Для какой цели созданы специальные пособия определители

Обновлено: 04.07.2024

Летом 2022 года в Санкт-Петербурге состоится Международный конгресс математиков — важнейшее математическое мероприятие, которое проходит раз в четыре года. В преддверии нового года мы решили напомнить об этом событии и подготовили непростой тест с задачками по линейной алгебре. Или, проще говоря, с задачками на матрицы.

1. Василий искал собственные значения, след и определитель матрицы размера 5 на 5. В результате собственные значения получились 1, 3 и 5, след — 15 и определитель — 45. Друг Василия Сергей говорит, что таких матриц не бывает. Кто точно ошибается?

2. Матрицу L (на картинке) возвели в степень 1001. Чему равен левый верхний элемент получившейся матрицы?

3. Дана матрица A (на картинке) и матрица X, которая удовлетворяет четырем условиям: ее след равен нулю и AX + XA = 0, AX 2 - X 2 A = 0, AX 3 - X 2 AX - XAX 2 + X 3 A = 0. Чему равен правый верхний элемент матрицы X?

4. Для размерности натурального n взяли все матрицы размера n x n, состоящие из нулей и единиц. Для всех матриц вычислили определители и посчитали среднее арифметическое определителей. Оно получилось равным 1/2. Чему равна размерность пространства?

5. Дана матрица L размера 3 на 3, компоненты которой равны 1 или - 1. Какое максимальное значение может принимать определитель этой матрицы?

Поздравляем, ваш результат: из

Вы не очень дружите с матрицами. Ничего страшного, попробуйте поучить немного линейную алгебру и возвращайтесь с новыми силами. Или просто пройдите тест еще раз, зная правильные ответы.

Поздравляем, ваш результат: из

Решили одну задачу? Наверное, просто угадали. Ничего страшного, попробуйте немного поучить линейную алгебру и возвращайтесь с новыми силами. Или просто пройдите тест еще раз, зная правильные ответы.

Поздравляем, ваш результат: из

Неплохой результат, можете себя похвалить. Все-таки задачи были не самые простые, а вы решали их в уме (ведь в уме, да?). Ошибки — это не страшно, особенно если вы провели над ними работу.

Поздравляем, ваш результат: из

Очень крутой результат. Им можно гордиться — все-таки задачи были не самые простые, а вы решали их в уме (ведь в уме, да?). Ошибка — это не страшно, особенно если вы провели над ней работу.

Поздравляем, ваш результат: из

Поздравляем, это отменный результат. Наш тест не смог вас удивить. Разве что вы — тот самый человек, который решил перепройти тест, зная правильные ответы. Это тоже замечательно. Тщеславие и упорство — полезные качества.

Нашли опечатку? Выделите фрагмент и нажмите Ctrl+Enter.

Астрономы построили карту релятивистских джетов радиогалактики Центавр А

Астрономы отыскали новый эксор

Радиотелескоп FAST увидел плазменное линзирование радиоизлучения пульсара-черной вдовы

Недопокалечит

Почему новое лекарство от ковида пугает вирусологов

Повторный просмотр ускоренной видеолекции помог студентам лучше сдать экзамен

Австралийцы впервые за 22 года увидели редкую розовую рыбу с похожими на руки плавниками для ходьбы по дну

Радиотелескоп FAST увидел плазменное линзирование радиоизлучения пульсара-черной вдовы

Модельный комплекс железа позволил изучить механизм процесса Габера — Боша

Планетологи отказались от модели экстремального испарения океана магмы на молодом Меркурии

Астрономы построили карту релятивистских джетов радиогалактики Центавр А

Матрицы: воскрешение

Магнитное экранирование ядра в атоме гелия-3 уточнили на порядок

Модельный комплекс железа позволил изучить механизм процесса Габера — Боша

Газ монооксида иттрия сизифово охладили до одного микрокельвина

16-летнее наблюдение за парой пульсаров с рекордной точностью подтвердило Общую теорию относительности

Австралийский физик уточнил понятие нейтринного пола в физике темной материи

Российские физики собрали кукварты из ионов

Физики поискали бозонные облака с помощью гравитационных обсерваторий

Ядерное движение оказалось важным для фотоионизации молекулы водорода

Физики определили точку вылета электрона из молекулы при фотоионизации

Самое сложное

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ
или детерминант, - в математике запись чисел в виде квадратной таблицы, в соответствие которой ставится другое число ("значение" определителя). Очень часто под понятием "определитель" имеют в виду как значение определителя, так и форму его записи. Определители позволяют удобно записывать сложные выражения, возникающие, например, при решении линейных уравнений в аналитической геометрии и в математическом анализе. Открытие определителей приписывают японскому математику С. Кова (1683) и, независимо, Г. Лейбницу (1693). Современная теория восходит к работам Ж. Бине, О. Коши и К. Якоби в начале 19 в. Простейший определитель состоит из 4 чисел, называемых элементами и расположенных в виде 2-х строк и 2-х столбцов. О таком определителе говорят, что он 2-го порядка. Например, таков определитель

значение которого равно 2*5 - 3*1 (т.е. 10 - 3 или 7). В общем случае определитель 2-го порядка принято записывать в виде

а его значение равно a1b2 - a2b1, где a и b - числа или функции. Определитель 3-го порядка состоит из 9 элементов, расположенных в виде 3-х строк и 3-х столбцов. В общем случае определитель n-го порядка состоит из n2 элементов, и обычно его записывают как

Первый индекс каждого элемента указывает номер строки, второй - номер столбца, на пересечении которых стоит этот элемент, поэтому aij - элемент i-й строки и j-го столбца. Часто такой определитель записывают в виде |aij|. Один из методов вычисления определителя, почти всегда используемый при вычислении определителей высокого порядка, состоит в разложении по "минорам". Минором, соответствующим любому элементу определителя, называется определитель меньшего на 1 порядка, получаемый из исходного вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит этот элемент. Например, минором, соответствующим элементу a2 из определителя

"Алгебраическим дополнением" элемента называется его минор, взятый со знаком плюс, если сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент, четна, и со знаком минус, если она нечетна. В приведенном выше примере элемент a2 состоит в 1-м столбце и во 2-й строке; сумма (1 + 2) нечетна, и поэтому алгебраическое дополнение элемента a2 равно его минору, взятому со знаком минус, т.е.

Значение определителя равно сумме произведений элементов любой строки (или любого столбца) на их алгебраические дополнения. Например, определитель

разложенный по первому столбцу, имеет вид

а его разложение по второй строке, имеет вид

Вычислив каждый минор и умножив его на коэффициент, нетрудно убедиться в том, что оба выражения совпадают. Значение определителя. Под значением определителя

принято понимать сумму всех произведений из n элементов, т.е.

В этой формуле суммирование ведется по всем перестановкам j1, ј, jn чисел 1, 2, ј, n и перед членом ставится знак плюс, если перестановка четна, и минус, если эта перестановка нечетна. Такая сумма насчитывает ровно n! членов, половина которых берется со знаком плюс, половина - со знаком минус. Каждый член суммы содержит по одному члену из каждого столбца и каждой строки определителя. Можно доказать, что эта сумма совпадает с выражением, получаемым при разложении определителя по минорам.
Свойства определителя. Среди наиболее важных свойств определителя назовем следующие. (i) Если все элементы любой строки (или любого столбца) равны нулю, то и значение определителя равно нулю:

(ii) Если элементы двух строк (или двух столбцов) равны или пропорциональны, то значение определителя равно нулю:

(iii) Значение определителя не изменится, если все его строки и столбцы поменять местами, т.е. записать первую строку в виде первого столбца, вторую строку - в виде второго столбца и т.д. (такая операция называется транспонированием). Например,

(iv) Значение определителя не изменится, если к элементам одной строки (или столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на произвольный множитель. В следующем примере элементы второй строки умножаются на -2 и прибавляются к элементам первой строки:

(v) Если поменять местами две строки (или два столбца), то определитель изменит знак:

(vi) Если все элементы одной строки (или одного столбца) содержат общий множитель, то этот множитель можно вынести за знак определителя:

Пример. Вычислим значение следующего определителя 4-го порядка:

Прибавим к 1-й строке 4-ю строку:

Вычтем 1-й столбец из 4-го столбца:

Умножим 3-й столбец на 3 и вычтем из 4-го столбца:

Если угодно, то строки и столбцы можно поменять местами:

Разложим определитель по элементам четвертой строки. Три элемента этой строки равны нулю, ненулевой элемент стоит в третьем столбце, а поскольку сумма (3 + 4) нечетна, его алгебраическое дополнение имеет знак минус. В результате получаем:

Минор можно разложить по элементам третьей строки: два ее элемента равны нулю, а отличный от нуля элемент стоит в третьем столбце; сумма (3 + 3) четна, поэтому предыдущее равенство можно продолжить:

Применения. Решение системы уравнений

можно получить, если первое уравнение умножить на b2, второе - на b1, а затем вычесть одно уравнение из другого. Проделав эти операции, мы получим

или, если

то

Такая запись решения с помощью определителей допускает обобщение на случай решения системы n линейных уравнений с n неизвестными; каждый определитель будет n-го порядка. Определителем системы линейных уравнений

будет

Заметим, что если D = 0, то уравнения либо несовместны, либо не являются независимыми. Поэтому предварительное вычисление определителя D позволяет проверить, разрешима ли система линейных уравнений.
Определители в аналитической геометрии. Общее уравнение конического сечения представимо в виде

Определитель

называется дискриминантом. Если D = 0, то кривая вырождается в пару параллельных или пересекающихся прямых либо в точку (см. также КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ). Другой пример: площадь треугольника A с вершинами в точках (обход - против часовой стрелки) (x1, y1), (x2, y2) и (x3, y3) определяется выражением

Связь определителей с матрицами. Матрицей называется запись массива чисел в виде прямоугольной таблицы. Определители связаны с квадратными матрицами; например, определитель матрицы

Если A, B и С - квадратные матрицы и , то |A|*|B| = |C|.
См. также АЛГЕБРА АБСТРАКТНАЯ.
Якобиан. Если x = f (u, v), y = g (u, v) - преобразование координат, то определитель

называется якобианом или определителем Якоби этого преобразования. Если J не равен 0 в некоторой точке, то в ее окрестности уравнения преобразования можно однозначно разрешить относительно u и v, представив их как функции от x и y.
См. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.

Под средствами обучения понимается совокупность материальных учебно-методических объектов, которые используются для передачи и овладения знаниями, умениями и навыками и общего развития личности учащихся.

К средствам обучения естествознанию можно отнести следующие группы учебно-методических пособий:

2) учебники, учебные пособия, методические пособия для учителя;

1) изображения и отображения предметов и явлений: модели, муляжи, таблицы, карты;

2) натуральные объекты неживой и живой природы;

3) аудиовизуальные средства (грамзаписи, видеофильмы и т.д.);

1) средства для проведения лабораторных опытов: приборы, посуда, реактивы, лабораторные принадлежности;

2) технические средства обучения (по С.Г. Шаповаленко).

Средства обучения, входящие в состав системы для преподавания учебного предмета, взаимосвязаны, и эти связи определяются прежде всего содержанием, методикой преподавания, особенностями усвоения предмета, а также функциональными свойствами отдельных средств обучения. Такие связи порождают целостность, структурность и относительную автономность системы (Голов В. П.).

Вербальные средства обучения. Наша страна обладает богатейшими традициями в области разработки теории создания школьных учебников и другой дидактической и методологической литературы. Одна из лучших в мировой научно-педагогической литературе книг, посвященных школьному учебнику, создана Д.Д. Зуевым.
Учебник является наиболее важным средством обучения. Он связан со всеми другими средствами непосредственно или опосредованно, и, прежде всего с программой, содержание которой представляет в конкретном виде, одновременно уточняя, развивая и совершенствуя ее, оказывая обратное воздействие. Главная идея, вокруг которой группируется учебный материал, — идея целостности окружающего мира. Учебник связан и с другими вербальными средствами обучения: рабочими тетрадями на печатной основе, тестами для проверочных работ и др. Он стимулирует возникновение этих средств, определяет их содержание и методику построения.
Все виды печатных пособий являются необходимым дополнением к учебной книге. Материал этих пособий должен конкретизировать, несколько развивать материал книги, но не составлять другого рода сведений и работ, не связанных с программой и перегружающих учащихся. Содержание учебных пособий должно учитывать фонд применяемых в школе наглядных объектов и средств для воспроизведения явлений.

Наглядные средства обучению естествознанию можно классифицировать по содержанию и дидактическим целям применения (В.М. Пакулова, В.И. Кузнецова).

А) Натуральные объекты

Натуральные объекты играют ведущую роль при изучении естественных наук. Они занимают главное место на первой (эмпирической) ступени познания. Натуральные пособия помогают сформировать наиболее точные представления об изучаемых природных объектах.

К живым объектам относятся комнатные растения и животные уголка живой природы. При организации уголка живой природы и работы в нем учащихся необходимо руководствоваться следующими требованиями:

■ доступность материала возрасту учащихся;

■ краеведческий подход в подборе материала;

■ принцип сезонности в работе;

■ общественно полезная направленность.

■ Отбор растений для оборудования уголка осуществляется с учетом требований школьной программы и обязательного минимума содержания образования.

Если в школе есть возможность содержать животных, то уроки по их изучению могут проводится в уголке живой природы. На базе уголка живой природы возможно проведение длительных наблюдений и исследовательских работ с младшими школьниками. Большую роль играют растения и животные уголка живой природы в воспитании у детей уважения к любому живому существу, в формировании природоохранных умений и навыков.

Фиксированные объекты живой природы могут использоваться на уроках естествознания в качестве демонстрационного или раздаточного материала.

Для начальной школы созданы гербарии дикорастущих и культурных растений, коллекции плодов и семян. Кроме них учитель может пользоваться и гербариями растений различных природных зон по курсу географии и гербариями по систематике растений к курсу биологии.

На уроках по изучению разнообразия и размножения животных могут применяться коллекции насекомых, чучела птиц, влажные препараты — объекты, зафиксированные в растворах (развитие рыбы, ужа, цыпленка).

Б) Искусственные и изобразительные наглядные пособия

Это средства, воспроизводящие натуральные объекты и процессы, или описывающие их с помощью условных знаков, символов.

Наиболее приближены к натуральным объемные пособия .

Муляжи (слепки) — это модели предмета в натуральную величину точно передающие его внешние признаки (цвет, форму), но без внутреннего содержания.
Близки к объемным и рельефные наглядные пособия. Такие пособия имеют односторонний объем. К ним относятся системы органов дыхания, кровообращения, строение кожи и др.

Плоскостные пособия воспроизводят натуральные объекты или их знаковые заместители с помощью двухмерного изображения.

Статические пособия не передают движение, развитие природных объектов. Это учебные таблицы, картины, фотографии, слайды, географические карты, которые широко используются в преподавании начального курса естествознания. Географические карты формируют у детей пространственные представления о размерах различных участков земной поверхности и размещении на ней природных объектов. Географические объекты на карте обозначены при помощи определенных знаковых символов, т.е. обладают высокой степенью абстракции.

Аудиовизуальные средства обучения. Эти средства включают экранные , передающие информацию через зрительный анализатор; экранно-звуковые , воздействующие одновременно на зрительный и слуховой анализаторы и звуковые пособия, которые передают информацию через орган слуха. К экранным пособиям относятся диафильмы и диапозитивы, которые широко используются при изучении естествознания в начальной школе.

Диапозитивы — это черно-белые или цветные позитивные фотографические изображения на прозрачном материале (чаще на пленке), предназначенные для демонстрации на экране с помощью проектора. Диапозитивы одни из самых ранних экранных пособий, не потерявшие своего значения до настоящего времени. Это объясняется тем, что они передают на экране натуральные объекты без искажений.

Диафильмы — это учебные фильмы, составленные из диапозитивов, объединенных одной общей темой. Кадры диафильма снабжены краткими субтитрами. Для начальной школы выпущена серия диафильмов, освещающих различные темы курса природоведения.

Для показа диафильма или диапозитивов нужен диапроектор. Он должен обладать достаточной мощностью, чтобы не требовать затемнения кабинета. В противном случае учителю в ходе урока придется нерационально расходовать время, выключая и включая свет.

Методические требования к демонстрации экранных пособий следующие:

■ перед просмотром учитель ставит познавательную задачу, которая решается в процессе просмотра;

■ не следует демонстрировать без перерыва более 7-8 кадров, чтобы удержать устойчивое внимание детей;

■ фрагменты диафильма или кадры диапозитивов могут демонстрироваться на различных этапах урока;

Экранно-звуковые средства обучения помогают увидеть динамику развития природных процессов. А.А. Половинкин отмечал, что за 10-15 мин демонстрации кинофильма учащиеся усваивают объем информации рассчитанной на урок. Это доказывает, что учебные фильмы экономят время и повышают производительность педагогического труда.

Наиболее рационально использовать на уроке видеофильмы . Их показ не требует затемнения класса; при необходимости учитель может замедлить или ускорить просмотр видеофильма, остановить или вернуть кадр.

Звуковые средства обучения — это аудиокассеты и грамзаписи звуков природы: шума морского прибоя, шелеста листьев, голосов птиц, зверей и др. На уроках можно использовать и аудиозаписи выступлений известных ученых или отрывки из рассказов о природе, путешествиях и т.п. К этим средствам обучения предъявляются требования, сходные с требованиями к словесным методам обучения:

■ продолжительность прослушивания не больше 3-5 мин;

■ учитель должен предварительно познакомиться с записью, выбрать материал, необходимый при изучении текущей темы, определить время и место прослушивания на уроке;

■ нужно составить вопросы или задания к выбранному для урока фрагменту для того, чтобы дети целенаправленно слушали запись;

■ после прослушивания дети отвечают на вопросы учителя, делают выводы.

В последние годы разрабатываются компьютерные программы , для начальной школы, которые призваны повысить эффективность усвоения естественнонаучных знаний. В скором времени эти средства обучения займут одно из ведущих мест в обучении младших школьников.

Вспомогательные средства обучения. Эти средства необходимы для демонстрации опытов и проведения практических работ.

Лабораторное оборудование требуется для проведения опытов учителем и учащимися.

Для проведения экскурсий в начальной школе нужно иметь необходимый минимум экскурсионного оборудования ( компас, планшеты, измерительная лента с делениями, термометры, энтомологические сачки (воздушные и водные), стеклянные баночки (для рассмотрения мелких животных).

Важное место в начальной школе занимает работа детей с действующими приборами — термометром, компасом. Для формирования навыка работы с этими приборами необходимо иметь их в количестве, достаточном для раздачи каждому ученику.

Для демонстрации аудиовизуальных пособий в начальной школе нужны магнитофон или музыкальный центр, телевизор, видеомагнитофон, проекционное оборудование. Все это — технические средства обучения .

Материальная база преподавания естествознания не может ограничиваться учебным оборудованием кабинета. Она должна включать учебно-опытный участок и географическую площадку во дворе школы.

разложенный по первому столбцу, имеет вид

а его разложение по второй строке, имеет вид

принято понимать сумму всех произведений из n элементов, т.е.

(v) Если поменять местами две строки (или два столбца), то определитель изменит знак:

Пример. Вычислим значение следующего определителя 4-го порядка:

Прибавим к 1-й строке 4-ю строку:

Вычтем 1-й столбец из 4-го столбца:

Умножим 3-й столбец на 3 и вычтем из 4-го столбца:

Если угодно, то строки и столбцы можно поменять местами:

Применения. Решение системы уравнений

или, если

то

будет

Определитель

Читайте также: