Налог оброк в виде кругов эйлера
Обновлено: 03.05.2024
Круги Эйлера представляют собой особую геометрическую схему, необходимую для поиска и более наглядного отображения логических связей между понятиями и явлениями, а также для изображения отношений между определенным множеством и его частью. Благодаря наглядности они значительно упрощают любые рассуждения и помогают быстрее находить ответы на вопросы.
Автором кругов является известный математик Леонард Эйлер, который считал, что они необходимы, чтобы облегчить размышления человека. С момента своего появления метод приобрел широкую популярность и признание.
Леонард Эйлер – российский, немецкий и швейцарский математик и механик. Внес огромный вклад в развитие математики, механики, астрономии и физики, а также ряда прикладных наук. Написал больше 850 научных работ по теории чисел, теории музыки, небесной механике, оптике, баллистике и другим направлениям. Среди этих работ несколько десятков фундаментальных монографий. Половину жизни Эйлер прожил в России и оказал большое влияние на становление российской науки. Многие его труды написаны на русском языке.
Для чего нужны круги Эйлера
Круги Эйлера имеют прикладное значение, ведь с их помощью можно решать множество практических задач на пересечение или объединение множеств в логике, математике, менеджменте, информатике, статистике и т.д. Полезны они и в жизни, т.к., работая с ними, можно получать ответы на многие важные вопросы, находить массу логических взаимосвязей.
Есть несколько групп кругов Эйлера:
- равнозначные круги (рисунок 1 на схеме);
- пересекающиеся круги (рисунок 2 на схеме);
- подчиненные круги (рисунок 3 на схеме);
- соподчиненные круги (рисунок 4 на схеме);
- противоречащие круги (рисунок 5 на схеме);
- противоположные круги (рисунок 6 на схеме).
Но в упражнениях на развитие мышления чаще всего встречаются два вида кругов:
- Круги, описывающие объединения понятий и демонстрирующие вложенность одного в другое. Посмотрите пример:
- Круги, описывающие пересечения разных множеств, имеющих некоторые общие признаки. Посмотрите пример:
Результат использования кругов Эйлера проследить на этом примере очень просто: обдумывая, какую профессию выбрать, вы можете либо долго рассуждать, пытаясь понять, что больше подойдет, а можете нарисовать аналогичную диаграмму, ответить на вопросы и сделать логический вывод.
Применять метод очень просто. Также его можно назвать универсальным – подходящим для людей всех возрастов: от детей дошкольного возраста (в детских садах детям преподают круги, начиная с 4-5-летнего возраста) до студентов (задачи с кругами есть, к примеру, в тестах ЕГЭ по информатике) и ученых (круги широко применяются в академической среде).
Типичный пример кругов Эйлера
На рисунке зеленым цветов отмечено наибольшее множество, представляющее собой все варианты игрушек. Один из них – это конструкторы (голубой овал). Конструкторы – это отдельное множество само по себе, но в то же время и часть общего множества игрушек.
Заводные игрушки (фиолетовый овал) тоже относятся к множеству игрушек, однако к множеству конструктора они отношения не имеют. Зато заводной автомобиль (желтый овал), пусть и является самостоятельным явлением, но считается одним из подмножеств заводных игрушек.
По подобной схеме строятся и решаются многие задачи (включая и задания на развитие когнитивных способностей), задействующие круги Эйлера. Давайте разберем одну такую задачу (кстати, именно ее в 2011 году внесли на демонстрационный тест ЕГЭ по информатике и ИКТ).
Пример решения задачи с помощью кругов Эйлера
Условия задачи таковы: приведенная таблица показывает, сколько страниц было найдено в Интернете по конкретным запросам:
| Запрос | Найдено страниц (в тысячах) |
| Крейсер/линкор | 7 000 |
| Крейсер | 4 800 |
| Линкор | 4 500 |
Учитывая условия задачи, составляем уравнения:
- Крейсер/линкор: 1+2+3 = 7 000;
- Крейсер: 1+2 = 4 800;
- Линкор: 2+3 = 4 500.
4 800 + 3 = 7 000, а значит, что 3 = 2 200 (т.к. 7 000-4 800 = 2 200).
Далее полученный результат подставляем в уравнение 3 и получаем:
2 + 2 200 = 4 500, а это означает, что 2 = 2 300 (т.к. 4 500-2 200 = 2 300).
Этот пример наглядно демонстрирует, что с помощью кругов Эйлера можно достаточно быстро и просто решать сложные задачи.
Резюме
Работа креатора — это не только генерить идеи. Но и вовремя включить критическое мышление — чтобы найти в концепциях противоречия и отбросить то, что не выживет.
Инструменты есть не только для креативного, но и для логического мышления. И круги Эйлера — как раз из этого списка. Рассказываем, что это, и на примере креативных проектах показываем принцип работы кругов.
Рисовать, чтобы думать
Круги Эйлера — это шесть простых геометрических схем, которые помогают разобраться в соотношении понятий. Математик Леонард Эйлер придумал их еще в XVIII веке и предположил, что этот инструмент упростит размышления любому, кто мыслит.
Круги Эйлера используют для решения логических задач уже в средней школе. Но схемы универсальны — и действительно пригодятся любому, кто размышляет.
Нарисуй, распечатай, запомни круги Эйлера — и используй, если нужно:
- — Разработать стратегию и проверять, как идея/проект с ней соотносятся.
- — Анализировать контент конкурентов, кампании каннских победителей, рекламу Superbowl — и понять ключевые схемы.
- — Выбрать tone of voice, героя истории, стиль вижуала, маскот для бренда, месседж для слогана.
- — Найти противоречия и логические ямы в брифе, сценарии, посте для соцсетей.
- — Освоить новый скил, но с направлением определиться трудно.
Эйлер на кейсах
Самый надежный способ разобраться в механизме системы, которую придумал Эйлер, — найти примеры в готовых кейсах. Увидишь, как работает равнозначность в стратегии бренда или пересечение в поисках героя для рекламного ролика, — поймешь, как использовать этот подход в своих целях.
Один рекламный ролик не сможет за минуту убедить пользователей, что пиво = Guinness, мыло = Dove, а детское масло = Johnson’s Baby. Нужна эффективная (часто многолетняя) маркетинговая стратегия, которая приведет к этому убеждению.
Допустим, общее понятие — это большой круг. Внутри него находится другой, маленький, и это — частность большого. Зимних олимпийских видов спорта много, и бобслей, например, один из них.
Такой тип отношений — мощный инструмент для рекламного месседжа. Особенно если его целью оказывается инклюзия: включение незаметной, неожиданной, уязвимой группы в сообщество. Nike на протяжении нескольких лет топит за спорт как удовольствие, независимо от телосложения, опыта, целей и происхождения. И на уровне продукта, и на уровне рекламных кампаний.
Коллекцию Victory Swim разработали для спортсменок-мусульманок — и Nike промит ее идеальным роликом, где женщины в хиджабах участвуют в соревнованиях, серфят, занимаются дайвингом и учат дочек плавать. И становятся частью сообщества Nike:
Графический ключ к этому соотношению — большой круг, внутри которого помещаются несколько маленьких. Маленькие понятия на равных и полностью включены в какое-то общее. Например, актеры, получившие Оскар, — Хоакин Феникс, Гэри Олдман, Леонардо Ди Каприо.
Креаторы латвийского агентства Nord DDB во время весеннего локдауна разработали серию принтов о бедах, которые мы уже пережили (а значит, есть все шансы пережить и жесткий карантин). Среди самых страшных событий прошлого: шлепанцы на носки и кроксы с платформой. Реально страшно:
Эта диаграмма Эйлера — самая культовая и попсовая: ее растащили в коуч-пособия и мемы. Суть в том, что объем одного понятия частично совпадает с объемом другого — у них есть что-то общее.
Это крутой визуальный инструмент для поиска инсайта. Если представить бренд как исходный круг и строить вокруг него пересечения с ценностями и потребностями ЦА, попадешь в область, где совпадение будет максимальным.
Например, у Starbucks есть фишка: писать имя посетителя на кофейном стаканчике. Этот факт даже не про кофе, он — маленькая деталь в общем объеме информации о бренде. Но среди посетителей кофеен точно есть те, кто хочет сказать свое имя — и услышать его от бариста. Значит, нужно найти героя, который только в Starbucks может назвать себя как угодно, а не так, как написано в паспорте.
В отличие от противоположности, противоречие держится на конфликте. Круг разделен пополам. Одна его часть утверждает, что не является второй частью. И наоборот.
На этом принципе строятся самые остроумные рекламные войны между брендами: Audi vs BMW, Pepsi vs Coca Cola, Old Spice vs Axe. Чаще это противостояние скрытое — борьба стратегий, разделение целевых аудиторий, — но иногда начинается прямой троллинг конкурента.
Рекламная борьба между McDonald’s и Burger King — самая долгая и зрелищная. Клоун, маскот Мака, шифруется и приходит в Burger King за воппером. Потом Burger King показывает, что весь год снимал рекламу вопперов, заслоняя ими бигмаки. Конкуренты меряются вкусом и размером бургеров, близостью ресторанов уже больше 20 лет.
А зарывают топор войны только ради социально важных поступков, но и тогда это соревнование в благородстве. В начале осеннего локдауна французский Burger King опубликовал в медиа призыв покупать в McDonald’s и других сетях фастфуда — чтобы индустрия выжила. Конечно, воппер будет лучшим решением, но и бигмак сойдет.
Круги Эйлера (другое название — диаграммы Венна) — это геометрическая схема, которую можно применять для наглядного отображения отношений между множествами. Диаграммы разработал известный математик и механик, чьим именем и назван метод. Учёный считал, что его подход облегчает размышления человека.
Множества в математике
Диаграммы Венна помогают показать связь теории множеств и логических операций. Круги Эйлера, множества чисел и других предметов тесно связаны. Под множеством понимается совокупность каких-то объектов, называемых элементами. В множества можно объединять объекты с общим признаком. Например, множество студентов второго курса университета или множество статей, написанных одним учёным. Можно выделить три вида таких математических объектов:
- конечное, например, множество стран;
- бесконечное — множество звёзд во вселенной;
- пустое — множество острых углов в прямоугольнике.
Группа элементов, составляющая множество, входящее в другое, более обширное множество называется подмножеством. Такое отношение получается между множеством действительных чисел и входящим в его состав подмножеством натуральных чисел.
- дополнение ¯A в калькуляторе имеет вид A’;
- пересечение A∩B представлено как A intersection B;
- объединение А⋃B обозначено A union B;
- симметрическая разность A∆B — symmetric difference of A and B;
- Относительное дополнение AB — AB.
Калькулятор выдаёт результат и подробное решение с правильным порядком операций при подстановке конкретных множеств.
Кольцом в теории множеств называют непустую систему R, замкнутую относительно пересечения и симметрической разности, то есть при пересечении или операции симметрической разности любых двух множеств обязательно получается множество, входящее в R. Это означает, что для любых элементов A, B из кольца элементы A∩B и A∆B будут лежать в кольце.
Отношения между понятиями
Рисунок 1
Сравнимые понятия подразделяются на совместимые и несовместимые. Совместимые понятия отличаются тем, что имеют хотя бы один общий элемент:
- равнозначные (тождественные);
- перекрещивающиеся;
- подчиняющие и подчинённые.
Несовместимыми называют понятия, не имеющие общих элементов:
- соподчинённые;
- противоположные;
- противоречащие.
Решение задач, примеры
Круги Эйлера и как решать сложные логические задачи, используя свойства диаграммы, можно показать на примерах.
Задача 1. Пусть имеется следующее условие: 54 школьника шестых классов занимаются в авиамодельном, музыкальном и танцевальном кружках. Каждый посещает хотя бы один кружок. Музыкой занимаются 32 ученика, 22 — танцами, 34 — авиамоделированием. Участвуют в музыкальном и танцевальном кружках 11 школьников, в музыкальном и авиамоделировании — 21, в танцевальном и авиамоделировании — 12. Сколько учащихся посещают все три кружка?
Рисунок 2
Проект решения предполагает необходимость расписать всех 54 школьников в соответствии с условиями задачи. Известно, что в авиамодельном кружке 34 ученика. Если прибавить к этому число учеников, которые занимаются музыкой, их 32 человека, то получится A ⋃ M, где ⋃ обозначение объединения множеств, будет состоять из 34 + 32… учеников.
Но при взгляде на круги Эйлера (Рисунок 2) становится понятно, что те, кто занимается и музыкой, и авиамоделированием посчитаны дважды. Это область на диаграмме, которая принадлежит и кругу A, и кругу М, таких учеников 21. Значит, объединение множеств A ⋃ M будет 34 + 32 — 21…
Теперь нужно прибавить 22 школьника, занимающихся танцами. A ⋃ M ⋃ T равно 34 + 32 — 21 + 22… Тут опять некоторые ученики оказываются посчитаны дважды. Можно вычесть из общей суммы тех, кто занимается танцами и музыкой — 11 человек и 12 человек, участвующих в авиамодельном и танцевальном кружках одновременно. Функция принимает следующий вид: A ⋃ M ⋃ T будет 34 + 32 — 21 + 22 — 11 — 12…
Но при этом школьники, которые посещают все три кружка, оказались отняты дважды. Их число обозначено x и его надо прибавить один раз к имеющейся формуле. Чтобы решить задачу, требуется определить x из полученного уравнения (Рисунок 3).
54 = 34 + 32 — 21 + 22 — 11 — 12 + х; откуда следует, что x = 10. Ответ: 10.
Рисунок 3
Задача 2. В школьную библиотеку пришло 30 учеников седьмого класса. Из них 15 человек взяли учебник по алгебре, 12 — по русскому языку, 10 человек не взяли ни одного учебника. Сколько учеников получили учебники по алгебре и русскому языку?
Множества на диаграммах представлены на рисунке 4. В большом круге 30 учеников, внутри двух малых 30 — 10 = 20 человек. По условию задачи 15 учеников получили учебник по алгебре, значит, 20 — 15 = 5 учеников получили только учебник по русскому языку. А в условии говорится, что 12 человек взяли учебник по русскому, то есть 12 — 5 = 7 школьников получили учебники и по алгебре, и по русскому. Ответ: 7.
Рисунок 4
Круги Эйлера — геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления. Изобретены Леонардом Эйлером. Используется в математике, логике, менеджменте и других прикладных направлениях.
В языке запросов поискового сервера для обозначения логической операции "ИЛИ" используется символ " |", а для логической операции "И" - символ "&".
| Запрос | Найдено страниц (в тысячах) |
| Торты | Пироги | 12000 |
| Торты & Пироги | 6500 |
| Пироги | 7700 |
Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу Торты? Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.
Решение задачи №1
Чтобы найти количество Тортов (Торты = А + Б ), надо найти сектор А , для этого из общего множества ( Торты│Пироги ) отнимем множество Пироги.
В языке запросов поискового сервера для обозначения логической операции "ИЛИ" используется символ " |", а для логической операции "И" - символ "&".
| Запрос | Найдено страниц (в тысячах) |
| Пироженое & Выпечка | 5100 |
| Пироженое | 9700 |
| Пироженое | Выпечка | 14200 |
Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов. Решение задачи №2
Чтобы найти количество Выпечки (Выпечка = Б + В ), надо найти сектор В , для этого из общего множества ( Пироженое │ Выпечка ) отнимем множество Пироженое .
Задача №3В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите номера запросов в порядке убывания количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу.
Для обозначения логической операции "ИЛИ" используется символ " |", а для логической операции "И" - символ "&".
| 1 | спаниели | (терьеры & овчарки) |
| 2 | спаниели | овчарки |
| 3 | спаниели | терьеры | овчарки |
| 4 | терьеры | овчарки |
Решение задачи №3
Представим множества овчарок, терьеров и спаниелей в виде кругов Эйлера, обозначим сектора буквами ( А , Б , В , Г ).
В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите номера запросов в порядке возврастания количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу.
Для обозначения логической операции "ИЛИ" используется символ " |", а для логической операции "И" - символ "&".
| 1 | барокко | классицизм | ампир |
| 2 | барокко | классицизм & ампир |
| 3 | классицизм & ампир |
| 4 | барокко | классицизм |
Представим множества классицизм, ампир и классицизм в виде кругов Эйлера, обозначим сектора буквами ( А , Б , В , Г ).
барокко│ классицизм │ампир = А + Б + В + Г
барокко │(классицизм & ампир) = Г + Б
классицизм & ампир = Б
барокко│ классицизм = Г + Б + А
Задача №5 В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите номера запросов в порядке возврастания количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу.
Для обозначения логической операции "ИЛИ" используется символ " |", а для логической операции "И" - символ "&".
| 1 | канарейки | терьеры | содержание |
| 2 | канарейки & содержание |
| 3 | канарейки & щеглы & содержание |
| 4 | разведение & содержание & канарейки & щеглы |
Решение задачи №5
Далее будем закрашивать красным цветом сектора согласно запросам, наибольший по величине сектор даст большее количество страниц на запрос.
| канарейки | терьеры | содержание | канарейки & содержание | канарейки & щеглы & содержание | разведение & содержание & канарейки & щеглы |
 |  |  |  |
Самая большая область закрашенных секторов у первого запроса, затем у второго, затем у третьего, а у четвертого запроса самый маленький.
Обратите внимание что в первом запросе закрашенные сектора кругов Эйлера содержат в себе закрашенные сектора второго запроса, а закрашенные сектора второго запроса содержат закрашенные сектора третьего запроса, закрашенные сектора третьего запроса содержат закрашенный сектор четвертого запроса.
В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите номера запросов в порядке возрастания количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу.
Для обозначения логической операции "ИЛИ" используется символ " |", а для логической операции "И" - символ "&".
| 1 | принтеры & сканеры & продажа |
| 2 | принтеры & продажа |
| 3 | принтеры | продажа |
| 4 | принтеры | сканеры | продажа |
В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите номера запросов в порядке возрастания количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу.
Для обозначения логической операции "ИЛИ" используется символ " |", а для логической операции "И" - символ "&".
Читайте также: