Как определить носит отклонение случайный характер или оно закономерно

Обновлено: 28.06.2024

Свойства физического объекта (явления, процесса) определяются набором количественных характеристик — физических величин . Как правило, результат измерения представляет собой число , задающее отношение измеряемой величины к некоторому эталону . Сравнение с эталоном может быть как прямым (проводится непосредственно экспериментатором), так и косвенным (проводится с помощью некоторого прибора, которому экспериментатор доверяет). Полученные таким образом величины имеют размерность , определяемую выбором эталона.

Замечание. Результатом измерения может также служить количество отсчётов некоторого события, логическое утверждение (да/нет) или даже качественная оценка (сильно/слабо/умеренно). Мы ограничимся наиболее типичным для физики случаем, когда результат измерения может быть представлен в виде числа или набора чисел .

Взаимосвязь между различными физическими величинами может быть описана физическими законами , представляющими собой идеализированную модель действительности. Конечной целью любого физического эксперимента (в том числе и учебного) является проверка адекватности или уточнение параметров таких моделей.

1.1 Результат измерения

Рассмотрим простейший пример: измерение длины стержня с помощью линейки. Линейка проградуирована производителем с помощью некоторого эталона длины — таким образом, сравнивая длину стержня с ценой деления линейки, мы выполняем косвенное сравнение с общепринятым стандартным эталоном.

Допустим, мы приложили линейку к стержню и увидели на шкале некоторый результат x = x изм . Можно ли утверждать, что x изм — это длина стержня?

Во-вторых, мы никак не можем быть уверенны, что длина стержня на самом деле такова хотя бы с точностью до ошибки округления. Действительно, мы могли приложить линейку не вполне ровно; сама линейка могла быть изготовлена не вполне точно; стержень может быть не идеально цилиндрическим и т.п.

Итак, из нашего примера видно, что никакое физическое измерение не может быть произведено абсолютно точно, то есть у любого измерения есть погрешность .

Об измеренной величине также часто говорят как об оценке , подчеркивая, что эта величина не точна и зависит не только от физических свойств исследуемого объекта, но и от процедуры измерения.

Замечание. Термин оценка имеет и более формальное значение. Оценкой называют результат процедуры получения значения параметра или параметров физической модели, а также иногда саму процедуру. Теория оценок является подразделом математической статистики. Некоторые ее положения изложены в главе 3 , но для более серьезного понимания следует обратиться к [ 5 ] .

x = x изм ± δ ⁢ x ,

где δ ⁢ x — абсолютная величина погрешности. Эта запись означает, что исследуемая величина лежит в интервале x ∈ ( x изм - δ ⁢ x ; x изм + δ ⁢ x ) с некоторой достаточно большой долей вероятности (более подробно о вероятностном содержании интервалов см. п. 2.2 ). Для наглядной оценки точности измерения удобно также использовать относительную величину погрешности:

ε x = δ ⁢ x x изм .

Она показывает, насколько погрешность мала по сравнению с самой измеряемой величиной (её также можно выразить в процентах: ε = δ ⁢ x x ⋅ 100 % ).

Пример. Штангенциркуль — прибор для измерения длин с ценой деления 0 , 1 ⁢ мм . Пусть диаметр некоторой проволоки равен 0 , 37 мм. Считая, что абсолютная ошибка составляет половину цены деления прибора, результат измерения можно будет записать как d = 0 , 40 ± 0 , 05 ⁢ мм (или d = ( 40 ± 5 ) ⋅ 10 - 5 ⁢ м ). Относительная погрешность составляет ε ≈ 13 % , то есть точность измерения весьма посредственная — поскольку размер объекта близок к пределу точности прибора.

О необходимости оценки погрешностей.

Измерим длины двух стержней x 1 и x 2 и сравним результаты. Можно ли сказать, что стержни одинаковы или различны?

Казалось бы, достаточно проверить, справедливо ли x 1 = x 2 . Но никакие два результата измерения не равны друг другу с абсолютной точностью! Таким образом, без указания погрешности измерения ответ на этот вопрос дать невозможно .

С другой стороны, если погрешность δ ⁢ x известна, то можно утверждать, что если измеренные длины одинаковы в пределах погрешности опыта , если | x 2 - x 1 | δ ⁢ x (и различны в противоположном случае).

Итак, без знания погрешностей невозможно сравнить между собой никакие два измерения, и, следовательно, невозможно сделать никаких значимых выводов по результатам эксперимента: ни о наличии зависимостей между величинами, ни о практической применимости какой-либо теории, и т. п. В связи с этим задача правильной оценки погрешностей является крайне важной, поскольку существенное занижение или завышение значения погрешности (по сравнению с реальной точностью измерений) ведёт к неправильным выводам .

В физическом эксперименте (в том числе лабораторном практикуме) оценка погрешностей должна проводиться всегда (даже когда составители задания забыли упомянуть об этом).

1.2 Многократные измерения

Проведём серию из n одинаковых ( однотипных ) измерений одной и той же физической величины (например, многократно приложим линейку к стержню) и получим ряд значений

Что можно сказать о данном наборе чисел и о длине стержня? И можно ли увеличивая число измерений улучшить конечный результат?

Если цена деления самой линейки достаточно мала, то как нетрудно убедиться на практике, величины < x i >почти наверняка окажутся различными . Причиной тому могут быть самые разные обстоятельства, например: у нас недостаточно остроты зрения и точности рук, чтобы каждый раз прикладывать линейку одинаково; стенки стержня могут быть слегка неровными; у стержня может и не быть определённой длины, например, если в нём возбуждены звуковые волны, из-за чего его торцы колеблются, и т. д.

В такой ситуации результат измерения интерпретируется как случайная величина , описываемая некоторым вероятностным законом ( распределением ). Подробнее о случайных величинах и методах работы с ними см. гл. 2 .

По набору результатов 𝐱 можно вычислить их среднее арифметическое:

⟨ x ⟩ = x 1 + x 2 + … + x n n ≡ 1 n ⁢ ∑ i = 1 n x i .

(1.1)

Это значение, вычисленное по результатам конечного числа n измерений, принято называть выборочным средним. Здесь и далее для обозначения выборочных средних будем использовать угловые скобки.

Кроме среднего представляет интерес и то, насколько сильно варьируются результаты от опыта к опыту. Определим отклонение каждого измерения от среднего как

Δ ⁢ x i = x i - ⟨ x ⟩ , i = 1 ⁢ … ⁢ n .

Разброс данных относительно среднего принято характеризовать среднеквадратичным отклонением :

s = Δ ⁢ x 1 2 + Δ ⁢ x 2 2 + … + Δ ⁢ x n 2 n = 1 n ⁢ ∑ i = 1 n Δ ⁢ x i 2

(1.2)

s 2 = ⟨ ( x - ⟨ x ⟩ ) 2 ⟩ .

(1.3)

Значение среднего квадрата отклонения s 2 называют выборочной дисперсией .

Будем увеличивать число измерений n ( n → ∞ ). Если объект измерения и методика достаточно стабильны, то отклонения от среднего Δ ⁢ x i будут, во-первых, относительно малы, а во-вторых, положительные и отрицательные отклонения будут встречаться примерно одинаково часто. Тогда при вычислении ( 1.1 ) почти все отклонения Δ ⁢ x i скомпенсируются и можно ожидать, что выборочное среднее при n ≫ 1 будет стремиться к некоторому пределу:

lim n → ∞ ⁡ 1 n ⁢ ∑ i = 1 n x i = x ¯ .

Предельную величину среднеквадратичного отклонения при n → ∞ обозначим как

lim n → ∞ ⁡ 1 n ⁢ ∑ i = 1 n Δ ⁢ x i 2 = σ .

Замечание. В общем случае указанные пределы могут и не существовать. Например, если измеряемый параметр меняется во времени или в результате самого измерения, либо испытывает слишком большие случайные скачки и т. п. Такие ситуации требуют особого рассмотрения и мы на них не останавливаемся.

Замечание. Если n мало ( n 10 ), для оценки среднеквадратичного отклонения математическая статистика рекомендует вместо формулы ( 1.3 ) использовать исправленную формулу (подробнее см. п. 5.2 ): s n - 1 2 = 1 n - 1 ⁢ ∑ i = 1 n Δ ⁢ x i 2 , (1.4) где произведена замена n → n - 1 . Величину s n - 1 часто называют стандартным отклонением .

Итак, можно по крайней мере надеяться на то, что результаты небольшого числа измерений имеют не слишком большой разброс, так что величина ⟨ x ⟩ может быть использована как приближенное значение ( оценка ) истинного значения ⟨ x ⟩ ≈ x ¯ , а увеличение числа измерений позволит уточнить результат.

Многие случайные величины подчиняются так называемому нормальному закону распределения (подробнее см. Главу 2 ). Для таких величин могут быть строго доказаны следующие свойства:

при многократном повторении эксперимента бо́льшая часть измерений ( ∼ 68%) попадает в интервал x ¯ - σ x x ¯ + σ (см. п. 2.2 ).

выборочное среднее значение ⟨ x ⟩ оказывается с большей вероятностью ближе к истинному значению x ¯ , чем каждое из измерений < x i >в отдельности. При этом ошибка вычисления среднего убывает пропорционально корню из числа опытов n (см. п. 2.4 ).

Упражнение. Показать, что s 2 = ⟨ x 2 ⟩ - ⟨ x ⟩ 2 . (1.5) то есть дисперсия равна разности среднего значения квадрата ⟨ x 2 ⟩ = 1 n ⁢ ∑ i = 1 n x i 2 и квадрата среднего ⟨ x ⟩ 2 = ( 1 n ⁢ ∑ i = 1 n x i ) 2 .

1.3 Классификация погрешностей

Чтобы лучше разобраться в том, нужно ли многократно повторять измерения, и в каком случае это позволит улучшить результаты опыта, проанализируем источники и виды погрешностей.

В первую очередь, многократные измерения позволяют проверить воспроизводимость результатов: повторные измерения в одинаковых условиях, должны давать близкие результаты. В противном случае исследование будет существенно затруднено, если вообще возможно. Таким образом, многократные измерения необходимы для того, чтобы убедиться как в надёжности методики, так и в существовании измеряемой величины как таковой.

Замечание. Часто причины аномальных отклонений невозможно установить на этапе обработки данных, поскольку часть информации о проведении измерений к этому моменту утеряна. Единственным способ борьбы с этим — это максимально подробное описание всего процесса измерений в лабораторном журнале . Подробнее об этом см. п. 4.1.1 .

При многократном повторении измерении одной и той же физической величины погрешности могут иметь систематический либо случайный характер. Назовём погрешность систематической , если она повторяется от опыта к опыту, сохраняя свой знак и величину, либо закономерно меняется в процессе измерений. Случайные (или статистические ) погрешности меняются хаотично при повторении измерений как по величине, так и по знаку, и в изменениях не прослеживается какой-либо закономерности.

Кроме того, удобно разделять погрешности по их происхождению. Можно выделить

инструментальные (или приборные ) погрешности , связанные с несовершенством конструкции (неточности, допущенные при изготовлении или вследствие старения), ошибками калибровки или ненормативными условиями эксплуатации измерительных приборов;

методические погрешности , связанные с несовершенством теоретической модели явления (использование приближенных формул и моделей явления) или с несовершенством методики измерения (например, влиянием взаимодействия прибора и объекта измерения на результат измерения);

1.3.1 Случайные погрешности

Случайный характер присущ большому количеству различных физических явлений, и в той или иной степени проявляется в работе всех без исключения приборов. Случайные погрешности обнаруживаются просто при многократном повторении опыта — в виде хаотичных изменений ( флуктуаций ) значений < x i >.

Если случайные отклонения от среднего в большую или меньшую стороны примерно равновероятны, можно рассчитывать, что при вычислении среднего арифметического ( 1.1 ) эти отклонения скомпенсируются, и погрешность результирующего значения ⟨ x ⟩ будем меньше, чем погрешность отдельного измерения.

Случайные погрешности бывают связаны, например,

с особенностями используемых приборов : техническими недостатками (люфт в механических приспособлениях, сухое трение в креплении стрелки прибора), с естественными (тепловой и дробовой шумы в электрических цепях, тепловые флуктуации и колебания измерительных устройств из-за хаотического движения молекул, космическое излучение) или техногенными факторами (тряска, электромагнитные помехи и наводки);

с особенностями и несовершенством методики измерения (ошибка при отсчёте по шкале, ошибка времени реакции при измерениях с секундомером);

с несовершенством объекта измерений (неровная поверхность, неоднородность состава);

со случайным характером исследуемого явления (радиоактивный распад, броуновское движение).

1.3.2 Систематические погрешности

Систематические погрешности, в отличие от случайных, невозможно обнаружить, исключить или уменьшить просто многократным повторением измерений. Они могут быть обусловлены, во-первых, неправильной работой приборов ( инструментальная погрешность ), например, сдвигом нуля отсчёта по шкале, деформацией шкалы, неправильной калибровкой, искажениями из-за не нормативных условий эксплуатации, искажениями из-за износа или деформации деталей прибора, изменением параметров прибора во времени из-за нагрева и т.п. Во-вторых, их причиной может быть ошибка в интерпретации результатов ( методическая погрешность ), например, из-за использования слишком идеализированной физической модели явления, которая не учитывает некоторые значимые факторы (так, при взвешивании тел малой плотности в атмосфере необходимо учитывать силу Архимеда; при измерениях в электрических цепях может быть необходим учет неидеальности амперметров и вольтметров и т. д.).

Систематические погрешности условно можно разделить на следующие категории.

Известные погрешности, которые могут быть достаточно точно вычислены или измерены. При необходимости они могут быть учтены непосредственно: внесением поправок в расчётные формулы или в результаты измерений. Если они малы, их можно отбросить, чтобы упростить вычисления.

Погрешности известной природы, конкретная величина которых неизвестна, но максимальное значение вносимой ошибки может быть оценено теоретически или экспериментально. Такие погрешности неизбежно присутствуют в любом опыте, и задача экспериментатора — свести их к минимуму, совершенствуя методики измерения и выбирая более совершенные приборы.

Чтобы оценить величину систематических погрешностей опыта, необходимо учесть паспортную точность приборов (производитель, как правило, гарантирует, что погрешность прибора не превосходит некоторой величины), проанализировать особенности методики измерения, и по возможности, провести контрольные опыты.

Погрешности известной природы, оценка величины которых по каким-либо причинам затруднена (например, сопротивление контактов при подключении электронных приборов). Такие погрешности должны быть обязательно исключены посредством модификации методики измерения или замены приборов.

Наконец, нельзя забывать о возможности существования ошибок, о которых мы не подозреваем, но которые могут существенно искажать результаты измерений. Такие погрешности самые опасные, а исключить их можно только многократной независимой проверкой измерений, разными методами и в разных условиях.

В учебном практикуме учёт систематических погрешностей ограничивается, как правило, паспортными погрешностями приборов и теоретическими поправками к упрощенной модели исследуемого явления.

Точный учет систематической ошибки возможен только при учете специфики конкретного эксперимента. Особенное внимание надо обратить на зависимость (корреляцию) систематических смещений при повторных измерениях. Одна и та же погрешность в разных случаях может быть интерпретирована и как случайная, и как систематическая.

Пример. Калибровка электромагнита производится при помощи внесения в него датчика Холла или другого измерителя магнитного потока. При последовательных измерениях с разными токами (и соотственно полями в зазоре) калибровку можно учитыать двумя различными способами: • Измерить значение поля для разных токов, построить линейную калибровочную кривую и потом использовать значения, восстановленные по этой кривой для вычисления поля по току, используемому в измерениях. • Для каждого измерения проводить допольнительное измерения поля и вообще не испльзовать значения тока. В первом случае погрешность полученного значения будет меньше, поскльку при проведении прямой, отдельные отклонения усреднятся. При этом погрешность измерения поля будет носить систематический харрактер и при обработке данных ее надо будет учитывать в последний момент. Во втором случае погрешность будет носить статистический (случайный) харрактер и ее надо будет добавить к погрешности каждой измеряемой точки. При этом сама погрешность будет больше. Выбор той или иной методики зависит от конретной ситуации. При большом количестве измерений, второй способ более надежный, поскольку статистическая ошибка при усреднении уменьшается пропорционально корню из количества измерений. Кроме того, такой способ повзоляет избежать методической ошибки, связанной с тем, что зависимость поля от тока не является линейной.

Пример. Рассмотрим измерение напряжения по стрелочному вольтметру. В показаниях прибора будет присутствовать три типа погрешности: 1. Статистическая погрешность, связанная с дрожанием стрелки и ошибкой визуального наблюдения, примерно равная половине цены деления. 2. Систематическая погрешность, связанная с неправильной установкой нуля. 3. Систематическая погрешность, связанная с неправильным коэффициентом пропорциональности между напряжением и отклонением стрелки. Как правило приборы сконструированы таким образом, чтобы максимальное значение этой погрешности было так же равно половине цены деления (хотя это и не гарантируется).

Здесь речь идет о сравнительно небольших случайных отклонениях параметров от их номинальных значений. По сути дела в этой главе рассматриваются такие каналы, которые лишь в первом приближении можно считать каналами с постоянными параметрами. Типичные каналы со случайными параметрами рассматриваются в гл. [2]

Следует отметить, что при случайных отклонениях параметров элементов реальной электронной схемы погрешности характеристик устойчивости являются функциями случайных величин. [3]

Предполагается также, что входные сигналы некоррелированы со случайными отклонениями параметров . [4]

Выражения (2.134) позволяют определить закон изменения среднего квадратического отклонения хода часов, вызванного случайными отклонениями параметра часов YI заданными выражениями (2.132), например, путем подстановки выражения ( 2.134 а) в ( 2.131 а) или выражения ( 2.134 6) в ( 2.131 6) и последующего интегрирования. [5]

Методика отражает технологические особенности изготовления схемных элементов и позволяет произвести расчет допусков с учетом случайных отклонений параметров от номинальных значений, имеющих место в процессе производства. В иге введено понятие суммарного допуска, учитывающего производственный разброс, старение, уход параметров под воздействием температурьГ, и дается его расчет. [6]

Существующие нормы и стандарты на конструктивные размеры деталей и узлов машин, а также на механические характеристики материалов позволяют сделать предположение о малости случайных отклонений параметров системы от средних значений. [7]

Анализ работы ( функционирования) РЭА необходимо производить не только с учетом случайных сигналов, действующих на входе систем, но и при учете случайных отклонений параметров системы от номинальных. Такой подход дает возможность правильной оценки работы приборов в целом. Полный анализ точности выходных параметров РЭА может быть проведен только тогда, когда получены исчерпывающие данные как по функциональной, так и по технологической точностям. [8]

А теперь разумно вспомнить о том, что решается реальная задача, модель которой представлена в виде задачи математического программирования. Естественно, что в реальной задаче могут быть всякого рода случайные отклонения параметров , которые не предусмотрены моделью. Поэтому решение на границе ресурсов грозит создать узкое место, если ресурса понадобится чуть больше или его выделят чуть меньше. [9]

На элементы приборов в процессе эксплуатации действуют различные виды энергии, оказывая влияние на их характеристики. Эти воздействия, как правило, имеют случайный характер, приводящий к случайным отклонениям параметров характеристик . [10]

При рассмотрении нелинейных и сложных систем чаще всего и критерий эффективности, и ограничения, наложенные на переменные, характеризующие функционирование системы либо функционалы от них, в явной форме неизвестны, и информацию о них мы получаем при численных расчетах на ЦВМ математической модели. При случайных возмущениях, действующих на систему, случайных начальных условиях и учете случайных отклонений параметров от расчетных значений критерий эффективности и ограничения получаются в виде реализации случайных чисел или процессов. [11]

При рассмотрении нелинейных и сложных систем виброизоляции чаще всего критерий эффективности и ограничения, наложенные на переменные, характеризующие функционирование системы, либо функционалы от них, в явной форме неизвестны; информацию о них мы получаем при численных расчетах математической модели. При случайных возмущениях, действующих на систему виброизоляции, случайных начальных условиях и учете случайных отклонений параметров от расчетных значений критерии эффективности и ограничения получаются в виде реализации случайных чисел или процессов. Для решения задач оптимизации при недостатке априорной информации применяется адаптивный подход, при котором в отличие от обычного подхода для пополнения недостающей информации активно используется текущая информация. [12]

Условиями абсолютной инвариантности в системе являются равенства определенных операторов нулю. Абсолютно точное выполнение этих равенств в реальной системе даже в случае их физической реализуемости невозможно из-за случайного отклонения параметров системы от номинальных значений. [13]

При рассмотрении нелинейных и сложных систем виброизоляции чаще всего критерий эффективности и ограничения, наложенные на переменные, характеризующие функционирование системы, либо функционалы от них, в явной форме неизвестны; информацию о них мы получаем при численных расчетах на ЦВМ математической модели. При случайных возмущениях, действующих на систему виброизоляции, случайных начальных условиях и учете случайных отклонений параметров от расчетных значений критерии эффективности и ограничения получаются в виде реализации случайных чисел или процессов. Для решения задач оптимизации при недостатке априорной информации применяется адаптивный подход, при котором в отличие от обычною подхода для пополнения недостающей информации активно используется текущая информация. [14]

Испытания на воздействие внешних факторов при разработке высоконадежных изделий необходимы для определения рабочих характеристик этих изделий в реальных условиях применения. В большинстве программ таких испытаний предусматривается испытание изделий на воздействие на них предельных значений внешних факторов, которые могут иметь место при реальной эксплуатации. Однако при особенно строгих требованиях в отношении надежности необходимо также испытывать изделия на воздействие внешних факторов, превышающих ожидаемые предельные уровни, чтобы определить запасы прочности конструкции, а также выявить потенциальные или только начинающие развиваться дефекты. Это позволяет отделить действительное влияние внешних факторов от влияния случайных отклонений параметров изделия от номинальных значений. Высокая стоимость испытаний на воздействие внешних факторов и неизбежное взаимодействие этих факторов ( например, при испытаниях радиоэлектронной аппаратуры всегда надо учитывать выделение тепла элементами этой аппаратуры) делает обязательным тщательное планирование экспериментов для того, чтобы производимые затраты дали максимальный эффект. [15]

Закономерность (необходимость) связана с фундаментальными как внутренними, так и внешни-ми факторами и причинами, характеризующими раз-витие данного объекта. Случайность чаще связана с чисто внешними причинами или функциональными связями . Мерой случайности выступает вероят-ность.

Что царит в мире людей – случай или предопреде-ление? Эдип верит в судьбу и возможность предви-дения, Иокаста – нет. Иокаста:

“Чего бояться смертным? Мы во власти

У древних людей и в современных суевериях верхо-водит Судьба, в христианстве – Провидение.

Закономерное и случайное связаны с общим и еди-ничным.

Случайно то, что происходит с очень малой веро-ятностью и могло не произойти совсем. Случайность тоже не абсолютна, а относительна. Она зависит от многих обстоятельств (как внешних, так и внутрен-них) . Кажется, Демокрит говорил, что случай щедр, но не надёжен…

Приведу примеры для разных уровней действи-тельности.

б) Биологический уровень: в ранней молодости смерть гораздо случайней, чем в глубокой старости, когда она становится закономерной. Важную роль в эволюции играют не только генетические закономер-ности, но и мутационные случайности.

в) Социокультурный уровень: похищение дикими животными младенца – случайность , нормальная со-циализация – закономерность.

г) Индивидуальный уровень: то, что человек стал преподавателем КСЕ, может быть для него законо-мерным; но то, что именно у него учится студент, ко-торый выиграет по лотерейному билету путешествие вокруг света, – случайно.

Случайности увеличивают самобытность, неопре-деленность, новизну и многообразие мировых процес-сов и явлений. Ведущая роль в изучении случайного принадлежит статистическим методам. Они опи-сывают “будущее” сложных совокупностей, в которых закономерное проявляется через массу случайностей.

Интересный пример конструктивной роли случайно-сти в самой реальности приводит Илья Пригожин. Он показывает, что случай может радикально менять упо-рядоченное течение тех или иных событий.

Вообразим магистральный путь, по которому сну-ют муравьи. Каким-то образом рассечем его на два равноценных, непосредственно прилегающих друг к другу. Как будут перемещаться муравьи? Сперва они сравнительно равномерно распределятся по обоим путям. Далее наступит такой момент, когда случайно на одном пути скопится чуть больше этих насекомых, чем на соседнем. Но ведь муравьи ориентируются прежде всего по запаху! И вот уже данный путь ока-зывается притягательней – почти все муравьи на-правляются по нему.

Можно выделить такие типы случайностей:

б) Поисковая (комбинаторная) случайность. Это редкое (или даже единичное) проявление нарождаю-щейся закономерности . Поисковая роль случайности особенно возрастает в неравновесных, неустойчивых состояниях развивающейся системы.

в) Кажущаяся случайность. Она полностью порож-дена нашим незнанием или непониманием некой зако-номерности.

Ученые пока не разгадали сложные закономерности, характеризующие землетрясения, цунами, смерчи, и они кажутся происходящими совершенно спонтанно. По-прежнему во многом таинственны глубины “Все-ленной человека”:

«Зачем от гор и мимо башен

Летит орел, тяжел и страшен,

На черный пень? Спроси его.

Зачем арапа своего

Младая любит Дездемона,

Как месяц любит ночи мглу?

Затем, что ветру и орлу

Плодотворные (конструктивные) поисковые случай-ности могут породить тенденции, тенденции могут по-родить закономерности, а закономерности – законы:

случайность « тенденция* « закономерность**« закон***

*- это как бы “бывшие” случайности, объединенные в небольшие, не очень устойчивые группы;

**- это как бы “бывшие” случайности, объединенные в большие устойчивые группы;

В то же время можно было бы привести примеры того, как со временем “ослабевший” закон трансфор-мируется в закономерность, она сама постепенно ста-новится тенденцией, а та – случайностью.

Организм в процессе своей актуально-ситуативной жизнедеятельности уже в какой-то мере отсеивает случайное, ориентируясь на устойчиво закономерное. Внутренние генетические программы проводят на про-тяжении онтогенеза дополнительный отбор, выверен-ный опытом многих поколений.

Приминение статистики в физике стало менять представление о бытие, стат-а опред-т случ события, кот-е носят вероятностный характер и ничего в сущно-сти не меняют. Многие стали говорить, что мир – это океан случайности (так говорил Гипс). Бытие – это случайности и делать ставку на необходимости – это ошибка.

В трактовке необходимости и случайности удачно высказался Гегель. Они взаимодополняющие характе-ристики бытия по Гегелю. Ф Э продолжая эту линию дал ряд удачных характеристик: случ-ть это форма проявления и дополнения необходимости. Значит не-обходимость существует но обнаруживает себя в слу-чайности. Наполеон случайность но в нем необходи-мость революции обнаружила себя. Необходимость в чистом виде не выступает, случ-ть воздействует на необходимые закономерности.

1. Выявить наличие среди исходных данных резко выделяющихся значений признаков (аномалий в данных) и исключить их из выборки.

2. Рассчитать обобщающие статистические показатели совокупности по изучаемым признакам: среднюю арифметическую (), моду (Мо), медиану (Ме), размах вариации (R), дисперсию(), среднее квадратическое отклонение (), коэффициент вариации (Vσ).

3. На основе рассчитанных показателей в предположении, что распределения единиц по обоим признакам близки к нормальному, оценить:

а) степень колеблемости значений признаков в совокупности;

б) степень однородности совокупности по изучаемым признакам;

в) количество попаданий индивидуальных значений признаков в диапазоны (), (), ()..

4. Сравнить распределения единиц совокупности по двум изучаемым признакам на основе анализа:

а) колеблемости признаков;

б) однородности единиц;

в) надежности (типичности) средних значений признаков.

5. Построить интервальный вариационный ряд и гистограмму распределения единиц совокупности по признаку Среднегодовая стоимость основных производственных фондов и установить характер (тип) этого распределения.

II. Статистический анализ генеральной совокупности

1. Рассчитать генеральную дисперсию , генеральное среднее квадратическое отклонение и ожидаемый размах вариации признаков R_N. Сопоставить значения генеральной и выборочной дисперсий.

2. Для изучаемых признаков рассчитать:

а) среднюю ошибку выборки;

б) предельные ошибки выборки для уровней надежности P=0,683, P=0,954 и границы, в которых будут находиться средние значения признака в генеральной совокупности при заданных уровнях надежности.

3. Рассчитать коэффициенты асимметрии As и эксцесса Ek. На основе полученных оценок охарактеризовать особенности формы распределения единиц генеральной совокупности по каждому из изучаемых признаков.

III. Экономическая интерпретация результатов статистического исследования предприятий

В этой части исследования необходимо ответить на ряд вопросов.

1. Типичны ли образующие выборку предприятия по значениям изучаемых экономических показателей?

2. Каковы наиболее характерные для предприятий значения показателей среднегодовой стоимости основных фондов и выпуска продукции?

3. Насколько сильны различия в экономических характеристиках предприятий выборочной совокупности? Можно ли утверждать, что выборка сформирована из предприятий с достаточно близкими значениями по каждому из показателей?

4. Какова структура предприятий выборочной совокупности по среднегодовой стоимости основных фондов? Каков удельный вес предприятий с наибольшими, наименьшими и типичными значениями данного показатели? Какие именно это предприятия?

5. Носит ли распределение предприятий по группам закономерный характер и какие предприятия (с более высокой или более низкой стоимостью основных фондов) преобладают в совокупности?

6. Каковы ожидаемые средние величины среднегодовой стоимости основных фондов и выпуска продукции на предприятиях корпорации в целом? Какое максимальное расхождение в значениях каждого показателя можно ожидать?

2. Выводы по результатам выполнения лабораторной работы[1]

I. I. Статистический анализ выборочной совокупности

Количество аномальных единиц наблюдения (табл.2) равно 2, номера предприятий 11; 30.

Рассчитанные выборочные показатели представлены в двух таблицах — табл.3 и табл.5. На основе этих таблиц формируется единая таблица (табл.8) значений выборочных показателей, перечисленных в условии Задачи 2.

Описательные статистики выборочной совокупности

Обобщающие статистические показатели

совокупности по изучаемым признакам

Средняя арифметическая (), млн. руб.

Мода (Мо), млн. руб.

Медиана (Ме), млн. руб.

Размах вариации (R), млн. руб.

Дисперсия ()

Среднее квадратическое отклонение

(), млн. руб.

Коэффициент вариации (Vσ), %

3а). Степень колеблемости признака определяется по значению коэффициента вариации V_sв соответствии с оценочной шкалой колеблемости признака:

0% 60% - колеблемость значительная.

Для признака Среднегодовая стоимость основных производственных фондов показатель V =17,02%. Так как значение показателя лежит в диапазоне 0% 0) то правая часть эмпирической кривой оказывается длиннее левой, т.е. имеет место неравенство >Me>Mo, что означает преимущественное появление в распределении более высоких значений признака (среднее значение больше серединного Me и модального Mo).

Если асимметрия левосторонняя (As 0,5 - асимметрия существенная.

Для признака Среднегодовая стоимость основных производственных фондов наблюдается незначительная (заметная, существенная) левосторонняя (правосторонняя) асимметрия. Следовательно, в распределении преобладают более низкие значения признака.

Для признака Выпуск продукции наблюдается незначительная (заметная, существенная) левосторонняя (правосторонняя) асимметрия. Следовательно, в распределении преобладают более высокие значения признака.

2.Показатель эксцесса Ek характеризует крутизну кривой распределения - ее заостренность или пологость по сравнению с нормальной кривой.

Как правило, коэффициент эксцесса вычисляется только для симметричных или близких к ним распределений.

Если Ek>0, то вершина кривой распределения располагается выше вершины нормальной кривой, а форма кривой является более островершинной, чем нормальная. Это говорит о скоплении значений признака в центральной зоне ряда распределения, т.е. о преимущественном появлении в данных значений, близких к средней величине.

III. Экономическая интерпретация результатов статистического исследования предприятий[2]

1. Типичны ли образующие выборку предприятия по значениям изучаемых экономических показателей?

Предприятия с резко выделяющимися значениями показателей приведены в табл.2. После их исключения из выборки, оставшиеся 30 предприятий являются типичными (нетипичными) по значениям изучаемых экономических показателей.

2. Каковы наиболее характерные для предприятий значения показателей среднегодовой стоимости основных производственных фондов и выпуска продукции?

Ответ на вопрос следует из анализа данных табл.9, где приведен диапазон значений признака (), содержащий наиболее характерные для предприятий значения показателей.

Для среднегодовой стоимости основных производственных фондов наиболее характерные значения данного показателя находятся в пределах от 3709,01 млн. руб. до 5230,99 млн. руб. и составляют 66,66% от численности совокупности.

Для выпуска продукции наиболее характерные значения данного показа-теля находятся в пределах от 3266,07 млн. руб. до 5081,66 млн. руб. и составляют 63,33% от численности совокупности.

Ответы на вопросы следуют из значения коэффициента вариации (табл.8), характеризующего степень однородности совокупности (см. вывод к задаче 3б). Максимальное расхождение в значениях показателей определяется размахом вариации R_n. (табл.8).

Для среднегодовой стоимости основных производственных фондов различия в значениях показателя значительны (незначительны). Максимальное расхождение в значениях данного показателя 3200,00 млн. руб.

4. Какова структура предприятий выборочной совокупности по среднегодовой стоимости основных производственных фондов? Каков удельный вес предприятий с наибольшими, наименьшими и типичными значениями данного показатели? Какие именно это предприятия?

Структура предприятий представлена в табл.7 Рабочего файла.

Предприятия с наиболее типичными значениями показателя входят в интервал от 3709,01 млн. руб. до 5230,99 млн. руб. Их удельный вес 66,66%. Это предприятия №№ 22, 19, 2, 3, 13, 26, 9, 4, 28, 17, 6, 14, 25, 7, 31, 18, 10, 20, 24, 29.

Предприятия с наибольшими значениями показателя входят в интервал от 5430,00 млн. руб. до 6070,00 млн. руб. Их удельный вес 100,00 %. Это предприятия №№ 12, 21, 16.

Предприятия с наименьшими значениями показателя входят в интервал от 2870,00 млн. руб. до 3510,00 млн. руб. Их удельный вес 13,33%. Это предприятия №№ 5, 23, 27, 1.

Ответ на вопрос следует из вывода к задаче 5 и значения коэффициента асимметрии (табл.8).

Распределение предприятий на группы по среднегодовой стоимости основных производственных фондов носит закономерный характер, близкий к нормальному (незакономерный характер). В совокупности преобладают предприятия с более высокой (низкой) стоимостью основных фондов.

Ответ на первый вопрос следует из данных табл.11. Максимальное расхождение в значениях показателя определяется величиной размаха вариации R_N.

По корпорации в целом ожидаемые с вероятностью 0,954 средние величины показателей находятся в интервалах:

для среднегодовой стоимости основных производственных фондов – от 4175,39 млн. руб. до 4764,61 млн. руб.;

для выпуска продукции - от 3822,42 млн. руб. до 4525,31 млн. руб.;

Максимальные расхождения в значениях показателей:

для среднегодовой стоимости основных производственных фондов -3200,00 млн. руб.;

Читайте также: