любое утверждение ( принцип взрыва ).
В аксиоматической системе аксиома называется независимой, если это не теорема, которую можно вывести из других аксиом системы. Система называется независимой, если каждая из лежащих в ее основе аксиом независима. В отличие от согласованности, независимость не является необходимым требованием для функционирующей аксиоматической системы, хотя обычно ее стремятся минимизировать количество аксиом в системе.
Аксиоматическая система называется полной, если для каждого утверждения либо сама по себе, либо его отрицание выводятся из аксиом системы (эквивалентно, каждое утверждение может быть доказано как истинное или ложное). [3]
Помимо согласованности, относительная согласованность также является признаком стоящей системы аксиом. Это описывает сценарий, в котором неопределенные термины первой системы аксиом предоставляются определениями из второй, так что аксиомы первой системы являются теоремами второй.
Хороший пример - относительная непротиворечивость абсолютной геометрии по отношению к теории действительной системы счисления . Линии и точки являются неопределенными терминами (также называемыми примитивными понятиями ) в абсолютной геометрии, но им присваиваются значения в теории действительных чисел способом, совместимым с обеими системами аксиом. [ необходима цитата ]
Модель для аксиоматической системы является четко определенным набором , который присваивает значение для неопределенных терминов , представленных в системе, таким образом , что является правильным с отношениями , определенных в системе. Существование конкретной модели доказывает состоятельность системы [ спорная - обсудить ] . Модель называется конкретной, если присвоенные значения являются объектами и отношениями из реального мира [ требуется пояснение ] , в отличие от абстрактной модели, основанной на других аксиоматических системах.
Модели также можно использовать, чтобы показать независимость аксиомы в системе. Построив допустимую модель для подсистемы без конкретной аксиомы, мы покажем, что опущенная аксиома независима, если ее правильность не обязательно следует из подсистемы.
Две модели называются изоморфными, если между их элементами может быть найдено взаимно однозначное соответствие таким образом, чтобы сохранялась их взаимосвязь. [4] Аксиоматическая система, для которой каждая модель изоморфна другой, называется категориальной (иногда категориальной ). Свойство категориальности (категоричность) обеспечивает полноту системы, однако обратное неверно: полнота не гарантирует категоричность (категоричность) системы, поскольку две модели могут различаться свойствами, которые не могут быть выражены семантикой модели. система.
В качестве примера рассмотрим следующую аксиоматическую систему, основанную на логике первого порядка с дополнительной семантикой следующего счетного бесконечного числа добавленных аксиом (их можно легко формализовать как схему аксиом ):
Неформально этот бесконечный набор аксиом утверждает, что существует бесконечно много различных элементов. Однако понятие бесконечного множества не может быть определено в рамках системы, не говоря уже о мощности такого множества.
Система имеет как минимум две разные модели: одна - натуральные числа (изоморфные любому другому счетно бесконечному множеству), а другая - действительные числа (изоморфные любому другому множеству с мощностью континуума ). Фактически, у него есть бесконечное количество моделей, по одной на каждую мощность бесконечного множества. Однако отличительной чертой этих моделей является их мощность - свойство, которое не может быть определено в рамках системы. Таким образом, система не категориальна. Однако можно показать, что он завершен.
Формулировка определений и предложений таким образом, чтобы каждый новый термин мог быть формально исключен ранее введенными терминами, требует примитивных понятий (аксиом), чтобы избежать бесконечного регресса . Этот способ заниматься математикой называется аксиоматическим методом . [5]
Распространенное отношение к аксиоматическому методу - логицизм . В своей книге Principia Mathematica , Альфред Норт Уайтхед и Бертран Рассел попытались показать , что все математические теории могут быть сведены к некоторому набору аксиом. В более общем плане сведение совокупности предложений к определенному набору аксиом лежит в основе исследовательской программы математика. Это было очень заметно в математике двадцатого века, особенно в предметах, основанных на гомологической алгебре .
Объяснение конкретных аксиом, используемых в теории, может помочь прояснить подходящий уровень абстракции, с которым математик хотел бы работать. Например, математики решили, что кольца не обязательно должны быть коммутативными , что отличалось от первоначальной формулировки Эмми Нётер . Математики решили рассмотреть топологические пространства в более общем смысле без аксиомы разделения , которое Хаусдорф первоначально сформулированная.
Математические методы до некоторой степени изощренно развились в Древнем Египте, Вавилоне, Индии и Китае, по-видимому, без использования аксиоматического метода.
На практике не все доказательства восходят к аксиомам. Иногда даже неясно, к какому набору аксиом обращается доказательство. Например, теоретико-числовое утверждение может быть выражено на языке арифметики (то есть на языке аксиом Пеано), и может быть дано доказательство, которое обращается к топологии или комплексному анализу . Возможно, не сразу станет ясно, можно ли найти другое доказательство, основанное исключительно на аксиомах Пеано.
В математике , аксиоматизация является процесс принятия тела знания и работать в обратном направлении ее аксиом. [8] Это формулировка системы утверждений (т. Е. Аксиом ), которые связывают ряд примитивных терминов - для того, чтобы согласованный корпус утверждений мог быть дедуктивно выведен из этих утверждений. После этого доказательство любого предложения в принципе должно быть прослежено до этих аксиом.
Читайте также: