Известно что восьмая выплата составила 108
Обновлено: 02.07.2024
К первому типу относятся также задачи, в которых есть информация о платежах.
В этой статье — решение задач на кредиты второго типа. Схема 2: с дифференцированными платежами. В условии есть информация об изменении суммы долга.
Если в условии задачи сказано, что сумма долга уменьшается равномерно, или что 15-го числа каждого месяца сумма долга на одну и ту же величину меньше суммы долга на 15-е число предыдущего месяца, или есть информация о том, как именно уменьшается сумма долга, — это задача на кредиты второго типа.
1. 15-го января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастёт на по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.
Если вначале сумма долга равна S, то через месяц (после начисления процентов и первой выплаты) она уменьшилась до .Еще через месяц будет ,затем — и так до нуля.
Нарисуем схему погашения кредита.
Первая строка в схеме — сумма долга после очередной выплаты.
Вторая строка — сумма долга после начисления процентов. Стрелками показано, как меняется сумма долга. Число платежных периодов n = 19.
Вот клиент берет в кредит сумму . После начисления процентов сумма долга увеличилась в раз и стала равна . После первой выплаты сумма долга уменьшилась на и стала равной . Банк снова начисляет проценты, и теперь сумма долга равна . Таким образом, первая выплата
Сумма всех выплат:
Мы сгруппировали слагаемые и вынесли общие множители за скобку. Видим, что и в первой, и во второй скобке — суммы арифметической прогрессии, у которой и
В первой скобке — сумма 19 слагаемых, во второй сумма 18 слагаемых.
По формуле сумма арифметической прогрессии,
Получим, что общая сумма выплат , где — величина переплаты. Эта величина показывает, на сколько общая сумма выплат больше суммы, взятой в кредит.
Здесь — количество платежных периодов.
Обратите внимание. Общая сумма выплат:
, где — величина переплаты,
В следующих задачах мы будем (если это возможно) применять удобную формулу для переплаты без вывода. Однако на экзамене вам надо будет ее вывести. Иначе решение могут не засчитать.
2. 15-го января планируется взять кредит в банке на некоторое количество месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
На сколько месяцев можно взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на больше суммы, взятой в кредит.
По формуле для переплаты при выплате суммы кредита дифференцированными платежами имеем:
где — искомое число месяцев, а — величина платежной ставки в процентах. По условию, переплата равна , тогда:
3. 15-го января был выдан полугодовой кредит на развитие бизнеса. В таблице представлен график его погашения.
| Дата | 15,01 | 15,02 | 15,03 | 15,04 | 15,05 | 15,06 | 15,07 |
| Долг (в процентах от кредита) | 100% | 90% | 80% | 70% | 60% | 50% | 0% |
В конце каждого месяца, начиная с января, текущий долг увеличивался на , а выплаты по погашению кредита происходили в первой половине каждого месяца, начиная с февраля. На сколько процентов общая сумма выплат при таких условиях больше суммы самого кредита?
В этой задаче (как и в большинстве задач ЕГЭ) мы не сможем применить формулу для величины переплаты. Ведь погашение кредита происходит неравномерно. Первые 5 месяцев долг ежемесячно уменьшается на своей величины, а в последний месяц сразу до нуля.
Запишем, чему равна каждая выплата, и найдем сумму всех выплат.
Общая сумма выплат
- переплаты, - общая сумма выплат, - сумма кредита.
4. В июле 2016 года планируется взять кредит в размере 6,6 млн. руб. Условия возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на по сравнению с концом предыдущего года.
- с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга.
- в июле 2017, 2018 и 2019 годов долг остается равным 6,6 млн. руб.
- суммы выплат 2020 и 2021 годов равны.
Найдите r, если в 2021 году долг будет выплачен полностью и общие выплаты составят 12,6 млн. рублей.
- ежегодные выплаты 2020 и 2021 годов.
В 2018 году появились, пожалуй, самая сложная задачи ЕГЭ такого типа. Вот большая статья о том, что же все-таки было на ЕГЭ-2018:
Подведем итоги. Соберем всё, что узнали о решении задач на кредиты по второй схеме (с дифференцированными платежами) в небольшую таблицу:
Экономические задачи ввели в единый государственный экзамен по математике (профильный уровень) с 2015 года. При их решении у экзаменующихся часто возникают затруднения, ведь в жизни они пока не сталкивались с кредитами и вкладами, а значит, плохо понимают условия задач и действия, выполняемые внутри них.
Разбор типовых задач (задание 17) из ЕГЭ по математике профильного уровня будет полезен не только выпускникам школ, но и любителям прикладных методов в банковской сфере.
Как решать экономические задачи?
Часть экономических задач можно решить универсальным способом — с помощью составления таблицы, которая позволит упорядочить данные по временным интервалам.
Для всех типов задач при составлении таблицы используется единый алгоритм.
Условия задач взяты с сайта РЕШУ ЕГЭ .
Задачи на равные платежи по кредиту
В задачах этого типа заёмщик всегда вносит равные суммы. При решении подобных задач надо следовать ряду советов.
-
Не торопитесь сразу в ходе решения использовать числовые данные задачи. Решите задачу в общем виде.
Задача 1. Рассчитываем общую сумму кредита
В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
-
каждый январь долг возрастает на 31% по сравнению с концом предыдущего года;
Какая сумма была взята в банке, если известно, что кредит был полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года)?
S руб. — сумма кредита,
р = 0,31,
r = 131,
В = 69 690 821 руб. — ежегодная выплата.
| Долг с начисленными процентами | Выплата | Остаток долга | |
| 1 | S * r | B | S * r — B |
| 2 | (S * r — B) * r | B | (S * r — B) * r — B |
| 3 | ((S * r — B) * r — B) * r | B | 0 |
По последней строке составляем уравнение:
Далее последовательно раскроем скобки:
Теперь можно подставить числовые данные:
Многолетняя практика по решению реальных экзаменационных вариантов показывает, что числовые данные для задач подбираются неслучайно. Составители могут специально подбирать значения таким образом, чтобы получающиеся при вычислениях дроби можно было сократить. Поэтому, прежде чем взяться за вычисление знаменателя, надо проверить, будет ли число 69 690 821 делиться на 1,31.
Ответ: Общая сумма кредита 124 809 100 руб.
Задача 2. Рассчитываем процент кредита
31 декабря 2020 г. Пётр взял в банке некоторую сумму в кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на х%), затем Пётр переводит очередной платёж. Если он будет платить каждый год по 2 592 000 руб., то выплатит долг за четыре года. Если по 4 392 000 руб., то за два года. Под какой процент Пётр взял деньги в банке?
S тыс. руб. — сумма кредита,
Х% — в десятичной дроби,
r = 1 + a,
А = 2 592 000 руб. — ежегодный платёж 1,
В = 4 392 000 руб. — ежегодный платёж 2.
| Долг с начисленными процентами | Выплата | Остаток долга | |
| 1 | S * r | А | S * r — А |
| 2 | (S * r — А) * r | А | (S * r — А) * r — А |
| 3 | ((S * r — А) * r — А) * r | А | ((S * r — А) * r — А) * r — А |
| 4 | (((S * r — А) * r — А) * r — A) * r | А | 0 |
| 1 | S * r | B | S * r — B |
| 2 | (S * r — B) * r | B | 0 |
Из таблицы видно, что последнее начисление банка при каждой схеме выплат равно ежегодной выплате.
Получаем систему уравнений:
Помните о культуре вычислений и об отсутствии калькулятора.
Выражаем S из каждого уравнения:
Теперь подставляем числовые значения:
Значит, а = 1,2 — 1 = 0,2, или 20%
Ответ: Пётр взял кредит под 20%.
О чём необходимо помнить при решении экономических задач
Старайтесь предварительно упрощать выражения, используя алгебраические преобразования.
Мы разобрали алгоритм решения задач с использованием таблицы, но возможны и другие способы решений.
Без минимальной суммы, платы за обслуживание и скрытых комиссий
Москва, ул. Летниковская, д. 2, стр. 4
БАЗА ЗАДАНИЙ
Задание № 15. Финансовая математика.
1. В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на четыре года в размере S млн рублей, где S - целое число. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на 15% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.
Найдите наибольшее значение S, при котором общая сумма выплат будет меньше 50 млн рублей.
2. 15-го января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн. рублей. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r - целое число;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.
Найдите наибольшее значение r, при котором общая сумма выплат будет меньше 1,2 млн рублей.
3. В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на четыре года в размере S млн рублей, где S - целое число. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.
Найдите наименьшее значение S, при котором общая сумма выплат будет больше 10 млн рублей.
4. В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на четыре года в размере S млн рублей, где S - натуральное число. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.
Найдите наименьшее значение S, при котором общая сумма выплат будет составлять целое число миллионов рублей.
5. В июле 2016 года планируется взять кредит в банке в размере S тыс. рублей, где S - натуральное число, на 3 года. Условия его возврата таковы:
− каждый январь долг увеличивается на 15% по сравнению с концом предыдущего года;
− с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
− в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.
Найдите наименьшее значение S, при котором каждая из выплат будет составлять целое число тысяч рублей.
6. В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на три года в размере S млн рублей, где S - целое число. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.
Найдите наибольшее значение S, при котором разница между наибольшей и наименьшей выплатами будет меньше 1 млн рублей.
7. 15-го января был выдан полугодовой кредит на развитие бизнеса. В таблице представлен график его погашения.
В конце каждого месяца, начиная с января, текущий долг увеличивался на 5%, а выплаты по погашению кредита происходили в первой половине каждого месяца, начиная с февраля. На сколько процентов общая сумма выплат при таких условиях больше суммы самого кредита?
8. 15-го января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.
9. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 4,5 млн рублей на срок 9 лет. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;
—с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
Найдите r, если известно, что наибольший годовой платёж по кредиту составит не более 1,4 млн рублей, а наименьший — не менее 0,6 млн рублей.
10. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 28 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года. Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платёж составит 9 млн рублей?
11. Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на пять лет. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 20 % по сравнению с началом года. В конце 1-го, 2-го и 3-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 4-го и 5-го годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наибольший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика будет меньше 7 млн рублей.
12. В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере S тыс. рублей. Условия:
− каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
− с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
− в июле 2017,2018 и 2019 долг остаётся равным S тыс. рублей;
− выплаты в 2020 и 2021 годах равны по 360 тыс. рублей;
− к июлю 2021 долг будет выплачен полностью.
Найдите общую сумму выплат за пять лет.
13. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 16 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 38 млн рублей?
14. 15-го января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Какую сумму следует взять в кредит, чтобы общая сумма выплат после полного его погашения равнялась 1 млн рублей?
15. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 9 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наименьший годовой платёж составит 1,25 млн рублей?
16. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 7 млн рублей на срок 10 лет. Условия возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга так, чтобы на начало июля каждого года долг уменьшался на одну и ту же сумму по сравнению с предыдущим июлем.
Найдите наименьшую возможную ставку r, если известно, что последний платёж будет не менее 0,819 млн рублей.
17. В августе 2020 года взяли кредит. Условия возврата таковы:
— каждый год долг увеличивается на r%;
— с февраля по июль необходимо выплатить часть долга.
Кредит можно выплатить за четыре года равными платежами по 777 600 рублей, или за два года равными платежами по 1 317 600 рублей. Найдите r.
БАЗА ЗАДАНИЙ
Задание № 15. Финансовая математика.
1. В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на четыре года в размере S млн рублей, где S - целое число. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на 15% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.
Найдите наибольшее значение S, при котором общая сумма выплат будет меньше 50 млн рублей.
2. 15-го января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн. рублей. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r - целое число;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.
Найдите наибольшее значение r, при котором общая сумма выплат будет меньше 1,2 млн рублей.
3. В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на четыре года в размере S млн рублей, где S - целое число. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.
Найдите наименьшее значение S, при котором общая сумма выплат будет больше 10 млн рублей.
4. В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на четыре года в размере S млн рублей, где S - натуральное число. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.
Найдите наименьшее значение S, при котором общая сумма выплат будет составлять целое число миллионов рублей.
5. В июле 2016 года планируется взять кредит в банке в размере S тыс. рублей, где S - натуральное число, на 3 года. Условия его возврата таковы:
− каждый январь долг увеличивается на 15% по сравнению с концом предыдущего года;
− с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
− в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.
Найдите наименьшее значение S, при котором каждая из выплат будет составлять целое число тысяч рублей.
6. В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на три года в размере S млн рублей, где S - целое число. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.
Найдите наибольшее значение S, при котором разница между наибольшей и наименьшей выплатами будет меньше 1 млн рублей.
7. 15-го января был выдан полугодовой кредит на развитие бизнеса. В таблице представлен график его погашения.
В конце каждого месяца, начиная с января, текущий долг увеличивался на 5%, а выплаты по погашению кредита происходили в первой половине каждого месяца, начиная с февраля. На сколько процентов общая сумма выплат при таких условиях больше суммы самого кредита?
8. 15-го января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.
9. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 4,5 млн рублей на срок 9 лет. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;
—с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
Найдите r, если известно, что наибольший годовой платёж по кредиту составит не более 1,4 млн рублей, а наименьший — не менее 0,6 млн рублей.
10. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 28 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года. Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платёж составит 9 млн рублей?
11. Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на пять лет. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 20 % по сравнению с началом года. В конце 1-го, 2-го и 3-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 4-го и 5-го годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наибольший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика будет меньше 7 млн рублей.
12. В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере S тыс. рублей. Условия:
− каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
− с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
− в июле 2017,2018 и 2019 долг остаётся равным S тыс. рублей;
− выплаты в 2020 и 2021 годах равны по 360 тыс. рублей;
− к июлю 2021 долг будет выплачен полностью.
Найдите общую сумму выплат за пять лет.
13. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 16 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 38 млн рублей?
14. 15-го января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Какую сумму следует взять в кредит, чтобы общая сумма выплат после полного его погашения равнялась 1 млн рублей?
15. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 9 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наименьший годовой платёж составит 1,25 млн рублей?
16. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 7 млн рублей на срок 10 лет. Условия возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга так, чтобы на начало июля каждого года долг уменьшался на одну и ту же сумму по сравнению с предыдущим июлем.
Найдите наименьшую возможную ставку r, если известно, что последний платёж будет не менее 0,819 млн рублей.
17. В августе 2020 года взяли кредит. Условия возврата таковы:
— каждый год долг увеличивается на r%;
— с февраля по июль необходимо выплатить часть долга.
Кредит можно выплатить за четыре года равными платежами по 777 600 рублей, или за два года равными платежами по 1 317 600 рублей. Найдите r.
В данной работе представлено подробное решение задач на вклады и кредиты. Предложены задачи для самостоятельного решения. Материал может быть использованы при проведении элективных курсов, а также для самостоятельного освоения учащимся методов решения задач экономического содержания.
Задачи на кредиты
В данной работе представлено подробное решение задач на вклады и кредиты. Предложены задачи для самостоятельного решения. Материал может быть использованы при проведении элективных курсов, а также для самостоятельного освоения учащимся методов решения экономических задач.
1. Вклад планируется открыть на четыре года. Первоначальный вклад составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года банк увеличивает вклад на 10% по сравнению с его размером в начале года. Кроме этого, в начале третьего и четвертого годов вкладчик ежегодно пополняет вклад на 10 млн рублей. Найдите наибольший размер первоначального вклада, при котором банк за четыре года начислит на вклад меньше 15 млн рублей.
Пусть первоначальный вклад составляет S млн. руб. В конце каждого года вклад увеличивается на 10%, к= 1 + , к = 1,1
1,1( 1.21S + 10 ) = 1,331 S + 11
1,1(1,331 S + 21) = 1,4641 S + 23,1
По условию задачи необходимо найти наибольшее целое S , при котором банк за четыре года начислит на вклад меньше 15 млн рублей.
1,4641 S + 23,1 -S – 20
S
Наибольшее целое число, удовлетворяющее этому неравенству – 25.
Первоначальный вклад составил 25 млн. руб.
Ответ: 25 млн. руб.
Решить самостоятельно
Вклад планируется открыть на четыре года. Первоначальный вклад составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года вклад увеличивается на 10% по сравнению с его размером в начале года, а, кроме этого, в начале третьего и четвертого годов вклад ежегодно пополняется на 2 млн рублей. Найдите наибольший размер первоначального вклада, при котором через четыре года вклад будет меньше 15 млн рублей.
Ответ: 17 млн. руб.
2. В июле 2026 года планируется взять кредит на пять лет в размере 630 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
- в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остается равным 630 тыс. рублей;
- выплаты в 2030 и 2031 годах равны;
- к июлю 2031 года долг будет выплачен полностью.
Найдите r, если известно, что долг будет выплачен полностью и общий размер выплат составит 915 тыс. рублей.
Пусть к= 1 + , а выплаты с февраля по июнь 2030 по 2031 годах составят Х млн. руб. В июле 2027, 2028 и 2029 годов долг не меняется остается равным 630 тыс. рублей, а ежегодные выплаты составят 630(к – 1) тыс. руб.
(630к – Х)к = 630к 2 - кХ
По условию задачи в июле 2031 года долг выплачен полностью.
630к 2 – кХ – Х = 0
Х =
Общий размер выплат составит: 2Х + 3·630(к – 1) = 2· + 1890к – 1890 = + 1890к – 1890. Общий размер выплат составит 915 тыс. рублей.
+ 1890к – 1890 = 915
1260к 2 + 1890к 2 + 1890к – 1890к – 1890 = 915к + 915
3150к 2 – 915к – 2805 = 0
210к 2 – 61к – 187 = 0
D = 160801= 401 2 , к = 1,1 к
Решить самостоятельно
В июле 2026 года планируется взять кредит на пять лет в размере 900 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
- в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остается равным 900 тыс. рублей;
- выплаты в 2030 и 2031 годах равны;
- к июлю 2031 года долг будет выплачен полностью.
Найдите r, если известно, что долг будет выплачен полностью и общий размер выплат составит 1925 тыс. рублей.
3. В июле 2026 года планируется взять кредит на пять лет в размере S тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на 30% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
- в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остается равным S тыс. рублей;
- выплаты в 2030 и 2031 годах равны по 338 тыс. рублей;
- к июлю 2031 года долг будет выплачен полностью.
Найдите общую сумму выплат за пять лет.
В июле 2026 года планируется взять кредит на пять лет в размере S тыс. Каждый январь долг возрастает на 30% по сравнению с концом предыдущего года рублей. В июле 2027, 2028 и 2029 годов долг не меняется и остается равным S тыс. рублей, а ежегодные выплаты составляют по 0,3 S тыс. руб. Выплаты в 2030 и 2031 годах равны по 338 тыс. рублей
0,3(1,3 S – 338) = 1,69S – 439,4
1,69S – 439,4 – 338 = 1,69S – 777 , 4
По условию задачи к июлю 2031 года долг будет выплачен полностью.
1,69S – 777 , 4 = 0 1,69S = 777 , 4 S = 460
Значит первые три выплаты равны 460·0,3 = 138 тыс. руб., а последние две – по 338 тыс. руб. Общая сумма выплат: 3·138 + 2·338 = 1090 тыс. руб.
Ответ: 1090 тыс. руб.
Решить самостоятельно
В июле 2021 года планируется взять кредит на пять лет в размере S тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
- в июле 2022, 2023 и 2024 годов долг остается равным S тыс. рублей;
- выплаты в 2025 и 2026 годах равны по 625 тыс. рублей;
- к июлю 2026 года долг будет выплачен полностью.
Найдите общую сумму выплат за пять лет.
Ответ: 1925 тыс. руб.
4.В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на сумму 700 тыс. рублей на 10 лет. Условия его возврата таковы:
- в январе 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг возрастает на 19% по сравнению с концом предыдущего года;
- в январе 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг возрастает на 16% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
- к июлю 2035 года кредит должен быть полностью погашен.
Найдите общую сумму выплат после полного погашения кредита.
Пусть S = 700 тысяч руб. сумма кредита, взятого на n = 10 лет. С 2026 года по 2030 год долг возрастает на r 1 =19% = 0,19, с 2031 года по 2035 год долг возрастает на r 2 = 16% = 0,16. За х1, х2, х3, …, х10 обозначим выплаты, т.к. в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.
Составим таблицу выплат:
Х1 = r 1 · +
Х 6 = r2 · +
Х 2 = r 1 · +
Х 7 = r2 · +
Х 3 = r 1 · +
Х 8 = r2 · +
Х 4 = r 1 · +
Х9= r2 · +
Х 5 = r 1 · +
Х10 = r2 · +
Найдем сумму всех выплат:
r1· + + r1· + r1· + r1· + r2· + r2· + r1· ( 10 + 9 + 8 + 7 + 6) + r2· (5 + 4 + 3 + 2 + 1) + 8· = r1· + r2· + S = 0,19·4S+ 0,16·1,5S + S = 0,76S + 0,24S + S = 2S.
2· 700000 = 1400000 руб.
Ответ: 1400000 руб.
Решить самостоятельно
В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на сумму 700 тысяч рублей на 10 лет. Условия его возврата таковы:
— в январе 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг возрастает на 19% по сравнению с концом предыдущего года;
— в январе 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг возрастает на 16% по сравнению с концом предыдущего года;
— со февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
— к июлю 2035 года кредит должен быть погашен полностью.
Найдите общую сумму выплат после полного погашения кредита.
5. В июле 2025 года планируется взять кредит на 8 лет. Условия его возврата таковы:
- в январе 2026, 2027, 2028 и 2029 долг возрастает на 15% по сравнению с концом предыдущего года;
- в январе 2030, 2031, 2032 и 2033 долг возрастает на 11%;
- долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
- к июлю 2033 года долг должен быть погашен.
Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат составит 650 тыс. рублей?
Пусть S руб. сумма кредита, взятого на n = 8 лет, . С 2026 года по 2029 год долг возрастает на r 1 =15% = 0,15, с 2030 года по 2033 год долг возрастает на r 2 = 11% = 0,11. За х1, х2, х3, …, х8 обозначим выплаты, т.к. долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.
Составим таблицу выплат:
Х1 = r 1 · +
Х 5 = r2 · +
Х 2 = r 1 · +
Х 6 = r2 · +
Х 3 = r 1 · +
Х 7 = r2 · +
Х 4 = r 1 · +
Х 8 = r2 · +
Найдем сумму всех выплат:
r 1 · + + r 1 · + r 1 · + r 2 · + r 2 · + r 2 · + r 1 · ( 8 + 7 + 6 + 5) + r 2 · (4 + 3 + 2 + 1) + 8· = r 1 · + r 2 · + S = 0,15· + 0,11· + S . Сумма выплат по условию задачи составляет 650 тыс. рублей.
0,15· + 0,11· + S = 650000
0,15· + 0,11· + S = 650000
0,15·13S + 0,11·5S + 4S = 2600000
1,95 S + 0,55S + 4S = 2600000
S = 2600000: 6,5 = 26000000: 65 = 400000
Ответ: 400000 руб.
Решить самостоятельно
В июле 2026 года планируется взять кредит на 6 лет. Условия его возврата таковы:
- в январе 2027, 2028 и 2029 долг возрастает на 16% по сравнению с концом предыдущего года;
- в январе 2030, 2031 и 2032 долг возрастает на 15%;
- долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
- к июлю 2032 года долг должен быть погашен.
Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат составит 930 тыс. рублей?
Ответ: 600 тыс. руб.
6. Планируется взять кредит в размере 300 тысяч на 6 лет. Условия его возврата таковы: – в течение первых трех лет долг возрастает на 𝑟 % по сравнению с концом предыдущего года; – в течение следующих трех лет долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года; – долг в июле каждого года должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года; – к концу шестого года долг должен быть полностью погашен. Найдите значение 𝑟 , если общая сумма выплат за все годы составит 435 тысяч рублей.
Пусть S = 300 тысяч руб. сумма кредита, взятого на n = 6 лет, – ежегодный платеж. В течении первых трех лет долг возрастает на r %, в течении следующих трех лет долг возрастает на r 1 = 10% = 0,1. За х1, х2, х3, …, х6 обозначим выплаты, т.к. долг в июле каждого года должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.
Составим таблицу выплат:
Х1 = r · +
Х4 = r 1 · +
Х 2 = r · +
Х5= r 1 · +
Х 3 = r · +
Х6 = r 1 · +
Найдем сумму всех выплат:
r · + + r · + r · + r 1 · + r 1 · + r · (6 + 5 + 4) + r 1 · (3 + 2 + 1) + 6· = r · + r 1 · + S = r · + 0,1 S + S . Сумма выплат по условию задачи составляет 435 тыс. рублей.
2,5rS + 1,1 S = 435000
2,5r·300000 + 1,1·300000 = 435000
750000r = 435000 – 330000
r = 105000: 750000 = 105:750 = 0,14
Решить самостоятельно
В июле 2025 года планируется взять кредит 600тыс. на 6 лет. Условия его возврата таковы:
- в январе 2026, 2027 и 2028 долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
- в январе 2029, 2030 и 2031 долг возрастает на r%;
- долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
- к июлю 2031 года долг должен быть погашен.
Найти r%, если общая сумма выплат составит 984 тыс. рублей?
Критерии оценивания экономической (банковской) задачи № 17 в ЕГЭ по профильной математике.
Читайте также: