Рента постнумерандо когда первая выплата

Обновлено: 05.07.2024

Потоки платежей могут быть:

ü нерегулярными – членами являются как положительные (поступления), так и отрицательные величины (выплаты), а соответствующие платежи могут производиться через разные интервалы времени.

Финансовая рента (аннуитет) – это поток платежей, все члены которого положитель-ные величины, а временные интервалы между платежами постоянны. Например, рентой являются последовательность получения процентов по облигации, платежи по потребительскому кредиту, выплаты в рассрочку страховых премий и т.д. Во всех приведенных случаях выплаты или получения денег производятся через равные промежутки времени. Использование в финансово-банковской операции условий, предполагающих выплаты в виде финансовой ренты, существенно упрощает количественный их анализ, дает возможность применять стандартные формулы и таблицы значений ряда необходимых для расчетов коэффициентов и быстро выполнять расчеты на калькуляторах.

Рента характеризуется следующими параметрами:

ü член ренты (R)– размер каждого отдельного платежа;

ü период ренты (t)– временной интервал между двумя последовательными платежами;

ü срок ренты (n)– время от начала первого периода ренты до конца последнего периода;

ü процентная ставка (i)– ставка, используемая при наращении или дисконтировании платежей, образующих ренту.

Размер ставки не всегда прямо оговаривается в условиях финансовой ренты, вместе с тем этот параметр крайне необходим для ее анализа.

При характеристике отдельных видов рент необходимы дополнительные условия и параметры: число платежей в году, способ и частота начислений процентов.

В практике применяют разные по своим условиям ренты. В основу их классификации могут быть положены различные признаки. Рассмотрим некоторые из таких классификаций.

1. По количеству выплат членов ренты на протяжении года ренты делятся на годовые(выплата раз в году) и р-срочные(р–количество выплат в году). В анализе производственных инвестиционных процессов иногда применяют ренты с периодами, превышающими год. Перечисленные виды рент называют дискретными.В финансовой практике встречаются и с такими последовательностями платежей, которые производятся столь часто, что их практически можно рассматривать как непрерывные.

2. По количеству начислений процентов на протяжении года различают:

ü ренты с ежегодным начислением;

ü с начислением mраз в году;

ü с непрерывным начислением.

Моменты начисления процентов необязательно совпадают с моментами выплат членов ренты. Однако, как будет показано, расчеты заметно упрощаются, если два указанных момента совпадают.

3. По величине своих членов ренты делятся на:

ü постоянные –с одинаковыми платежами;

ü переменные– члены переменных рент изменяют свои размеры во времени, следуя какому-либо закону, например арифметической или геометрической прогрессии, либо несистематично (задаются таблицей).

4. По вероятности выплат ренты делятся на:

ü верные– подлежат безусловной уплате, например при погашении кредита. Число членов такой ренты заранее известно;

ü условные – выплата условной ренты ставится в зависимость от наступления некоторого случайного события. Поэтому число ее членов заранее неизвестно. К такого рода рентам относятся страховые аннуитеты– обобщающее понятие для всех видов страхования ренты и пенсии, означающее, что страхователь единовременно или в рассрочку вносит страховому учреждению оговоренную сумму денег, а затем в течение нескольких лет или пожизненно получает регулярный доход. Типичным примером страхового аннуитета является пожизненная выплата пенсии.

5. По количеству членов различают ренты с конечным числом членов, т.е. ограниченные по срокамренты (их срок заранее оговорен), и бесконечные, или вечные,ренты. С вечной рентой встречаются на практике в ряде долгосрочных операций, когда предполагается, что период функционирования анализируемой системы или срок операции весьма продолжителен и не оговаривается конкретными датами. В качестве вечной ренты логично рассматривать и выплаты процентов по облигационным займам с неограниченными сроками.

6. По соотношению начала срока ренты и какого-либо момента времени, упреждающего начало ренты (например, начало действия контракта или дата его заключения), ренты делятся на немедленныеи отложенные, или отсроченные.

Немедленный аннуитет – аннуитет, который приобретается на основе единовременного платежа и выплаты по которому начинаются сразу же после вступления договора в силу.

Отложенный аннуитет – аннуитет, начало выплат у которого сдвинуто вперед относительно некоторого момента времени, приобретаемый единичным платежом или периодическими взносами. Выплаты по отложенному аннуитету начинаются в будущем. До этого срока страховая компания вкладывает взносы и накапливает проценты с этих вложений.

Отсроченный аннуитет – аннуитет, при котором первая выплата осуществляется в определенный день в конце первого года после заключения договора.

7. По моменту выплат платежей в пределах периода ренты делятся на:

ü постнумерандо (обыкновенные), если платежи по ренте осуществляются в конце периодов;

ü пренумерандо,если платежи по ренте производятся в начале периодов.

Иногда контракты предусматривают платежи или поступления денег в середине периодов.

Пример 22. Контракт предусматривает периодическое погашение задолженности выплатой в конце каждого полугодия одинаковых погасительных платежей на протяжении фиксированного числа лет. Первая выплата в счет погашения основной суммы долга производится спустя два года после подписания контракта

Решение:

Таким образом, предусматривается постоянная, полугодовая, верная, ограниченная, отложенная относительно даты заключения договора, рента постнумерандо.

Обобщающие параметры потоков платежей. В подавляющем числе практических случаев анализ потока платежей предполагает расчет одной из двух обобщающих характеристик: наращенной суммы (будущей стоимости) или современной стоимости.

Наращенная сумма (будущая стоимость)– это сумма всех членов потока платежей с начисленными на них к концу срока процентами.

Современная стоимость потока платежей– это сумма всех его членов, дисконтированных на начало срока ренты или некоторый отмечающий начало момент времени.

Конкретный смысл этих характеристик определяется содержанием его членов или их происхождением. Наращенная сумма может представлять собой общую сумму накопленной задолженности к концу срока, итоговый объем инвестиций, накопленный денежный резерв и т.д. В свою очередь, современная стоимость характеризует приведенные к началу осуществления проекта инвестиционные затраты, суммарный капитализированный доход или чистую приведенную прибыль от реализации проекта и т.п.

Поскольку обобщающие характеристики постоянных рент играют существенную роль в анализе финансовых операций, получим формулы для расчета будущей стоимости всех видов постоянных рент, хотя для понимания существа дела достаточно разобраться с расчетом соответствующих характеристик годовой ренты.

Годовая рента.Начнем с наиболее простого случая – годовой ренты постнумерандо. Пусть в течение n лет в банк в конце каждого года вносится по Rруб. На взносы начисляются сложные проценты по ставке i% годовых. Таким образом, имеется рента, член которой равен R, а срок n.Все члены ренты, кроме последнего, приносят проценты – на первый член проценты начисляются n - 1 год, на второй n- 2и т.д. На последний взнос проценты не начисляются (напомним, что рента постнумерандо). Наращенные к концу срока каждого взноса суммы составят:

Перепишем этот ряд в обратном порядке. Нетрудно убедиться в том, что он представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем (1 + i) и первым членом R.Число членов прогрессии равно n.Искомая величина равна сумме членов этой прогрессии. Отсюда будущая стоимость финансовой ренты рассчитывается по формуле:

Схема расчета будущей стоимости финансовой ренты постнумерандо (рента, платежи по которой осуществляются в конце периода) представлена на рис. 6.

Рис. 6. Схема расчета будущей стоимости финансовой ренты

Пример 23. На счет в банке в течении пяти лет в конце каждого года будут вноситься суммы в размере 500 рублей, на которые будут начисляться проценты по ставке 30%. Определить сумму процентов, которую банк выплатит владельцу счета.

Решение:

Поскольку период ренты равен одному году, то это годовая рента (проценты начисляются один раз в год); взносы будут в конце периода ренты, значит это рента постнумерандо; сумма платежа постоянна на протяжении всего срока ренты, что характерно для постоянной ренты; число членов ренты пять, т.е. конечно, следовательно, ограниченная рента; а выплаты носят безусловный характер, таким образом, это верная рента.

Сумма всех взносов с начисленными процентами будет равна:

Сумма взносов в течение 5 лет составит:

P = n * R = 5 * 500 = 2500 руб.

Следовательно, сумма начисленных процентов будет равна:

Таким образом, доход владельца счета за 5 лет составит 2022 руб.

Величина ренты при заданной наращенной (будущей) стоимости определяется по формуле:

где R_S – величина ренты.

Пример 24. Для покупки автомобиля через 5 лет потребуется 50000 рублей. Определите размер ежегодных взносов, вносимых в конце каждого года в банк, который начисляет проценты по ставке 40%.

Решение:

В данном случае известна наращенная величина постоянной финансовой ренты, поэтому размер ежегодных взносов будет равен:

Таким образом, чтобы накопить на счете необходимую сумму для покупки автомобиля следует в конце каждого года в течении пяти лет откладывать 4568 рублей.

Годовая рента, начисление процентов mраз в году. Пусть анализируется годовая рента постнумерандо. Однако проценты начисляются mраз в году. Члены ренты с начисленными к концу срока процентами образуют ряд (перепишем его в обратном порядке):

где j– номинальная ставка процентов.

И в этом случае мы имеем дело с возрастающей геометрической прогрессией. Первый член прогрессии равен R,знаменатель – (1 +j/m) m .Сумма членов этой прогрессии равна

где n – срок ренты.

Пример 25. По данным примера 23, изменив условия: проценты начисляются поквартально.

Решение:

В этом случае рента с начислением процентов 4 раза в год, а общее количество начислений составит 20 раз. Отсюда сумма всех взносов с начисленными на них процентами будет равна:

Отсюда сумма начисленных процентов будет равна:

I = S - P = 4841 - 2500,00 = 2341 руб.

Как видим, переход от годового начисления процентов к ежеквартальному начислению заметно увеличил как наращенную сумму, так и сумму процентов.

Рента р-срочная (m = 1). Пусть рента выплачивается рраз в году равными суммами, процент начисляется один раз в конце года. Если годовая сумма платежей равна R, то каждый раз выплачивается R/p.Общее число членов ренты равно n*р.Ряд членов ренты с начисленными процентами представляет собой геометрическую прогрессию. Первый член ее равен R/p,знаменатель – (1 + i) 1/ p . Наращенная сумма членов этой прогрессии:

где р – количество выплат в году.

Рента р-срочная (p = m).На практике часто встречаются случаи, когда число выплат в году равно числу начислений процентов, т.е. когда р = m.Для получения необходимой формулы воспользуемся формулой , в которой i заменяется на j/m,а вместо числа лет берется число периодов выплат ренты n*р,член ренты равен R/p.Поскольку р = m, то в итоге получим:

Искомая величина может быть получена и по формуле .

В этом случае вместо числа лет подставляем в формулу число периодов, а вместо годового члена ренты – выплату за период, кроме того, вместо годовой ставки берется ставка за период.

Рента р-срочная (p m).Определим теперь будущую стоимость для наиболее общего случая – р-срочная рента с начислением процентов mраз в году, т.е. когда рентные платежи вносятся несколько раз в году и начисление процентов также происходит несколько раз в год, но число рентных платежей не равно числу периодов начисления процентов. Общее количество членов ренты равно n*р,величина члена ренты R/p.Члены ренты с начисленными процентами образуют ряд, следующий геометрической прогрессии, с первым членом R/pи знаменателем (1 + j/m) m/ p . Сумма членов такой прогрессии составит:

Рассмотрим последовательность распределенных во времени выплат и платежей [8,9]. Поток платежей, все составляющие которого положительны и поступают через одинаковые интервалы времени, называется финансовой рентой или аннуитетом. Пусть имеем постоянную финансовую ренту ( рента называется постоянной, если все платежи имеют одинаковую величину), периодический платеж .

Будущая стоимость ренты

Рассмотрим будущую стоимость ренты за лет, для простоты пусть проценты начисляются один раз в год. Наращение стоимости ренты осуществляется за счет поступающих платежей и начисления на них процентов, причем, срок наращения каждого нового платежа на единицу меньше предыдущего. Будущая стоимость ренты имеет вид:

$fv=\sum_<i=0>^pmt\cdot (1+r)^i=pmt+pmt(1+r)+mt(1+r)^2+. +pmt(1+r)^$

( 2.15)

Ряд (2.15) представляют собой геометрическую прогрессию. Для членов геометрической прогрессии " />
со знаменателем >=q" />
сумма равна

Будущая стоимость ренты (2.15) - геометрическая прогрессия с , . Тогда

( 2.17)

Размер платежа при наращении ренты можно определить из (2.17)

$pmt=\frac<fv\cdot r>$

( 2.18)

Срок накопления будущей суммы при заданных процентной ставке и платеже из (2.18) может быть определен следующим образом.

$\frac<fv> \cdot r+1=(1+r)^n$
или

$n=\frac<\ln(\frac<fv>\cdot r +1)><\ln(1+r)>$

( 2.19)

Современная стоимость ренты

Деньги, полученные в настоящий момент, более предпочтительны, чем деньги, которые будут получены в будущем. Для потока платежей представляет интерес оценка стоимости на начальный момент времени – современная стоимость. Переоценка будущего платежа на более ранний момент времени, называется математическим дисконтированием. Процентная ставка , с учетом которой оценивается современная стоимость, называется ставкой дисконтирования. Дисконтирование денежного платежа на -м шаге осуществляется путем умножения его значения на коэффициент дисконтирования " />
, тогда дисконтированная стоимость потока платежей ренты к начальному моменту по ставке равна:

$pv=\sum_<i=1>^\frac=\frac+\frac+. +\frac$

( 2.20)

Современная стоимость - геометрическая прогрессия с , , тогда

$pv=\frac<pmt>[(1+r)^-1]/((1+r)^-1)$

( 2.21)

$pv=\frac<pmt>[1-(1+r)^]$

( 2.22)

Размер платежа погашения ренты можно определить из (2.22)

$pmt=\frac<pv\cdot r><[1-(1+r)^<-n>]>$

( 2.23)

Срок ренты, соответственно, и количество платежей при современной стоимости ренты , процентной ставке и платеже из (2.23) равен

$n=-\frac<\ln(1-\frac<pv\cdot r>)><\ln(1+r)>$

( 2.24)

Ренты пренумерандо и постнумерандо

Рента пренумерандо - первый платеж поступает в начале первого периода, и рента постнумерандо – платеж поступает в конце периода. Вводится параметр , который учитывает тип ренты. Выражение для (2.18), где учитывается тип ренты , будет иметь вид :

$pmt=\frac<[(1+r)^<-n>-1]>\cdot (1+t\cdot r)$

( 2.25)

где – тип ренты: или опущен - рента постнумерандо, выплата в конце периода, – рента пренумерандо, выплата в начале периода. Для появляется дополнительный член . Так учитывается более раннее поступление денег и удлинение на один период срока начисления процентов.

Для расчета будущего значения используется формула (1.28), а для расчета периодического платежа выражение

$pmt=r\cdot \frac<fv><[(1+r)^n-1]\cdot (1+r\cdot t)>$

( 2.26)

В финансовых функциях тип ренты учитывается параметром , который равен 0 (постнумерандо) и равен 1 (пренумерандо).

Примеры решения задач

Предприятие предполагает получить кредит в банке 2000 тыс.руб. Кредит будет погашаться равными долями ежегодно, в конце года. Определить ежегодные платежи предприятия, если кредит берется на: 1, 2, 3, 4, 5 лет . Расчет провести для трех значений ставок :5%, 10%, 18%.

Данные вводим в виде векторов и . Годовой платеж " />
. - матрица. При расчете используем формулу (2.23) и альтернативно финансовую функцию , которая находит периодический постоянный платеж через данное число периодов по фиксированной процентной ставке , вкладу (заему) , - остаток долга, – тип ренты. В квадратных скобках необязательные аргументы. Предполагаются распределенные во времени переходы денежных сумм от одного владельца к другому. Поскольку кредит – положительная величина поступление денежных средств к заемщику в начальный момент , выплаты второму участнику операции соответствуют отрицательным платежам .

Обозначим – платеж, –номер ставки, – номер года

, 5\% \\ 10\%\\ 18\% \end" />
, 1 \\ 2\\ 3 \\ 4 \\ 5 \end" />

, ,

$(C_<i,j> ):=pv\cdot \frac<[1-(1+r_i)^<-n_j>]>$

1 год & 2 года & 3 года & 4 года & 5 лет \\ 2100 & 1075.61 & 734.42 & 564.02 & 461.95 \\ 2200 & 1152.38 & 804.23 & 630.94 & 527.59 \\ 2360 & 1277.43 & 919.85 & 743.48 & 639.56 \end" />
, 0.05 \\ 0.1 \\ 0.18 \end" />

Используем встроенную функцию

$C1=\begin -2100 & -1075.61 & -734.417 & -564.024 & -467.95 \\ -2200 & -1152.381 & -804.23 & -630.942 & -527.595 \\ -2360 & -1277.431 & -919.858 & -743.477 & -639.556 \end$

Суммарные выплаты для разных сроков

$S_ :=C_\cdot j$

1 год & 2 года & 3 года & 4 года & 5 лет \\ 2100 & 2151 & 2203 & 2256 & 2310 \\ 2200 & 2305 & 2413 & 2524 & 2638 \\ 2360 & 2555 & 2760 & 2974 & 3198 \end" />
, 0.05 \\ 0.1 \\ 0.18 \end" />

Построим график: платежи и суммарные выплаты от ставки и по годам

$W(r,n):=pv\cdot \frac<r> <[1-(1+n)^<-n>]>$

Читайте также: